Maximales Gefälle/Steigung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Mampf |
| Aufgabe | Gegeben:
[mm] f(x)=e^{-x}*(2x^{2}+2) [/mm]
Gesucht: An Welcher Stelle des Intervalls I=[0;6] ist der Graph von [mm] f [/mm] am steilsten? |
Hi!
Bin so an die Aufgabe ran:
[mm]
f'(x)=2*e^{-x} (-x^{2}+2x-1)
f''(x)=2*e^{-x} (x^{2}-4x+3)
f'''(x)=2*e^{-x} (-x^{2}+6x-7)
[/mm]
Überlegung:
[mm]f''(x)=0 [/mm]und der größte Betrag von [mm]f'(x) [/mm]der Wendepunkte ist am steilsten.
=> kurzum ich such mir alle Extrema der 1. Differenzierung raus und Vergleiche die Beträge ihrer y-Werte!
Also Wendepunkte gesucht, und siehe da:
[mm]f''(1)=0 [/mm] oder [mm]f''(3)=0 [/mm]
[mm]f'(1)=0[/mm] und [mm]f'(3)=-0,3982... [/mm]
nach meiner Überlegung ist bei x=3 die Stelle in der f am Steilsten ist...
zumindest dachte ich das.
ABER:
In der Lösung steht 0 als steilste Stelle, was nach meiner Überlegung auch stimmt, da der Betrag von [mm]f'(0)=-2[/mm] natürlich größer ist als die 0,4.
Was habe ich falsch gemacht und wie komme ich auf die "0"? Schließlich ist 0 keine Extremstelle der 1. Differenzierung....
oder liege ich damit falsch?
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Mo 18.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben:
>
> [mm]f(x)=e^{-x}*(2x^{2}+2)[/mm]
>
> Gesucht: An Welcher Stelle des Intervalls I=[0;6] ist der
> Graph von [mm]f[/mm] am steilsten?
> Hi!
>
> Bin so an die Aufgabe ran:
>
> [mm]
f'(x)=2*e^{-x} (-x^{2}+2x-1)
f''(x)=2*e^{-x} (x^{2}-4x+3)
f'''(x)=2*e^{-x} (-x^{2}+6x-7)
[/mm]
>
> Überlegung:
>
> [mm]f''(x)=0 [/mm]und der größte Betrag von [mm]f'(x) [/mm]der Wendepunkte
> ist am steilsten.
> => kurzum ich such mir alle Extrema der 1. Differenzierung
> raus und Vergleiche die Beträge ihrer y-Werte!
>
> Also Wendepunkte gesucht, und siehe da:
>
> [mm]f''(1)=0[/mm] oder [mm]f''(3)=0[/mm]
>
> [mm]f'(1)=0[/mm] und [mm]f'(3)=-0,3982...[/mm]
>
> nach meiner Überlegung ist bei x=3 die Stelle in der f am
> Steilsten ist...
>
> zumindest dachte ich das.
>
> ABER:
>
> In der Lösung steht 0 als steilste Stelle, was nach meiner
> Überlegung auch stimmt, da der Betrag von [mm]f'(0)=-2[/mm]
> natürlich größer ist als die 0,4.
>
> Was habe ich falsch gemacht und wie komme ich auf die "0"?
> Schließlich ist 0 keine Extremstelle der 1.
> Differenzierung....
Doch, im abgeschlossenen Intervall I=[0;6] schon !
Ich mach Dir ein ähnliches Beispiel: Sei I=[0;1] und f(x) = x.
Frage: wo nimmt f auf I sein Maximum an ? Antwort: im Punkt 1
beachte: f'(1) = 1 [mm] \not=0
[/mm]
FRED
>
> oder liege ich damit falsch?
>
> MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mo 18.01.2010 | | Autor: | Mampf |
> Doch, im abgeschlossenen Intervall I=[0;6] schon !
>
> Ich mach Dir ein ähnliches Beispiel: Sei I=[0;1] und f(x)
> = x.
> Frage: wo nimmt f auf I sein Maximum an ? Antwort: im
> Punkt 1
>
> beachte: f'(1) = 1 [mm]\not=0[/mm]
>
> FRED
Dies erscheint mir durchaus logisch, sozusagen bekommt die ganze Aufgabenstellung in ihrem Beispiel ja erst Sinn, wenn ich ein Intervall festlege, vorher hat sie ja keinen "Extrempunkt".
Soweit sehe ich das ein, aber wie kann ich das bei komplizierteren Funktionen bzw. größeren Intervallen rechnerisch lösen (also ähnlich wie die "Nullstellensuche und Überprüfung"?
Schließlich habe ich nur einen Wert (hier in ihrem Beispiel "1") Probeweise eingesetzt, und soweit ist es ja ersichtlich das es nicht höher werden kann in diesem Intervall...
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Hallo,
also ich würde dir empfehlen zuerst die Intervallgrenzen zu berechnen, dann wird dir sicherlich klar was du noch brauchst.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hast du nämlich die Grenzen berechnet, so siehst du wie diese "zueinander" stehen; und so "ergibt" sich z.b. auf meinem Bild, wie die Funktion "aussehen könnte", sie geht nämlich durch die Punkte an den Intervallgrenzen wobei eine der Grenzen sogar größer sein könnte....
Jetzt musst du natürlich noch schauen ob "im" Intervall Werte vorkommen, die größer als die Intervall grenzen sind, allerdings müssen diese ja zugleich hochpunkte sein.. Denn wenn du die punkte an den Intervallgrenzen einfach gerade verbindest (rot) so wäre ja die Intervall grenze selbst das Höchste, was vorkommt.
Wenn du jedoch versuchst die Punkte anders zu verbinden, so erzeugst du hochpunkt(e) und/oder tiefpunkt(e) und diese kannst du ja ganz einfach berechnen, indem du die erste Ableitung gleich Null setzt..
Dann schaust du dir die Werte an und siehst,welcher der größte ist.
OKI?? Ich hoffe, dass du meinen Gedankengang nachvollziehen konntest und dass es dir hilft.
LG
pythagora
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> > Doch, im abgeschlossenen Intervall I=[0;6] schon !
> >
> > Ich mach Dir ein ähnliches Beispiel: Sei I=[0;1] und f(x)
> > = x.
> > Frage: wo nimmt f auf I sein Maximum an ? Antwort: im
> > Punkt 1
> >
> > beachte: f'(1) = 1 [mm]\not=0[/mm]
> >
> > FRED
>
> Dies erscheint mir durchaus logisch, sozusagen bekommt die
> ganze Aufgabenstellung in ihrem Beispiel ja erst Sinn, wenn
> ich ein Intervall festlege, vorher hat sie ja keinen
> "Extrempunkt".
>
> Soweit sehe ich das ein, aber wie kann ich das bei
> komplizierteren Funktionen bzw. größeren Intervallen
> rechnerisch lösen (also ähnlich wie die "Nullstellensuche
> und Überprüfung"?
>
> Schließlich habe ich nur einen Wert (hier in ihrem
> Beispiel "1") Probeweise eingesetzt, und soweit ist es ja
> ersichtlich das es nicht höher werden kann in diesem
> Intervall...
das ist wie bei der extremwertbestimmung, nur dass es hier nicht um die funktion f(x) geht, sondern deren 1. ableitung..
quasi z(x)=f'(x)
und auf extrema untersucht man ja eine funktion f(x) immer (abgesehen von den vertretern, die sich nur für stellen mit horizontalen tangenten interessieren)
an folgenden stellen:
1.) alle Randpunkte des Definitionsbereichs einer gegebenen Funktion
2.) alle Stellen [mm] x_0, [/mm] an denen f (x) nicht diff'bar ist
3.) alle Stellen [mm] x_0 [/mm] mit [mm] f'(x_0)=0
[/mm]
und hier wars nun mal der randpunkt!
gruß tee
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