Maximale abelsche Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:12 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | G nicht-abelsche Gruppe.
Z.z.: G hat mindestens drei maximale abelsche Untergruppen.
+ Beispiel. |
Hallo!
Ich hab ein paar Ideen zu der Aufgabe:
1) Zeigen, dass eine Gruppe nicht funktioniert.
Aus einer anderen Aufgabe wissen wir, dass die Vereinigung aller maximalen Untergruppen G ergibt.
Wenn es also nur eine maximale Untergruppe gibt, dann wäre G abelsch. [mm] $\lightning$
[/mm]
2) Ich versuche zwei maximale Untergruppen zu konstruieren, sodass G abelsch ist. Wir wissen auch, dass der Schnitt der maximalen Untergruppen Z(G) ist.
Es gibt also
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] Z(G)\cup \{x_{1}\} [/mm] und
[mm] A_{2} [/mm] = [mm] Z(G)\cup \{x_{2}\}. (x_{1} \not= x_{2})
[/mm]
Dann enthält [mm] A_{1} [/mm] weder [mm] A_{2} [/mm] noch anders herum.
Und wir sagen das sind die maximalen Untergrupen einer Gruppe G.
G ist also abelsch, wenn [mm] x_{a}:= x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}=: x_{b} [/mm] ist.
Sei [mm] x_{a} \not\in [/mm] Z(G). Dann kann [mm] x_{a} [/mm] aber nur [mm] x_{1} [/mm] oder [mm] x_{2} [/mm] sein, da es sonst keine Elemente außerhalb des Zentrums gibt.
[mm] \Rightarrow x_{a}=x_{1}x_{2}=x_{1} \Rightarrow x_{2}=e, [/mm] geht nicht, oder [mm] x_{a}=x_{1}x_{2}=x_{2} \Rightarrow x_{1}=e. [/mm] geht auch nicht.
Dasselbe gilt für [mm] x_{b}.
[/mm]
Also sind [mm] x_{a},x_{b} \in [/mm] Z(G) und also [mm] x_{a}x_{b}=x_{b}x_{a}
[/mm]
[mm] \gdw x_{1}x_{2}x_{2}x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}x_{1}x_{1}x_{2}
[/mm]
[mm] \gdw x_{1}x_{2} [/mm] = [mm] x_{2}x_{1}
[/mm]
und also G abelsch.
3) G = [mm] A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}. (A_{i} [/mm] maximal. abelsche UG).
Hier weiß ich nicht genau wie ich das angehen soll. Funktioniert das auch mit dem [mm] Z(G)\cup x_{i}?
[/mm]
Das hab ich nämlich bisher nicht gut hinbekommen.
Als Beispiel hab ich [mm] Q_{8} [/mm] gefunden.
G = [mm] \{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}.
[/mm]
Dann sind die abelschen Untergruppen:
[mm] \{1,-1,i,-i\}, \{1,-1,j,-j\} [/mm] und [mm] \{1,-1,k,-k\}
[/mm]
Lg und ich hoffe jemand hat ein paar Tips :)
Loko
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Sa 24.11.2012 | | Autor: | hippias |
> G nicht-abelsche Gruppe.
> Z.z.: G hat mindestens drei maximale abelsche
> Untergruppen.
> + Beispiel.
> Hallo!
> Ich hab ein paar Ideen zu der Aufgabe:
> 1) Zeigen, dass eine Gruppe nicht funktioniert.
Verstehe ich nicht.
> Aus einer anderen Aufgabe wissen wir, dass die Vereinigung
> aller maximalen Untergruppen G ergibt.
Das ist falsch : z.B. fuer $G$ zyklische Gruppe der Ordnung $4$.
> Wenn es also nur eine maximale Untergruppe gibt, dann
> wäre G abelsch. [mm]\lightning[/mm]
Richtig.
>
> 2) Ich versuche zwei maximale Untergruppen zu konstruieren,
> sodass G abelsch ist. Wir wissen auch, dass der Schnitt der
> maximalen Untergruppen Z(G) ist.
Das ist falsch: zyklische Gruppe der Ordnung $4$.
> Es gibt also
> [mm]A_{1}[/mm] = [mm]Z(G)\cup \{x_{1}\}[/mm] und
> [mm]A_{2}[/mm] = [mm]Z(G)\cup \{x_{2}\}. (x_{1} \not= x_{2})[/mm]
So kannst Du doch keine Gruppen konstruieren; Deine [mm] $A_{i}$ [/mm] sind nur in trivialen Faellen Untergruppen [mm] ($x_{i}= [/mm] 1$ oder [mm] $x_{i}^{2}= [/mm] 1$und $Z(G)= 1$).
> Dann
> enthält [mm]A_{1}[/mm] weder [mm]A_{2}[/mm] noch anders herum.
> Und wir sagen das sind die maximalen Untergrupen einer
> Gruppe G.
> G ist also abelsch, wenn [mm]x_{a}:= x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}=: x_{b}[/mm]
> ist.
> Sei [mm]x_{a} \not\in[/mm] Z(G). Dann kann [mm]x_{a}[/mm] aber nur [mm]x_{1}[/mm]
> oder [mm]x_{2}[/mm] sein, da es sonst keine Elemente außerhalb des
> Zentrums gibt.
> [mm]\Rightarrow x_{a}=x_{1}x_{2}=x_{1} \Rightarrow x_{2}=e,[/mm]
> geht nicht, oder [mm]x_{a}=x_{1}x_{2}=x_{2} \Rightarrow x_{1}=e.[/mm]
> geht auch nicht.
> Dasselbe gilt für [mm]x_{b}.[/mm]
> Also sind [mm]x_{a},x_{b} \in[/mm] Z(G) und also
> [mm]x_{a}x_{b}=x_{b}x_{a}[/mm]
> [mm]\gdw x_{1}x_{2}x_{2}x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}x_{1}x_{1}x_{2}[/mm]
> [mm]\gdw x_{1}x_{2}[/mm] = [mm]x_{2}x_{1}[/mm]
> und also G abelsch.
>
> 3) G = [mm]A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}. (A_{i}[/mm] maximal.
> abelsche UG).
> Hier weiß ich nicht genau wie ich das angehen soll.
> Funktioniert das auch mit dem [mm]Z(G)\cup x_{i}?[/mm]
> Das hab ich
> nämlich bisher nicht gut hinbekommen.
>
> Als Beispiel hab ich [mm]Q_{8}[/mm] gefunden.
> G = [mm]\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}.[/mm]
> Dann sind die abelschen Untergruppen:
> [mm]\{1,-1,i,-i\}, \{1,-1,j,-j\}[/mm] und [mm]\{1,-1,k,-k\}[/mm]
>
> Lg und ich hoffe jemand hat ein paar Tips :)
>
> Loko
Damit keine Missverstaendnisse auftreten: Du hast zu zeigen, dass wenn $G$ eine endliche, nicht abelsche Gruppe ist und $A$ die Menge aller abelschen Untergruppen von $G$, und ist [mm] $A^{\star}$ [/mm] die Menge der bezueglich Inklusion maximalen Elemente von $A$, dann enthaelt [mm] $A^{\star}$ [/mm] mindestens $3$ Elemente.
Dazu ueberlege Dir, dass die Faelle [mm] $|A^{\star}|= [/mm] 0,1,2$ nicht eintreten koennen. Z.B. fuer [mm] $|A^{\star}|= [/mm] 1$ koennte man etwa so argumentieren: Besaesse $G$ genau eine abelsche Untergruppe $H$, so enhielte $H$ alle abelschen Untergruppen von $G$. Insbesondere enthielte $H$ dann alle zyklischen Untergruppen, woraus $H= G$ folgen wuede, was der Voraussetzung widerspraeche.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Loko |
Vielen Dank schonmal für die Antwort!!
Ich hab gesehen ich war ein bisschen schlampig in meinem Artikel. Wo maximale Untergruppe steht sollte maximal-abelsche-Untergruppe stehen.
Dann ist G gleich der Vereinigung der maximalen-abelschen Untergruppen und der Schnitt derer das Zentrum. (Ist so durch eine andere Aufgabe gegeben..)
G muss nicht endlich sein. Das ist nicht gegeben..
Ich weiß also nur, dass es nicht-abelsch ist.
Maximal abelsche Untergruppe hatten wir defniniert, dass A die einzige abelsche UG von G ist die A enthält.
Die genaue Aufgabenstellung ist:
Zeige, G hat mindestens 3 maximale abelsche Untergruppen.
Ich werd mich nochmal weiter daran versuchen.
danke schonmal für die Kommentare!
Loko
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Do 29.11.2012 | | Autor: | Loko |
Dankeschön euch beiden noch :)
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