Max/Min mit Lagrange < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Fr 05.09.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gesucht sind alle Max / Min der Funktion f(x,y) auf A:
f(x,y) = [mm] xy+y²-y*\wurzel(x)
[/mm]
A={ (x,y) [mm] \in \IR²: 0\lex\le1 [/mm] , [mm] 0\le y\le\wurzel{x} [/mm] } |
Hallo alle zusammen!
Also zuerst allgemein die Ableitungen nach x und y - die Rechnung an sich ist korrekt, stimmt auch mit der Lösung der Aufgabe zusammen.
[mm] \partial [/mm] x = [mm] y+y\bruch{1}{2*\wurzel{x}}=0
[/mm]
[mm] \partial [/mm] y [mm] x+2y-\wurzel{x}=0
[/mm]
Also haben wir bei [mm] \partial [/mm] x folgendes:
[mm] 2*\wurzel{x}*y+y=0
[/mm]
[mm] y*(2*\wurzel{x}+1)=0
[/mm]
oder y=0
oder [mm] 2*\wurzel{x}+1=0
[/mm]
[mm] 2*\wurzel{x}=-1
[/mm]
Soweit so gut, dieses System ist jetzt nicht lösbar, aber wenn ich quadriere erhalte ich:
2*|x| = 1
wobei [mm] x=\pm1/2 [/mm] sein kann
Ich verstehe das jetzt aber nicht ganz, wenn ich für x in die Gleichung [mm] 2*\wurzel{x}=-1 [/mm] den Wert 1/2 einsetze, so ist dies nicht gültig, weder noch für -1/2. Warum kann ich es trotzdem machen? Ist das einfach so gegeben durch das Quadrieren (ich weiß, sehr elementare Frage...)?
Eine etwas andere Frage: Ich habe hier die Begrenzungen von x zwischen 0 und 1 und für y zwischen 0 und [mm] \wurzel{x}. [/mm] Aus der Rechnung konnte ich mir die Frage nicht eindeutig beantworten, deshalb stelle ich sie hier:
Die Begrenzung für x untersuche ich mit den partiellen Ableitungen der Funktion [mm] f(x_0,y) [/mm] wobei [mm] x_0 [/mm] = 0 oder [mm] x_0 [/mm] = 1 ist. Somit habe ich diese beiden Randbedingungen erfüllt.
Für y mache ich das Selbe, jedoch hier meine Frage: Komme ich auf das gleiche Ergebnis, wenn ich meine Funktion mit [mm] y_0 [/mm] = [mm] \wurzel{x} [/mm] untersuche und einmal mit [mm] f(x,y,\lambda) [/mm] = [mm] xy+y²-y*\wurzel(x) [/mm] + [mm] \lambda [/mm] ( [mm] y-\wurzel{x} [/mm] ).
Ich habe beides mal meine Grenze für y gesetzt, also von mir aus gesehen, müsste in allen Fällen das Selbe herauskommen, ob mit Lagrange oder durch die Grenze [mm] y_0 [/mm] = [mm] \wurzel{x}, [/mm] jedoch wollte ich das nochmal bestätigt bekommen.
Dankeschön
lg
Zuggel
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Fr 05.09.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo Zuggel!
>
>
>
> > [mm]\partial[/mm] x = [mm]y+y\bruch{1}{2*\wurzel{x}}=0[/mm]
> > [mm]\partial[/mm] y [mm]x+2y-\wurzel{x}=0[/mm]
> >
> > Also haben wir bei [mm]\partial[/mm] x folgendes:
> > [mm]2*\wurzel{x}*y+y=0[/mm]
> > [mm]y*(2*\wurzel{x}+1)=0[/mm]
> > oder y=0
> > oder [mm]2*\wurzel{x}+1=0[/mm]
> > [mm]2*\wurzel{x}=-1[/mm]
> >
> > Soweit so gut, dieses System ist jetzt nicht lösbar,
>
> Warum nicht? Du hast doch nun mit [mm]y \ = \ 0[/mm] eine erste
> Lösung.
> Setze diesen Wert nun in die 2. Gleichung ein.
>
>
> > aber wenn ich quadriere erhalte ich:
> >
> > 2*|x| = 1
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wenn, dann [mm]\red{4}*|x| \ = \ 1[/mm] .
Oha, entschuldige, hatte es auf dem zettel zwar richtig stehen aber falsch Gedacht irgendwie.
> Wegen der Einschränkung in der Aufgabenstellung kannst du
> auch die Betragsstriche weglassen.
>
> ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") ABER: Das Quadrieren einer Gleichung ist keine
> Äquivalenzumformung. Daher ist im Anschluss immer eine
> Probe unerlässlich.
> Unbd genau diese zeigt dir dann, dass die vermeintlichen
> Lösungen nach dem Quadrieren keine Lösungen der
> Ausgangsgleichung sind.
>
Interessant an dieser Stelle ist aber, dass Derive trotzdem die Lösung P(1/4 / 1/8) angibt, obwohl ich sie aus diesem Gleichungssystem nicht herausfinden kann (auser durch dieses Quadrieren).
Trotzdem, wenn ich x=1/4 und y=1/8 in die [mm] \partial [/mm] x einsetze, bekomme ich 1/4 = 0 heraus, also kann es nicht stimmen. Die Ableitung ist auch korrekt, von daher...
Es gibt doch keinen anderen Weg mehr die Gleichungen zu lösen, oder stelle ich mich jetzt einfach nur zu ungeschickt an um sie zu lösen?
Grüße
Zuggel
|
|
|
| |
|
> > Hallo Zuggel!
> >
> >
> >
> > > [mm]\partial[/mm] x = [mm]y+y\bruch{1}{2*\wurzel{x}}=0[/mm]
> > > [mm]\partial[/mm] y [mm]x+2y-\wurzel{x}=0[/mm]
> Interessant an dieser Stelle ist aber, dass Derive trotzdem
> die Lösung P(1/4 / 1/8) angibt, obwohl ich sie aus diesem
> Gleichungssystem nicht herausfinden kann (auser durch
> dieses Quadrieren).
> Trotzdem, wenn ich x=1/4 und y=1/8 in die [mm]\partial[/mm] x
> einsetze, bekomme ich 1/4 = 0 heraus, also kann es nicht
> stimmen. Die Ableitung ist auch korrekt,
Hallo,
nein, die partielle Ableitung nach x stimmt nicht, und damit dürfte sich alles klären.
Dir ist klar, daß Du die Untersuchung auf Extremwerte im Innern des Gebietes und auf dem Rand vornehmen mußt, oder?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Eine etwas andere Frage: Ich habe hier die Begrenzungen von
> x zwischen 0 und 1 und für y zwischen 0 und [mm]\wurzel{x}.[/mm] Aus
> der Rechnung konnte ich mir die Frage nicht eindeutig
> beantworten, deshalb stelle ich sie hier:
Hallo,
ich offe, daß Du Dir das Gebiet skizziert hast.
Wenn Du das Innere untersucht hast, sind die Ränder zu untersuchen.
Ich würde für den unteren Rand f(x,0) anschauen,
für den rechten f(1,y) und für den oberen könntest Du es mit Lagrange machen, oder indem Du [mm] f(x,\wurzel{x}) [/mm] untersuchst. (Halt, das, was Du am liebsten machst.)
Zum Schluß solltest Du dann noch einen Blick auf die Ecken des Gebietes werfen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > Eine etwas andere Frage: Ich habe hier die Begrenzungen von
> > x zwischen 0 und 1 und für y zwischen 0 und [mm]\wurzel{x}.[/mm] Aus
> > der Rechnung konnte ich mir die Frage nicht eindeutig
> > beantworten, deshalb stelle ich sie hier:
>
> Hallo,
>
> ich offe, daß Du Dir das Gebiet skizziert hast.
>
> Wenn Du das Innere untersucht hast, sind die Ränder zu
> untersuchen.
>
> Ich würde für den unteren Rand f(x,0) anschauen,
>
> für den rechten f(1,y) und für den oberen könntest Du es
> mit Lagrange machen, oder indem Du [mm]f(x,\wurzel{x})[/mm]
> untersuchst. (Halt, das, was Du am liebsten machst.)
>
> Zum Schluß solltest Du dann noch einen Blick auf die Ecken
> des Gebietes werfen.
>
> Gruß v. Angela
Hallo Angela
Ja das habe ich, das hast du mir ja auch schon sehr oft und mühseelig eingehämmert. Meine Vorgehensweise ist immer:
- skizzieren des Gebietes
- partielle Ableitungen
- in diesem Fall habe ich folgendes untersucht: x=0, x=1, y=0 und [mm] y=\wurzel{x} [/mm] und dann die Eckpunkte
Wo wir gerade bei Eckpunkte sind; die Eckpunkte resultieren nicht aus der Untersuchung mit Lagrange, liege ich da richtig? Sofern ich nur auf einer Begrenzung arbeite, "weiß" mein Lagrange ja nicht, bis wohin ich mein Gebiet untersuche und somit muss ich die Eckpunkte selbst setzen...
Dankesehr
lg
Zuggel
|
|
|
| |
|
> > Wenn Du das Innere untersucht hast, sind die Ränder zu
> > untersuchen.
> >
> > Ich würde für den unteren Rand f(x,0) anschauen,
> >
> > für den rechten f(1,y) und für den oberen könntest Du es
> > mit Lagrange machen, oder indem Du [mm]f(x,\wurzel{x})[/mm]
> > untersuchst. (Halt, das, was Du am liebsten machst.)
> - skizzieren des Gebietes
> - partielle Ableitungen
> - in diesem Fall habe ich folgendes untersucht: x=0, x=1,
> y=0 und [mm]y=\wurzel{x}[/mm] und dann die Eckpunkte
Hallo,
mit x=0 (und y beliebig) untersuchst Du die y-Achse.
Das ist prinzipiell nicht schädlich - aber der einzige Punkt der y-Achse, der zu Deinem Gebiet gehört, ist der Punkt (0 , 0).
> Wo wir gerade bei Eckpunkte sind; die Eckpunkte resultieren
> nicht aus der Untersuchung mit Lagrange, liege ich da
> richtig? Sofern ich nur auf einer Begrenzung arbeite,
> "weiß" mein Lagrange ja nicht, bis wohin ich mein Gebiet
> untersuche und somit muss ich die Eckpunkte selbst
> setzen...
Ja, die Vorstellung, daß "Lagrange nichts von der Grenze weiß", paßt ganz gut.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Zuggel |
Nun mit dem Punkt (0/0) hast du wohl Recht *grins*
Oja, ich muss mir die komplizierten Sachen immer so einfach wie möglich merken, dann sitzen sie auch sattelfest ;)
Danke Angela
|
|
|
|
