Matrizen vertauschbar? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zwei quadratische Matrizen A und B heißen vertauschbar, wenn A*B = B*A gilt. Bestimmen Sie die allgemeine Form aller Matrizen A, die mit der gegebenen Matrix B vertauschbar sind.
B = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] |
Mein Ansatz:
Als A setze ich die Matrix: [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
Dann benötige ich das Matrizenprodukt von A*B und B*A.
Aus diesem erstelle ich dann die Gleichungen:
Für die Gleichungen würde ich bekommen:
a = a +c
-b = 0
c = 0
-d = -b-d
Wäre das bis hierhin richitg?
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Di 27.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Michi4590!
> Zwei quadratische Matrizen A und B heißen vertauschbar,
> wenn A*B = B*A gilt. Bestimmen Sie die allgemeine Form
> aller Matrizen A, die mit der gegebenen Matrix B
> vertauschbar sind.
>
> B = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm]
> Mein Ansatz:
>
> Als A setze ich die Matrix: [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>
> Dann benötige ich das Matrizenprodukt von A*B und B*A.
> Aus diesem erstelle ich dann die Gleichungen:
>
> Für die Gleichungen würde ich bekommen:
>
> a = a +c
> -b = 0
> c = 0
> -d = -b-d
>
>
> Wäre das bis hierhin richitg?
Ich habe keine Ahnung wie du darauf kommst. Bei mir ist
[mm] A*B=\pmat{ a & -b \\ c & -d } [/mm] und [mm] B*A=\pmat{ a & b \\ -c & -d }.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Di 27.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Michi4590!
>
>
> > Zwei quadratische Matrizen A und B heißen vertauschbar,
> > wenn A*B = B*A gilt. Bestimmen Sie die allgemeine Form
> > aller Matrizen A, die mit der gegebenen Matrix B
> > vertauschbar sind.
> >
> > B = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm]
> > Mein Ansatz:
> >
> > Als A setze ich die Matrix: [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
> >
> > Dann benötige ich das Matrizenprodukt von A*B und B*A.
> > Aus diesem erstelle ich dann die Gleichungen:
> >
> > Für die Gleichungen würde ich bekommen:
> >
> > a = a +c
> > -b = 0
> > c = 0
> > -d = -b-d
> >
> >
> > Wäre das bis hierhin richitg?
>
> Ich habe keine Ahnung wie du darauf kommst. Bei mir ist
>
> [mm]A*B=\pmat{ a & -b \\ c & -d }[/mm] und [mm]B*A=\pmat{ a & b \\ -c & -a }.[/mm]
Hallo Acht,
bei mir ist
[mm]B*A=\pmat{ a & b \\ -c & -d }.[/mm]
Gruß FRED
>
>
> Gruß
> DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Di 27.01.2015 | | Autor: | Michi4590 |
Die Matrix von A*B bekomme ich auch noch raus, aber wie kommt ihr auf das Ergebnis von B*A?
Ihr macht schon auch die folgende Matrixmultiplikation?
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] * [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Di 27.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Die Matrix von A*B bekomme ich auch noch raus, aber wie
> kommt ihr auf das Ergebnis von B*A?
>
> Ihr macht schon auch die folgende Matrixmultiplikation?
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm] * [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
Na klar.
FRED
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Dann bekomme ich aber für die Matrix:
1*a + 1*c = a+c
0*b + 0 * d = 0
0*a + 0*c = 0
-1*b +-1*d = -b-d
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Hallo,
[mm] A*B=\pmat{ a & b \\ c & d }*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }=\pmat{ a & -b \\ c & -d }
[/mm]
[mm] B*A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }*\pmat{ a & b \\ c & d }=\pmat{ a & b \\ -c & -d }
[/mm]
nun überlege dir, wann
[mm] \pmat{ a & -b \\ c & -d }=\pmat{ a & b \\ -c & -d }
[/mm]
also wann
a=a
-b=b
c=-c
-d=-d
Steffi
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Hi Steffi, das Problem ist, dass ich nicht auf das Ergebnis bei der Matrizenmultiplikation B*A komme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Di 27.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi Steffi, das Problem ist, dass ich nicht auf das Ergebnis
> bei der Matrizenmultiplikation B*A komme?
Dann mach Dich nochmal schlau, wie man Matrizen multipliziert.
Was Du in den falschen Hals bekommen hast, können wir nicht wissen.
FRED
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Das Schlimme ist, dass A*B ja richtig ist 
Für B*A mache ich doch die folgenden Schritte:
1*a + 1*c = a+c
0*b + 0 * d = 0
0*a + 0*c = 0
-1*b +-1*d = -b-d
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Ich hab mich da echt in der Multiplikation vertan, sorry.
Jetzt kommt
[mm] \pmat{ a & b \\ -c & -d }
[/mm]
raus.
Dann hätte ich für die Gleichungen:
a = a
-b = b
c = -c
-d = -d
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Hallo, überlege dir, welche Zahlen erfüllen besagte vier Gleichungen, Steffi
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Wenn ich die Gleichungen auflöse, dann bekomme ich
0=0
-2b = 0
2c = 0
0=0
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Hallo, du machst es dir aber kompliziert
a=a nur mal einige Beispiele 5=5; 12345=12345; -3,009=-3,009
-d=-d nur mal einige Beispiele -(-444)=-(-444); -5,678=-5,678; -0,001=-0,001
-b=b und c=-c erfüllt nur ......
jetzt solltest du entscheiden können, welche Form A hat
Steffi
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Dann wäre die allgemeine Form
[mm] \pmat{ a & 2b \\ -2c & -d }
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Di 27.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Dann wäre die allgemeine Form
>
> [mm]\pmat{ a & 2b \\ -2c & -d }[/mm]
Unsinn !
Es war $A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] $
Wir wissen: b=c=0, a ist frei wählbar und ebenso d.
Fazit: für eine $2 [mm] \times [/mm] 2$ - Matric A gilt:
$AB=BA$ [mm] \gdw [/mm] $A= [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & d } [/mm] $, wobei a und c beliebig gewählt werde können.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Di 27.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fred,
> bei mir ist
>
> [mm]B*A=\pmat{ a & b \\ -c & -d }.[/mm]
Natürlich.
Vielen Dank für die Korrektur!
Liebe Grüße
DieAcht
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Zeile mal Spalte: Was steht in der ersten Zeile von B?
