Max. Volumen quadrat. Säule < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Do 20.03.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Welche quadratische Säule von fester Oberflähce O besitzt maximales Volumen? |
Hallo Zusammen,
V(a,h) = a²h 'Extremalbedingung
O = 2a² + 4ah 'Nebenbedinung
nach h auflösen:
h = [mm] \bruch{O - 2a²}{4a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4a}(O-2a²) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] a(O-2a²)
V(a) = a² [mm] \cdot{} \bruch{1}{4a}(O-2a²) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] a(O-2a²) = [mm] \bruch{1}{4}(Oa-2a³)
[/mm]
V'(a) = [mm] \bruch{1}{4}(O-6a²)
[/mm]
V''(a) = [mm] \bruch{1}{4}(-12a) [/mm] = -3a
V'(a) = 0 -> [mm] \bruch{1}{4}(O-6a²) [/mm] = 0
O-6a² = 0
a = [mm] \wurzel{\bruch{O}{6}}
[/mm]
dies nun in h einsetzen:
h = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] a(O-2a²) = [mm] \bruch{1}{4} \wurzel{\bruch{O}{6}}(O-\bruch{1}{3}O) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} \wurzel{\bruch{O}{6}}\cdot{} \bruch{2}{3}O [/mm] = [mm] \bruch{O}{6} \wurzel{\bruch{O}{6}}
[/mm]
Als Lösung soll für h jedoch [mm] \wurzel{\bruch{O}{6}} [/mm] rauskommen, somit würde sich ein Würfel ergeben, was habe ich falsch aufgelöst?
Vielen Dank.
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Hallo itse,
> Welche quadratische Säule von fester Oberflähce O besitzt
> maximales Volumen?
> Hallo Zusammen,
>
> V(a,h) = a²h 'Extremalbedingung
> O = 2a² + 4ah 'Nebenbedinung
>
> nach h auflösen:
>
> h = [mm]\bruch{O - 2a²}{4a}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4a}(O-2a²)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm] a(O-2a²)
>
> V(a) = a² [mm]\cdot{} \bruch{1}{4a}(O-2a²)[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> a(O-2a²) = [mm]\bruch{1}{4}(Oa-2a³)[/mm]
>
> V'(a) = [mm]\bruch{1}{4}(O-6a²)[/mm]
> V''(a) = [mm]\bruch{1}{4}(-12a)[/mm] = -3a
>
> V'(a) = 0 -> [mm]\bruch{1}{4}(O-6a²)[/mm] = 0
> O-6a² = 0
>
> a = [mm]\wurzel{\bruch{O}{6}}[/mm]
>
> dies nun in h einsetzen:
>
> h = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] a(O-2a²) = [mm]\bruch{1}{4} \wurzel{\bruch{O}{6}}(O-\bruch{1}{3}O)[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4} \wurzel{\bruch{O}{6}}\cdot{} \bruch{2}{3}O[/mm] =
> [mm]\bruch{O}{6} \wurzel{\bruch{O}{6}}[/mm]
Es ist [mm]h=\bruch{O-2a^{2}}{4\red{a}}[/mm].
Das a nach [mm]\bruch{1}{4}[/mm] gehört auch in den Nenner.
>
> Als Lösung soll für h jedoch [mm]\wurzel{\bruch{O}{6}}[/mm]
> rauskommen, somit würde sich ein Würfel ergeben, was habe
> ich falsch aufgelöst?
>
> Vielen Dank.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Do 20.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> > Welche quadratische Säule von fester Oberflähce O besitzt
> > maximales Volumen?
> >
> > V(a,h) = a²h 'Extremalbedingung
> > O = 2a² + 4ah 'Nebenbedinung
> >
> > nach h auflösen:
> >
> > h = [mm]\bruch{O - 2a²}{4a}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4a}(O-2a²)[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{4}[/mm] a(O-2a²)
dann stimmt hier die letzte Umformung nicht, oder?
> > V(a) = a² [mm]\cdot{} \bruch{1}{4a}(O-2a²)[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> > a(O-2a²) = [mm]\bruch{1}{4}(Oa-2a³)[/mm]
> >
> > V'(a) = [mm]\bruch{1}{4}(O-6a²)[/mm]
> > V''(a) = [mm]\bruch{1}{4}(-12a)[/mm] = -3a
> >
> > V'(a) = 0 -> [mm]\bruch{1}{4}(O-6a²)[/mm] = 0
> > O-6a² = 0
> >
> > a = [mm]\wurzel{\bruch{O}{6}}[/mm]
Stimmt diese Rechnungen dann auch nicht? Hier habe ich auch mit [mm] \bruch{1}{4} [/mm] a(O-2a²) gerechnet.
> > dies nun in h einsetzen:
> >
> > h = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] a(O-2a²) = [mm]\bruch{1}{4} \wurzel{\bruch{O}{6}}(O-\bruch{1}{3}O)[/mm]
> > = [mm]\bruch{1}{4} \wurzel{\bruch{O}{6}}\cdot{} \bruch{2}{3}O[/mm] =
> > [mm]\bruch{O}{6} \wurzel{\bruch{O}{6}}[/mm]
>
> Es ist [mm]h=\bruch{O-2a^{2}}{4\red{a}}[/mm].
>
> Das a nach [mm]\bruch{1}{4}[/mm] gehört auch in den Nenner.
nehmen wir mal an, a = [mm] \wurzel{\bruch{O}{6}} [/mm] stimmt, dann ergibt sich:
h = [mm] \bruch{1}{4a}(O-2a²) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4\wurzel{\bruch{O}{6}}}(O-2\bruch{O}{6}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4\wurzel{\bruch{O}{6}}}\cdot{} \bruch{2}{3}O [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}\wurzel{\bruch{O}{6}}\bruch{2}{3}O [/mm] = [mm] \bruch{O}{6}\wurzel{\bruch{O}{6}}
[/mm]
ich komme also wieder auf das Falsche, ich nehme an die Umformung des Bruchs mit der Wurzel stimmt nicht. Wie kann ich diese n umformen, welche Regeln werden angewendet?
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Hallo itse,
> Hallo Zusammen,
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> > > Welche quadratische Säule von fester Oberflähce O besitzt
> > > maximales Volumen?
> > >
> > > V(a,h) = a²h 'Extremalbedingung
> > > O = 2a² + 4ah 'Nebenbedinung
> > >
> > > nach h auflösen:
> > >
> > > h = [mm]\bruch{O - 2a²}{4a}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4a}(O-2a²)[/mm] =
> > > [mm]\bruch{1}{4}[/mm] a(O-2a²)
>
> dann stimmt hier die letzte Umformung nicht, oder?
>
> > > V(a) = a² [mm]\cdot{} \bruch{1}{4a}(O-2a²)[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> > > a(O-2a²) = [mm]\bruch{1}{4}(Oa-2a³)[/mm]
> > >
> > > V'(a) = [mm]\bruch{1}{4}(O-6a²)[/mm]
> > > V''(a) = [mm]\bruch{1}{4}(-12a)[/mm] = -3a
> > >
> > > V'(a) = 0 -> [mm]\bruch{1}{4}(O-6a²)[/mm] = 0
> > > O-6a² = 0
> > >
> > > a = [mm]\wurzel{\bruch{O}{6}}[/mm]
>
> Stimmt diese Rechnungen dann auch nicht? Hier habe ich auch
> mit [mm]\bruch{1}{4}[/mm] a(O-2a²) gerechnet.
>
>
> > > dies nun in h einsetzen:
> > >
> > > h = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] a(O-2a²) = [mm]\bruch{1}{4} \wurzel{\bruch{O}{6}}(O-\bruch{1}{3}O)[/mm]
> > > = [mm]\bruch{1}{4} \wurzel{\bruch{O}{6}}\cdot{} \bruch{2}{3}O[/mm] =
> > > [mm]\bruch{O}{6} \wurzel{\bruch{O}{6}}[/mm]
> >
> > Es ist [mm]h=\bruch{O-2a^{2}}{4\red{a}}[/mm].
> >
> > Das a nach [mm]\bruch{1}{4}[/mm] gehört auch in den Nenner.
>
> nehmen wir mal an, a = [mm]\wurzel{\bruch{O}{6}}[/mm] stimmt, dann
> ergibt sich:
>
> h = [mm]\bruch{1}{4a}(O-2a²)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4\wurzel{\bruch{O}{6}}}(O-2\bruch{O}{6})[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4\wurzel{\bruch{O}{6}}}\cdot{} \bruch{2}{3}O[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4}\wurzel{\bruch{O}{6}}\bruch{2}{3}O[/mm] =
> [mm]\bruch{O}{6}\wurzel{\bruch{O}{6}}[/mm]
>
> ich komme also wieder auf das Falsche, ich nehme an die
> Umformung des Bruchs mit der Wurzel stimmt nicht. Wie kann
> ich diese n umformen, welche Regeln werden angewendet?
>
Nach den Potenzgesetzen gilt:
[mm]\bruch{1}{\wurzel{\bruch{O}{6}}}=\wurzel{\bruch{1}{\bruch{O}{6}}}=\wurzel{\bruch{6}{O}}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Do 20.03.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
auf ein Neues ...
> > > > Welche quadratische Säule von fester Oberflähce O besitzt
> > > > maximales Volumen?
> > > >
> > > > V(a,h) = a²h 'Extremalbedingung
> > > > O = 2a² + 4ah 'Nebenbedinung
> > > >
> > > > nach h auflösen:
> > > >
> > > > h = [mm]\bruch{O - 2a²}{4a}[/mm] = [mm]\bruch{1}{4a}(O-2a²)[/mm] =
> > > > [mm]\bruch{1}{4}[/mm] a(O-2a²)
Meine Frage: Stimmt hier die letzte Umformung nicht, oder? Dann müsste es heissen:
h = [mm] \bruch{1}{4a}(O-2a²) [/mm] anstatt [mm] \bruch{1}{4} [/mm] a(O-2a²) ?
> > > > V(a) = a² [mm]\cdot{} \bruch{1}{4a}(O-2a²)[/mm] = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> > > > a(O-2a²) = [mm]\bruch{1}{4}(Oa-2a³)[/mm]
> > > >
> > > > V'(a) = [mm]\bruch{1}{4}(O-6a²)[/mm]
> > > > V''(a) = [mm]\bruch{1}{4}(-12a)[/mm] = -3a
> > > >
> > > > V'(a) = 0 -> [mm]\bruch{1}{4}(O-6a²)[/mm] = 0
> > > > O-6a² = 0
> > > >
> > > > a = [mm]\wurzel{\bruch{O}{6}}[/mm]
Meine Frage: Stimmt diese Rechnungen dann auch nicht? Hier habe ich auch mit [mm] \bruch{1}{4} [/mm] a(O-2a²) gerechnet.
> > > > dies nun in h einsetzen:
> > > >
> > > > h = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] a(O-2a²) = [mm]\bruch{1}{4} \wurzel{\bruch{O}{6}}(O-\bruch{1}{3}O)[/mm]
> > > > = [mm]\bruch{1}{4} \wurzel{\bruch{O}{6}}\cdot{} \bruch{2}{3}O[/mm] =
> > > > [mm]\bruch{O}{6} \wurzel{\bruch{O}{6}}[/mm]
> > >
> > > Es ist [mm]h=\bruch{O-2a^{2}}{4\red{a}}[/mm].
> > >
> > > Das a nach [mm]\bruch{1}{4}[/mm] gehört auch in den Nenner.
> >
> > nehmen wir mal an, a = [mm]\wurzel{\bruch{O}{6}}[/mm] stimmt, dann
> > ergibt sich:
> >
> > h = [mm]\bruch{1}{4a}(O-2a²)[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{4\wurzel{\bruch{O}{6}}}(O-2\bruch{O}{6})[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{4\wurzel{\bruch{O}{6}}}\cdot{} \bruch{2}{3}O[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{4}\wurzel{\bruch{O}{6}}\bruch{2}{3}O[/mm] =
> > [mm]\bruch{O}{6}\wurzel{\bruch{O}{6}}[/mm]
> >
> > ich komme also wieder auf das Falsche, ich nehme an die
> > Umformung des Bruchs mit der Wurzel stimmt nicht. Wie kann
> > ich diese n umformen, welche Regeln werden angewendet?
> >
>
> Nach den Potenzgesetzen
> gilt:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{\bruch{O}{6}}}=\wurzel{\bruch{1}{\bruch{O}{6}}}=\wurzel{\bruch{6}{O}}[/mm]
dann noch ein Versuch:
h = [mm] \bruch{1}{4a}(O-2a²) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4\wurzel{\bruch{O}{6}}}(O-2\bruch{O}{6}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4\wurzel{\bruch{O}{6}}}\cdot{} \bruch{2}{3}O [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{6}{0}} \cdot{} \bruch{2}{3}O [/mm] 'was mache ich denn mit der 4 im Nenner? Ich komm einfach nicht darauf.
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> Meine Frage: Stimmt hier die letzte Umformung nicht, oder?
> Dann müsste es heissen:
>
> h = [mm]\bruch{1}{4a}(O-2a^{2})[/mm] anstatt [mm]\bruch{1}{4}[/mm] [mm] a(O-2a^{2}) [/mm] ?
Ja, h = [mm]\bruch{1}{4a}(O-2a^{2})[/mm].
> Meine Frage: Stimmt diese Rechnungen dann auch nicht? Hier
> habe ich auch mit [mm]\bruch{1}{4}[/mm] a(O-2a²) gerechnet.
Es ist V = [mm]\bruch{1}{4}*a*(O-2a²)[/mm]
Wir wissen:
a = [mm] \wurzel{\bruch{O}{6}}.
[/mm]
Es ist nun
[mm]h = \bruch{1}{4a}(O-2a^{2})[/mm]
[mm]= \bruch{1}{4*\wurzel{\bruch{O}{6}}}\left(O-2*\left(\wurzel{\bruch{O}{6}}\right)^{2}\right)[/mm]
[mm]= \bruch{1}{4*\wurzel{\bruch{O}{6}}}\left(O-2*\bruch{O}{6}\right)[/mm]
[mm]= \bruch{1}{4*\wurzel{\bruch{O}{6}}}\left(O-\bruch{1}{3}*O\right)[/mm]
[mm]= \bruch{1}{4*\wurzel{\bruch{O}{6}}}\left(\bruch{2}{3}*O\right)[/mm]
[mm]= \bruch{1}{4}*\bruch{1}{\wurzel{\bruch{O}{6}}}*\bruch{2}{3}*O[/mm]
[mm]= \bruch{1}{\wurzel{\bruch{O}{6}}}*\bruch{1}{4}*\bruch{2}{3}*O[/mm]
[mm]= \bruch{1}{\wurzel{\bruch{O}{6}}}*\bruch{O}{6}[/mm]
[mm]= \wurzel{\bruch{6}{O}}*\bruch{O}{6}[/mm]
[mm]= \wurzel{\bruch{6}{O}}*\wurzel{\left(\bruch{O}{6}\right)^{2}}[/mm]
[mm]= \wurzel{\bruch{6}{O}*\bruch{O*O}{6*6}}[/mm]
[mm]= \wurzel{\bruch{1}{1}*\bruch{O}{6}}[/mm]
[mm]= \wurzel{\bruch{O}{6}}[/mm]
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