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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass H = { [mm] \pmat{ a & b \\ -\overline{b} & \overline{a} } [/mm] | a,b [mm] \in \IC [/mm] } mit Addition und Multiplikation von Matrizen kein Körper ist und die gleichung X² + 1 = 0 unendlich viele Lösungen hat. |
hab versucht Addition und Multiplikation der Matrizen durchzuführen...
aber hat mich nicht weitergebracht...
wie kann ich beweisen, dass es kein Körper ist?? und vor allem warum gibt es unendlich viele lösungen.....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Sa 10.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Du sollst beweisen, dass das ganze kein Körper ist.
Also kaust du mal die ganzen Körperaxiome durch und schaust, ob es da irgendetwas gibt, was nicht zutrifft. Das solltest du eigentlich finden.
Die Gleichung [mm] X^2+1=0 [/mm] soll unendlich viele Lösungen haben.
Da multiplizierst du einfach mal ganz allgemein ein x mit sich selbst.
[mm] \pmat{a & b \\ -\overline{b} & \overline{a}}*\pmat{a & b \\ -\overline{b} & \overline{a}}
[/mm]
[mm] =\pmat{a^2-b*\overline{b} & b(a+\overline{a}) \\ -a\overline{b}+\overline{a}b & \overline{b}^2+\overline{a}^2}
[/mm]
Der Rest ist jetzt nur noch Rechnen mit komplexen Zahlen.
Versuche diese Gleichung einfach mal zu vereinfachen, indem du a und b in Real- und Imaginärteil aufteilst.
Noch eine 2 kurze Fragen:
x ist doch aus H oder nicht?
Habt ihr die Einheitsmatrix "1" genannt?
Gruß
Max
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