Maximales Volumen bzw. Länge < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Di 18.03.2008 | | Autor: | paaaady |
| Aufgabe | Aus einem Baumstamm der Länge L=100m mit den Durchmessern D=4m (oberes Ende) und d=2m (unteres Ende) soll ein Balken mit möglichst großem Volumen herausgesägt werden.
Berechnen Sie die Größe des Balkens und sein maximales Volumen. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.onlinemathe.de/forum/Volumenberechnung-lineare-Funktion]
Irgend jemand Ideen, Lösungsvorschläge, Lösungsweg?
Wär echt super, am besten schülerfreundlich erklären ;)
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Di 18.03.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, paaaady,
welche Form soll denn der Balken haben?
Soll er wie üblich quaderförmig sein?
mfG!
Zwerglein
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Hi, paaaady,
ich warte mal Deine Antwort nicht ab, sondern mache gleich einen Vorschlag:
Meiner Ansicht nach kann man von einem quaderförmigen Balken mit quadratischem Querschnitt ausgehen.
Ich nenne den Durchmesser des Querschnittes d,
sodass als Querschnittsfläche
[mm] a^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}d^{2} [/mm] rauskommt. (***)
Für d muss dann laut Angabe gelten: 2 [mm] \le [/mm] d < 4.
(Wenn man d=4 nimmt, kommt kein Balken mehr raus!)
Die Länge des gesuchten Balkens nenne ich L.
Da der Baumstamm auf 100m Länge um die Hälfte schmaler wird, kann man mit dem Strahlensatz arbeiten, wobei man das Zentrum Z
2*100 = 200m
vom größeren Durchmesser aus "findet".
(Skizzier' Dir die Situation mal!)
Dann gilt: [mm] \bruch{200 - L}{200} [/mm] = [mm] \bruch{d}{4}
[/mm]
Das musst Du nun nach L auflösen und zusammen mit dem oberen Teilergebnis (***) in die Volumenformel
V = [mm] a^{2}*L [/mm] einsetzen.
Die entstehende Funktion enthält die Variable d und wird auf übliche Weise "behandelt".
Ich krieg' übrigens für d den Wert [mm] \bruch{8}{3} \approx [/mm] 2,67 raus.
Daraus kannst Du a und L berechnen. Fertig
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Di 18.03.2008 | | Autor: | paaaady |
Hi,
erstmal Danke für die schnelle Antwort.
Ich habe jetzt $ [mm] \bruch{200 - L}{200} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{d}{4} [/mm] $ nach L aufgelöst.
Bei mir kommt dabei L=200-50d raus. Kann das stimmen?
Wenn ich nun L und a² in V einsetze bekomme ich als Teilergebnis folgendes: V=25d³+100d²
Was muss ich nun mit diesem Teilergebnis machen um auf d zu kommen?
Das mit dem Strahlensatz hab ich noch nicht ganz verstanden...
Vielen Dank.
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Hallo, du hast korrekt umgestellt und fast korrekt eingesetzt
[mm] V(a;L)=a^{2}*L
[/mm]
[mm] a^{2}=\bruch{1}{2}d^{2}
[/mm]
L=200-50d
[mm] V(d)=\bruch{1}{2}d^{2}*(200-50d)
[/mm]
[mm] V(d)=100d^{2}-25d^{3}
[/mm]
erkennst du hier dein Vorzeichenfehler, jetzt über die 1. Ableitung die Extremwertbetrachtung
[mm] V'(d)=200d-75d^{2}
[/mm]
[mm] 0=200d-75d^{2}
[/mm]
jetzt schaffst du es (beginne mit Ausklammern von d)
zum Strahlensatz: skizziere dir den Baumstamm, der nach oben schmaler wird, dann verlängern, bis sich die Kanten des Baumstammes schneiden, der Stamm läuft jetzt zu einer Spitze zu und ist quasi 200m lang, jetzt Strahlensatz:
[mm] \bruch{200}{2}=\bruch{200-L}{\bruch{d}{2}}
[/mm]
200m ist volle Länge
2m ist halber Durchmesser an der dicksten Stelle, also unten
200m-L bleibt oberhalb des Balkens übrig
[mm] \bruch{d}{2} [/mm] ist halber Balkendurchmesser
dann nach umstellen in die angegebene Form
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 So 30.03.2008 | | Autor: | paaaady |
Okay ich habe soweit alles verstanden, nur eins ist mir immernoch nicht klar.
Das mit dem Strahlensatz. Bin auch mit diversen anderen Seiten nicht weitergekommen...
Könnte mir das evtl einer nochmal erklären? Ausführlicher? Evtl sogar mit Zeichnung? Das wäre wirklich nett! :)
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 So 30.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Okay ich habe soweit alles verstanden, nur eins ist mir
> immernoch nicht klar.
> Das mit dem Strahlensatz. Bin auch mit diversen anderen
> Seiten nicht weitergekommen...
> Könnte mir das evtl einer nochmal erklären? Ausführlicher?
> Evtl sogar mit Zeichnung? Das wäre wirklich nett! :)
> Danke.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Halo,
ich gebe dir mal eine Zeichnung. Mit einigen Hilfslinien findet man die erforderliche Strahlensatzfigur (blau hervorgehoben). Die Maße dazu müsstest du selber finden (siehe Ansatzgleichung).
Viele Grüße
Abakus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo, ich möchte dir auch diese Skizze mit auf den Weg geben:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 So 27.04.2008 | | Autor: | paaaady |
Wie stelle ich denn 200/2 = (200-L) / (d/2) um, so dass d/4 = (200-L) / 200 dabei rauskommt?
Danke.
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Hallo,
[mm] \bruch{200}{2}=\bruch{200-L}{\bruch{d}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{200}{2}*\bruch{d}{2}=200-L
[/mm]
[mm] 200*\bruch{d}{4}=200-L
[/mm]
[mm] \bruch{d}{4}=\bruch{200-L}{200}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Di 01.04.2008 | | Autor: | paaaady |
Kann man dieses Problem eigentlich auch auf eine andere Art und Weise lösen? Wie z.B mit einem Wanderpunkt? Da das thematisch passender zum Unterricht wäre...
Ich hab mal ne Zeichnung wie ich mir das vorgestellt habe.
Der Radius des Baumstamms wurde halbiert und dann in ein Koordinatensystem eingezeichnet.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie kann ich die Aufgabe nun mithilfe des Wanderpunkts berechnen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Di 01.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, mit nem Punkt auf der Geraden kannst dus auch machen. das ersetzt dann den Strahlensatz.
erstelle die Gleichung der Geraden durch D und B, f(x)=mx+b
dann ist der Radius oder die Quadratseite x, die Höhe f(x) und du kannst das Volumen wieder ausrechnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Di 01.04.2008 | | Autor: | paaaady |
Also ich habe jetzt die Steigung m ausgerechnet, die ist bei mir -100.
t bzw. hier b ist 200.
Somit wäre die Gleichung y=-100x + 200 oder?
Wie komme ich jetzt mithilfe dieser Geradengleichung auf die gesuchte Länge L des Balkens? Danach das Volumen auszurechnen wäre kein Problem mehr, a² habe ich ja schon am Anfang mit Pythagoras ausgerechnet. ( a² = 1/2 d )
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Hallo,
y=-100x+200 ist korrekt
y entspricht der Länge L
x entspricht dem Radius r
L=-100r+200
[mm] L=-100\bruch{d}{2}+200
[/mm]
L=-50d+200
und
[mm] a^{2}=\bruch{1}{2}d^{2} [/mm] aufpassen, hier fehlt das Quadrat bei dir
somit
[mm] V(d)=\bruch{1}{2}d^{2}*(-50d+200) [/mm] bzw.
[mm] V(d)=\bruch{1}{2}d^{2}*(200-50d) [/mm]
jetzt sind wir an der gleichen Stelle, die wir schon über den Strahlensatz erreicht hatten
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Di 01.04.2008 | | Autor: | paaaady |
Okay, aber wenn x dem Radius r entspricht, wie kommst du dann auf
$ [mm] L=-100\bruch{d}{2}+200 [/mm] $ ?
[mm] \bruch{d}{2} [/mm] ist doch der halbe Balkendurchmesser, hab ich gedacht?
Das ist auch garantiert die letzte Frage, danach hab ichs nämlich kapiert ;)
Danke an alle!
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Hallo, jetzt hast du die geometrischen Formen Quadrat und Kreis verwechselt, der Baumstamm als Kreis hat den Durchmesser d bzw. den Radius r, der Balken hat als Querschnittsfläche ein Quadrat mit der besagten Kantenlänge a, zeichne dir einen Kreis, darein ein Quadrat, der Schinttpunkt der Diagonalen ist der Mittelpunkt vom Kreis, die Diagonale vom Quadrat (Balken) sind der Durchmesser vom Kreis (runder Baum), jetzt klar(er)? Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Di 01.04.2008 | | Autor: | paaaady |
Okay, vielen Dank an alle!
Hab nun alles verstanden, danke. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mo 05.05.2008 | | Autor: | paaaady |
Okay, ich habe nun folgendes Problem.
Diese Aufgabe war ein Teil eines Fachreferats, nun hat mir der Lehrer jedoch gesagt, dass dieser Lösungsansatz falsch sei.
$ [mm] a^{2}=\bruch{1}{2}d^{2} [/mm] $ sei, laut ihm, nur dafür da, um den Definitionsbereich zu bestimmen.
Er meint, man könne das Volumen nur in Abhängigkeit von a (also der Grundseite des Quadrats) ausrechnen.
Mit dem Wanderpunkt bzw der Geraden durch die 2 Punkte muss, laut ihm, die Geradengleichung dann folgendermaßen aussehen:
V(a) = (2a)² * (-100a+200)
Warum (2a)²?
Und was muss ich da für a einsetzen?
Das a²=1/2 d² gilt ja nur, um den Definitionsbereich herauszufinden...
Ich versteh die Aufgabe langsam nicht mehr...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Mo 05.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo pady
Wenn du in deiner Zeichnung das x ansiehst, ist das nicht die Seite des Quadrats, sondern die halbe diagonale des Quadrats, weil ja die Ecke auf dem Durchmesser leigt. Wenn man die Flache des Quadrates mit der Seite b aus der Diagonalen D ausrechnet ist [mm] b^2=D^2/2 [/mm] dein Stück a ist aber D/2 also ist der Flächeninhalt a=D/2 D=2a [mm] b^2=D^2/2=(2a)^2/2=2*4a^2/2=2a^2
[/mm]
nochmal kurz, das a in deiner Zeichnung ist nicht die Seite des Quadrates!
die Länge kann man direkt ablesen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Mo 05.05.2008 | | Autor: | paaaady |
Ohje, bitte nochmal, gaaanz langsam 
Welche Hälfte der Diagonalen des Quadrats? Welches x?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Mo 05.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Zeichnung im Koordinatensystem das x dort, da steht x=a in der Zeichnung. aber das a bzw. x ist nicht die Seite des Quadrates, auch nicht die halbe, sondern die halbe Diagonale des Quadrates. zeichne das Quadrat in nen Kreis,
wenn du jetzt den durchgeschnittenen Stamm ( zur Hälfte in dein Koordinatensystem malst siehst du ja den halben Durchmesser. den hast DU a oder x genannt.
Gruss leduart
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