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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:48 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | K1 : y = [mm] \wurzel{10 - 2x} [/mm] K2: y = [mm] -\wurzel{10 - 2x}
[/mm]
a.) Ein gleischenkliges Dreieck mit der Spitze O hat eine Ecke auf K1 und eine Ecke auf K2.
Bestimme diese beiden Ecken so, dass der Dreiecksinhalt maximal ist.
b.)
Gibt es unter den gleichschnekligen Dreiecken der beschriebenen Art solche, für welche der Umfang ein lokales Extremum Umax bzw. Umin hat? Gibt es Dreiecke, deren Umfang größer als Umax bzw. kleiner Als Umin ist? |
Zu a.)
Habe das Dreieck erstmal in 2 gleiche Teile aufgeteilt, da die Graphen symmetrisch sind. Rechne also erstmal für P1 (Punkt bei K1) aus:
Maximal für P1.
A = [mm] \bruch{1}{2}g [/mm] * h
A (x) = [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] * y
Für y K1 einsetzen:
A (x) = [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] * [mm] (\wurzel{10 - 2x})
[/mm]
Davon bilde ich die erste Ableitung und setze die mit 0 gleich, um das Extremum zu finden.
A'(x) = [mm] \bruch{-3x + 10}{2 * \wurzel{10 - 2x}}
[/mm]
A'(x) = 0
x = [mm] \bruch{10}{3}
[/mm]
Wenn ich dies in A '' (x) einsetze ist das Ergebnis < 0; d.h. ein Maxiumum.
Der Punkt P1 ist also :
P1 [mm] (\bruch{10}{3} [/mm] | 3,042)
Das gleiche mache ich nun für den Punkt P2,
da es symmetrisch ist, ist hier nicht viel mehr zu tun.
Auch Ableitung bilden, usw.
P2 ( [mm] (\bruch{10}{3} [/mm] | -3,042)
Für die Ecken mit den Koordinaten P1 und P2 würde der Dreiecksinhalt maximal werden.
Wäre dies so korrekt?
Zu b.)
Hier habe ich absolut keine Ahnung :-(
Für den Umfang gilt schonmal:
U = a + b + c
Aber das ist auch das einzige, was ich weiß.
Mir fehlt irgendwie der Ansatz.
Außerdem verstehe ich den 2. Teil der Frage nicht. Wenn es einen Maximalen bzw. Minimalen Umfang geben würde, wie sollte es dann noch einen geben der größer bzw. kleiner ist?
Wäre das nicht ein wiederspruch? ...
Naja,
vielen Dank für eure Hilfe schonmal im Voraus,
freundliche Grüße
Kristof
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:17 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo
[mm] P_1(\bruch{10}{3}; \wurzel{\bruch{10}{3}})
[/mm]
[mm] P_2(\bruch{10}{3}; -\wurzel{\bruch{10}{3}})
[/mm]
[mm] f(\bruch{10}{3})=\wurzel{10-2*\bruch{10}{3}}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Kristof |
> Hallo
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> [mm]P_1(\bruch{10}{3}; \wurzel{\bruch{10}{3}})[/mm]
>
> [mm]P_2(\bruch{10}{3}; -\wurzel{\bruch{10}{3}})[/mm]
>
> [mm]f(\bruch{10}{3})=\wurzel{10-2*\bruch{10}{3}}[/mm]
>
> Steffi
Verstehe deine Mitteilung nicht recht,
sind die Punkte die ich gegeben habe also richtig?
Und Aufgabe b.?
Hat da jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kristof!
Deine Punkte sind nicht richtig. Denn es gilt ja:
[mm] $$f\left(\bruch{10}{3}\right) [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{10}{3}} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1.826 \ [mm] \red{\not= \ 3.042}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kristof!
Für den Umfang musst Du die Länge der einzelnen Strecken mittels Abstandsformel zweier Punkte ermitteln:
$$d(P;Q) \ = \ [mm] \wurzel{\left(x_Q-x_P\right)^2+\left(y_Q-y_P\right)^2}$$
[/mm]
Damit ergibt sich für eine Schenkellänge:
[mm] $$d(O;K_1) [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\left(x-0\right)^2+\left( \ \wurzel{10-2x}-0\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{x^2+10-2x} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{x^2-2x+10} [/mm] $$
> Außerdem verstehe ich den 2. Teil der Frage nicht. Wenn es
> einen Maximalen bzw. Minimalen Umfang geben würde, wie
> sollte es dann noch einen geben der größer bzw. kleiner
> ist?
> Wäre das nicht ein wiederspruch? ...
Nein, das ist kein Widerspruch. Mit der Deifferentialrechnung ermittelst Du ja lokale (bzw. relative) Extrema. an den Rändern des Definitionsbereiches können aber auch globale Extrema auftauchen.
Nimm Dir z.B. die Funktion $y \ = \ [mm] x^3+x^2+x$ [/mm] . Die hat ein (lokales) Maxnimum; für [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] streben die Funktionswerte aber ebenfalls gegen [mm] $+\infty$ [/mm] und sind somt größer als der y-Wert des Maximums.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kristof!
Von dem Fehler mit dem Funktionswert abgesehen hast Du alles richtig gerechnet.
Gruß
Loddar
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