Maximales Volumen Quader < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Mystoph |
| Aufgabe | | Finden Sie das grösste Volumen eines Quaders im R3 bei fest vorgegebener Oberfläche von 10 m2. |
Ich habe eine Lösung für obenstehende Aufgabe, aber keinen richtigen Analysis-Beweis dafür, dass es so sein muss.
Also meiner Meinung nach ist das Volumen maximal für einen Würfel also
( [mm] \wurzel{A/6})^{3} [/mm] = 2.15 [mm] m^{3}
[/mm]
Aber ich glaub nicht, dass ich das einfach so lösen darf - hat jemand einen Tipp, wie ich da rangehen soll...?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Mo 05.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Finden Sie das grösste Volumen eines Quaders im R3 bei fest
> vorgegebener Oberfläche von 10 m2.
> Ich habe eine Lösung für obenstehende Aufgabe, aber keinen
> richtigen Analysis-Beweis dafür, dass es so sein muss.
>
> Also meiner Meinung nach ist das Volumen maximal für einen
> Würfel also
> ( [mm]\wurzel{A/6})^{3}[/mm] = 2.15 [mm]m^{3}[/mm]
>
> Aber ich glaub nicht, dass ich das einfach so lösen darf -
> hat jemand einen Tipp, wie ich da rangehen soll...?
Ich nehme mal an, du sollst Differentialrechnung verwenden!
Wenn du einen Quader mit den Seitenlaengen $a, b, c > 0$ hast, dann ist das Volumen durch $V = a b c$ gegeben. Das willst du maximieren. Nun soll weiterhin gelten, dass die Oberflaeche 10 Quadratmeter gross ist. Die Oberflaeche ist $10 = O = 2 a b + 2 a c + 2 b c$ (wir nehmen an, dass $a, b, c$ in Metern gegeben sind.
Dies ist deine Nebenbedingung: Du willst also $V$ maximieren unter der Bedingung $O = 10$. Nun kannst du $O = 10$ umformen zu $2 a (b + c) = 2 (5 - b c)$, also $a = [mm] \frac{5 - b c}{b + c}$ [/mm] und dies in $V$ einsetzen. Also ist $V = [mm] \frac{5 - b c}{b + c} \cdot [/mm] b c$.
So. Bleibt die Frage, fuer welche $b, c > 0$ auch $a > 0$ ist. Dieses Gebiet musst du bestimmen; sei es etwa mit $M$ bezeichnet.
Du hast also die Funktion $V : M [mm] \to \IR$, [/mm] $(b, c) [mm] \mapsto \frac{5 - b c}{b + c} \cdot [/mm] b c$. Wie bestimmst du von dieser Funktion die Maxima?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Mystoph |
Vielen Dank, Felix! Alles klar... 
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