Maximaler Flächeninhalt < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Rambo |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen f mit
f(x) = 4x * [mm] e^{-0,5x} [/mm] und g mit
g(x) = -4 * [mm] e^{-0,5x}
[/mm]
a) Die Punkte A (0/0) , B (t/g(t)) und C (t/f(t)) mit t > 0 sind Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen sie t so, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird. |
Ich habe mir bei dieser Aufgabe folgendes gedacht :
Die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet :
A = 0,5 * G * h
Hier für f (x) bzw. f (t) :
A(t) = 0,5 * t * f(t) = 0,5 * t * 4t * [mm] e^{-0,5t} [/mm] = 2t² * e ^{-0.5t}
Suche HP bzw. die maximale x - Koordinate :
Bilde 1. und 2. Ableitung :
A'(t) = (-t²+4t) * [mm] e^{-0,5t}
[/mm]
A''(t) = (0,5t² - 4t + 4) * [mm] e^{-0,5t}
[/mm]
Notw. Bedingung : A´(t) = 0 = t = 0 (irrelevant für HP); t = 4 (RELEVANT !)
Hinr. Bed. : -4 * [mm] e^{-2} [/mm] < 0 --> HP !
t= 4 in A(t) einsetzen : 32 * [mm] e^{-2} [/mm] , also (4/32 * [mm] e^{-2}
[/mm]
stimmt das bis hier hin ?habe das gleiche dann mit g(x) gemacht aber da stimmt dann was bei der 2. ableitung ist, da diese nicht ungleich 0 ergibt oder muss ich einfach t =4 in g(t) einsetzen ?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Mi 28.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sind die Funktionen f mit
>
> f(x) = 4x * [mm]e^{-0,5x}[/mm] und g mit
> g(x) = -4 * [mm]e^{-0,5x}[/mm]
>
> a) Die Punkte A (0/0) , B (t/g(t)) und C (t/f(t)) mit t > 0
> sind Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen sie t so, dass der
> Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird.
> Ich habe mir bei dieser Aufgabe folgendes gedacht :
>
> Die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks
> lautet :
>
> A = 0,5 * G * h
>
> Hier für f (x) bzw. f (t) :
>
> A(t) = 0,5 * t * f(t) = 0,5 * t * 4t * [mm]e^{-0,5t}[/mm] = 2t² * e
> ^{-0.5t}
Das ist nicht richtig !! Mach Dir mal eine skizze und Du wirst sehen: der Flächeninhalt ist gegeben durch
F(t) = t/2(f(t)-g(t))
FRED
>
> Suche HP bzw. die maximale x - Koordinate :
> Bilde 1. und 2. Ableitung :
>
> A'(t) = (-t²+4t) * [mm]e^{-0,5t}[/mm]
> A''(t) = (0,5t² - 4t + 4) * [mm]e^{-0,5t}[/mm]
>
> Notw. Bedingung : A´(t) = 0 = t = 0 (irrelevant für HP); t
> = 4 (RELEVANT !)
> Hinr. Bed. : -4 * [mm]e^{-2}[/mm] < 0 --> HP !
> t= 4 in A(t) einsetzen : 32 * [mm]e^{-2}[/mm] , also (4/32 *
> [mm]e^{-2}[/mm]
>
> stimmt das bis hier hin ?habe das gleiche dann mit g(x)
> gemacht aber da stimmt dann was bei der 2. ableitung ist,
> da diese nicht ungleich 0 ergibt oder muss ich einfach t =4
> in g(t) einsetzen ?
>
> Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Rambo |
Also dann ergibt sich folgendes :
A(t) = t/2 * [mm] (e^{-0,5t} [/mm] * (4x+4)
A(t) = t /2 * ( [mm] e^{-0,5t} [/mm] * (4x+4) = (2t² + 2t)
A'(t) = (-t² - 3t + 2 ) * [mm] e^{-0,5t}
[/mm]
und dann habe ich das selbe wie vorhin gemacht, aber das kommt was sehr merkwürdiges raus. komme da irgendwie nicht weiter.bitte um tips . danke !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Mi 28.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Also dann ergibt sich folgendes :
>
> A(t) = t/2 * (e^{-0,5t * (4x+4)
>
> A(t) = t /2 * ( e^{-0,5t} * (4x+4) = (2t² + 2t)
> A'(t) = (-t² - 3t + 2 ) * e^{-0,5t}
Ich habe hier: $A'(t) = (-t^2 +3t + 2 ) * e^{-0,5t}$
FRED
>
> und dann habe ich das selbe wie vorhin gemacht, aber das
> kommt was sehr merkwürdiges raus. komme da irgendwie nicht
> weiter.bitte um tips . danke !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Rambo |
Also dann ergibt sich folgendes :
A(t) = t/2 * [mm] (e^{-0,5t} [/mm] * (4x+4)
A(t) = t /2 * ( [mm] e^{-0,5t} [/mm] * (4x+4) = (2t² + 2t)
A'(t) = (-t² - 3t + 2 ) * [mm] e^{-0,5t}
[/mm]
und dann habe ich das selbe wie vorhin gemacht, aber das kommt was sehr merkwürdiges raus. komme da irgendwie nicht weiter.bitte um tips . danke !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Mi 28.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also dann ergibt sich folgendes :
>
> A(t) = t/2 * [mm] (e^{-0,5t} [/mm] * (4x+4)
>
> A(t) = t /2 * ( [mm] e^{-0,5t} [/mm] * (4x+4) = (2t² + 2t)
> A'(t) = (-t² - 3t + 2 ) * [mm] e^{-0,5t}
[/mm]
>
> und dann habe ich das selbe wie vorhin gemacht, aber das
> kommt was sehr merkwürdiges raus. komme da irgendwie nicht
> weiter.bitte um tips . danke !
Dann zeig doch mal was so merkwürdig ist !!!!!!
Ich habs gerechnet und habe etwas heraus , das überhaupt nicht merkwürdig ist. Vielleicht liegt es daran, dass für mich Wurzeln ganz und gar nichts merkwürdiges an sich haben
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Rambo |
ok habe das jetzt hoffentlich richtig errechnet. mich hat zunächst gewundert, dass wurzeln vorkamen und dezimalzahlen, aber jetzt ist mir das klar.
A (0/0) , B(1,5 + [mm] \wurzel{4,25}/-0,67) [/mm] ; C(1,5 + [mm] \wurzel{4,25})/2,4)
[/mm]
stimmt das ?
Danke !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rambo!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Rambo |
super, danke :)
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