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| Aufgabe | Sei A eine nxn Matrix mit Einträgen in [mm] \IZ. [/mm] Zeigen Sie:
a) [mm] det(A)\in \IZ
[/mm]
b) [mm] A\inGl_n(\IZ) \gdw [/mm] det (A)= [mm] \pm1.
[/mm]
(Hierbei ist [mm] Gl_n(\IZ) [/mm] die Gruppe der nxn Matrizen A mit Einträgen in [mm] \IZ, [/mm] so dass auch [mm] A^{(-1)} [/mm] Einträge in [mm] \IZ [/mm] hat.) |
So...bei dieser Aufgabe verstehe ich nur Bahnhof und weiß gar nicht was gemeint ist. Über eine Schrittweise gemeinsame erarbeitung der Lösung wäre ich echt dankbar!
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei A eine nxn Matrix mit Einträgen in [mm]\IZ.[/mm] Zeigen Sie:
>
> a) [mm]det(A)\in \IZ[/mm]
>
> b) [mm]A\inGl_n(\IZ) \gdw[/mm] det (A)= [mm]\pm1.[/mm]
>
> (Hierbei ist [mm]Gl_n(\IZ)[/mm] die Gruppe der nxn Matrizen A mit
> Einträgen in [mm]\IZ,[/mm] so dass auch [mm]A^{(-1)}[/mm] Einträge in [mm]\IZ[/mm]
> hat.)
> So...bei dieser Aufgabe verstehe ich nur Bahnhof
Ist Dir bekannt, was die Determinante einer Matrix ist ?
> und weiß
> gar nicht was gemeint ist. Über eine Schrittweise
> gemeinsame erarbeitung der Lösung wäre ich echt dankbar!
Zu a) Die Determinante einer Matrix ist doch die Summe/Differenz von Produkten ihrer Einträge.
Wenn die Einträge ganze Zahlen sind, was ist dann wohl die Summe/Differenz von Produkten der Einträge ?
Zu b) ich denke links von [mm] \gdw [/mm] fehlt noch was. Kann das sein ?
Schreib Aufgabenteil b) vollständig hin
FRED
>
>
> Mathegirl
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Vielen dank für den Hinweis, da fehlt tatsächlich etwas.
b) [mm] A\in Gl_n(\IZ) \gdw [/mm] det(A)= [mm] \pm [/mm] 1
Zu deiner Frage: Wenn die Einträge ganze Zahlen sind, dann müsste die Differenz bzw. Summe auch aus ganzen Zahlen bestehen.
Was ich an der Aufgabe nicht genau verstanden habe, ist dieses [mm] Gl_n (\IZ)
[/mm]
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> Vielen dank für den Hinweis, da fehlt tatsächlich etwas.
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> b) [mm]A\in Gl_n(\IZ) \gdw[/mm] det(A)= [mm]\pm[/mm] 1
>
>
> Zu deiner Frage: Wenn die Einträge ganze Zahlen sind, dann
> müsste die Differenz bzw. Summe auch aus ganzen Zahlen
> bestehen.
>
> Was ich an der Aufgabe nicht genau verstanden habe, ist
> dieses [mm]Gl_n (\IZ)[/mm]
Hallo,
zu verstehen gibt's da auch nichts. Das sind halt Bezeichnungen, die man kennen muß.
[mm] Gl_n(\IZ) [/mm] sind die invertierbaren nxn-Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IZ.
[/mm]
Gruß v. Angela
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So...die andereb Aufgaben habe ich ja nun mit einigen Tipps hinbekommen, aber für diese Aufgabe habe ich echt keine Idee!
Könnt mir mir vielleicht einen möglichen Lösungsansatz erklären?
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> Könnt mir mir vielleicht einen möglichen Lösungsansatz
> erklären?
Hallo,
a) war ja geklärt.
zu b) Wenn A invertierbar ist, gibt's eine inverse Matrix, und es ist [mm] AA^{1}=E
[/mm]
Lt. Aufgabenstellung hat die inverse Matrix ebenfalls (bloß) Eintrage aus [mm] \IZ.
[/mm]
Nun solltest Du noch in die Waagschale werfen,
was Du über die Det. von Produkten weißt,
was die Det der Einheitsmatroix ist,
was in a) festgestellt wurde.
Damit kommst Du hin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> So...die andereb Aufgaben habe ich ja nun mit einigen Tipps
> hinbekommen, aber für diese Aufgabe habe ich echt keine
> Idee!
Langsam wird es merkwürdig ! Für Teil a) hab ich Dir doch eine Steilvorlage gegeben
FRED
>
> Könnt mir mir vielleicht einen möglichen Lösungsansatz
> erklären?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Di 19.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
ja klar, aber damit kann ich nicht die komplette Aufgabe lösen!
Und wenn ich es nicht verstehe bzw. mathematisch ausdrücken kann, dann muss ich hier erneut anfragen.!
Wen das allerdings stört oder aufregt, der brauch ja nicht zu antworten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> ja klar, aber damit kann ich nicht die komplette Aufgabe
> lösen!
> Und wenn ich es nicht verstehe bzw. mathematisch
> ausdrücken kann, dann muss ich hier erneut anfragen.!
> Wen das allerdings stört oder aufregt, der brauch ja
> nicht zu antworten!
Mich stört das nicht und regt mich nicht auf, aber aus Tipps und Hinweisen, die man Dir gibt, machst zu reichlich wenig. So nun aber zur Aufgabe a)
Schreib mal hin, wie die Det. einer Matrix [mm] A=(a_{jk}) [/mm] def. ist
Dann sehen wir weiter
FRED
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Das habe ich, ich weiß was eine Matrix ist, auch wofür Determinanten genutzt werden und fred seine Frage habe ich auch beantwortet. Ich weiß nicht, was genau ich nicht verstehe, ich hab insgesamt keine Ahnung, wie ich die Lösung aufschreiben soll.
Wenn mir eine Matrix gegebn wird ist das alles kein Problem.
also okay. Durch Determinanten lassen sich LGS lösen. Determinanten kommen so weit ich weiß nur bei quadratishen Matrizen vor, sie ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet ist. Determinanten sind eindeutig, also jeder quadratischen Matrix wird genau eine Determinante/Zahl zugeordnet.
Soll ich z.B. a) an einem beispiel zeigen oder was bedeutet hier zeige??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Das habe ich, ich weiß was eine Matrix ist, auch wofür
> Determinanten genutzt werden und fred seine Frage habe ich
> auch beantwortet. Ich weiß nicht, was genau ich nicht
> verstehe, ich hab insgesamt keine Ahnung, wie ich die
> Lösung aufschreiben soll.
>
> Wenn mir eine Matrix gegebn wird ist das alles kein
> Problem.
>
> also okay. Durch Determinanten lassen sich LGS lösen.
> Determinanten kommen so weit ich weiß nur bei quadratishen
> Matrizen vor, sie ist eine Zahl, die einer quadratischen
> Matrix zugeordnet ist. Determinanten sind eindeutig, also
> jeder quadratischen Matrix wird genau eine
> Determinante/Zahl zugeordnet.
>
> Soll ich z.B. a) an einem beispiel zeigen oder was bedeutet
> hier zeige??
Nein, ein Beispiel genügt nicht. Bei a) sollst Du zeigen: hat A ganzzahlige Einträge, so ist auch die Det. von A eine ganze Zahl.
Nochmal. schreib hier mal rein, wie die Det. def. ist
FRED
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Die Determinante ist eine Funktion, die jeder quadratischen Matrix A aus M(nxn, K) einen skalaren Wert aus dem Körper K zuordnet.
Eigenschaften sind: multilinear, alternierend und normiert
Muss ich das mit den ganzen zahlen vielleicht über das Inverse zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Die Determinante ist eine Funktion, die jeder quadratischen
> Matrix A aus M(nxn, K) einen skalaren Wert aus dem Körper
> K zuordnet.
>
> Eigenschaften sind: multilinear, alternierend und normiert
>
> Muss ich das mit den ganzen zahlen vielleicht über das
> Inverse zeigen?
Langsam rege ich mich doch auf, weil Du beharrlich nicht das tust, was man Dir empfiehlt. Ich hatte Dich gebeten, die Def. der Determinante aufzuschreiben !!!!
Alles muß man selbst machen ... Also: ist A = [mm] (a_{ij}) [/mm] eine nxn-Matrix, so ist
(*) $ [mm] \det [/mm] A = [mm] \sum_{\sigma \in S_n} \left(\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)}\right) [/mm] $
Jetzt seien alle [mm] a_{ij}\in \IZ. [/mm] Dann folgt:
1. Das Produkt [mm] \Pi [/mm] in der großen Klammer in (*) ist eine ganze Zahl
2. Die Zahlen [mm] $sgn(\sigma)$ [/mm] sind ganze Zahlen
Aus 1. und 2. folgt: das was in der großen Klammer in (*) steht ist eine ganze Zahl.
damit haben wir
3. die Summe in (*) ist [mm] \in \IZ
[/mm]
Fazit: detA [mm] \in \IZ
[/mm]
War das so schwer ? Ohne die Definition siehst Du natürlich kein Land
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Di 19.01.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Ich hab die Definition genutzt, die wir im Seminar hatten und auch im Buch steht, war also keine böse Absicht. Und jetzt versteh ich auch, warum ich die Aufagbe nicht lösen konnte...aber danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab die Definition genutzt, die wir im Seminar hatten
> und auch im Buch steht, war also keine böse Absicht. Und
> jetzt versteh ich auch, warum ich die Aufagbe nicht lösen
> konnte...aber danke!
Welche Def. hattet Ihr denn ?
FRED
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Die ich dir vor deiner Antwort geschrieben habe, mit den Eigenschaften und das eine Determinante eine quadratische Matrix bestimmt.
Deswegen konnte ich vermutlich auch Aufgabe a und b nicht hinbekommen.
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Hallo MG,
b) hat dir Angela doch mundgerecht serviert, da brauchst du keine Definition der Determinante.
Ihr hattet 100%ig, dass die Determinante multiplikativ ist, dass also [mm] $det(A\cdot{}B)=det(A)\cdot{}det(B)$ [/mm] ist.
Leider hast du auf Angelas wunderbaren Hinweis nicht reagiert...
Nach a) weißt du, dass die Determinante einer Matrix $A$ mit Einträgen in [mm] $\IZ$ [/mm] ganzzahlig ist.
Und nach dem Hinweis in der Aufgabenstellung hat die Inverse [mm] $A^{-1}$ [/mm] ebenfalls nur ganzzahlige Einträge.
Mit a) ist also die Determinante der Inversen auch eine ganze Zahl.
Nennen wir $det(A)=x, [mm] det(A^{-1})=y$ [/mm] mit [mm] $x,y\in\IZ$
[/mm]
Dann fragte Angela nach der Determinante der Einheitsmatrix.
Die kennst du auch, das ist 1
Also hast du die Gleichung [mm] $det(A\cdot{}A^{-1})=det(A)\cdot{}det(A^{-1})=det(E)=1$, [/mm] also
[mm] $x\cdot{}y=1$ [/mm] und damit [mm] $x=\frac{1}{y}$
[/mm]
Also [mm] $det(A)=\frac{1}{y}$
[/mm]
Und das muss ganzzahlig sein.
Für welche y ist das nur möglich und was bedeutet das für $x=det(A)$ ??
Das hat Angela dir alles serviert.
Wenn du damit nix anfangen kannst, solltest du ernsthaft überlegen, ob Mathe der richtige Studiengang ist.
Das sind elementarste LA1-Sachen ...
Es wird nicht leichter ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Di 19.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
> ja klar, aber damit kann ich nicht die komplette Aufgabe lösen!
Okay, dann musst Du halt konkret fragen bzw. konkret erläutern, was Dir noch unklar ist.
Und nicht einfach behaupten, Du hättest keinerlei Ansatz erhalten.
> Und wenn ich es nicht verstehe bzw. mathematisch
> ausdrücken kann, dann muss ich hier erneut anfragen.!
Sehr gerne! Aber dann bitte konkret fragen und auch mal zeigen, dass man sich mit bereits gegebenen Tipps auseinander gesetzt hat.
> Wen das allerdings stört oder aufregt, der brauch ja
> nicht zu antworten!
Tja, wenn man aber eifrigst Antworten, Tipps und Hinweise gibt, und dann wird behauptet, es gäbe keine Hilfe, finde ich das auch sehr frustrierend.
Denn das ist das mindeste: dass der Hilfesuchende sich mit den Antworten auch mal eigenständig auseinander setzt (sprich: darüber nachdenkt) und nicht "blind" nochmals dasselbe fragt.
Gruß
Loddar
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