Matrizen und Basen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f:R^{4} \to R^{4} [/mm] definiert durch
[mm] f((x_1,x_2,x_3,x_4))=(-x_1+2x_2+4x_4,4x_2+3x_3+8x_4,x_1+4x_4,2x_2+3x_3).
[/mm]
Bestimme je eine Basis von ker(f) und im(f). |
Hallo,
ich habe zu Matrizen ein paar Verständnisfragen. Ich verstehe das mit den Zeilenvektoren und Spaltenvektoren nicht so ganz. Was ist ne Basis von was?
Wenn wir z.B. eine lineare Abbildung f: V [mm] \to [/mm] W haben. Sei z.B. B die Basis von V mit [mm] v_1,...,v_n [/mm] . Ein beliebiger Vektor v aus V lässt sich eindeutig durch eine Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen. Aufgrund der Linearität kann ich ja dann die Skalare rausziehen und dann habe ich
[mm] f(v)=a_1f(v_1)+...+a_nf(v_n). [/mm]
Dann lässt sich ja jeder dieser Abbildungen der Basisvektoren erzeugen durch eine Linearkombination einer Basis C mit [mm] w_1,...,w_m. [/mm]
[mm] f(v_1)=b_1_1w_1+b_2_1w_2+...+b_m_1w_m
[/mm]
ist ein Beispiel.
Muss man diese Linearkombination jetzt nicht in die Spalte einer Matrix schreiben?
Ich muss hier in dieser Aufgabe mit einer Matrix arbeiten. Aber schreibe ich die Vektoren in die Spalten oder in die Zeilen? Beim ker(f) muss die Matrix homogen sein mit [mm] b_i=0. [/mm] Das ist eigentlich klar.
Was hat es mit dem Spaltenraum, Zeilenraum und Lösungsraum auf sich?
Ich weiß sind sehr viele Fragen auf einmal, aber so lange ich diese ganzen Fragen nicht geklärt kriege, kann ich nicht schlafen
Danke für jede Antwort.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]f:R^{4} \to R^{4}[/mm] definiert durch
>
> [mm]f((x_1,x_2,x_3,x_4))=(-x_1+2x_2+4x_4,4x_2+3x_3+8x_4,x_1+4x_4,2x_2+3x_3).[/mm]
> Bestimme je eine Basis von ker(f) und im(f).
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Schreibt Ihr die Vektoren bei der Abbildung eigentlich in Zeilen, so, wie Du es hier machst? Ich finde das irritierend, solange man eh leicht mit Zeilen und Spalten durcheinanderkommt.
Na, egal.
In der darstellenden Matrix der Abbildung f steht jedenfalls in der i-ten Spalte das Bild des i-ten Basisvektors.
Schauen wir mal nach, was in der dritten Spalte steht:
[mm] f(\vektor{0\\0\\1\\0})=\vektor{0\\3\\0\\3}
[/mm]
Die darstellende Matrix ist [mm] M(f)=\pmat{...&...&0&...\\...&...&3&...\\...&...&0&...\\...&...&3&...}, [/mm] die anderen Spalten kannst Du allein.
Für die Berechnung des Kerns (=Menge der Vektoren, die auf die Null abgebildet werden) ist das homogene linear Gleichungssystem zu lösen, dessen Koeffizientenmatrix gerade die darstellende Matrix ist.
Bring die Matrix auf Zeilenstufenform und bestimme den Lösungsraum, damit hast Du den Kern.
Das Bild ist der Raum, der von den Spaltenvektoren der Matrix aufgespannt wird. Die Spalten der Matrix sind ein Erzeugendensystem des Bildes.
Ich schlage vor, daß Du die Matrix mal aufstellst (und vorzeigst), sie in ZSF bringst und diese hier präsentoierst. Und dann kann ich oder wer anders Dir erklären, wie man an dieser ZSF eine Basis des Bildes ablesen kann.
> Was hat es mit dem Spaltenraum, Zeilenraum und Lösungsraum
> auf sich?
Spaltenraum: Raum der von den Spalten erzeugt wird.
Zeilenraum: Raum der von den Zeilen erzeugt wird.
Gruß v. Angela
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Ok so sieht jetzt meine anfangs erstellte und dann auf ZSF aufgelöste Matrix aus:
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 3 & 8 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 3 & 0 } [/mm]
Die Bilder der Basisvektoren stehen jetzt sozusagen in der Spalte.
umgeformt sieht es dann so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 & 8 \\ 0 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Was kann ich jetzt daraus lesen? Was sagen mir die Zeilen und was sagen mir in der umgeformten Matrix die Spalten? Sind meine Spaltenvektoren jetzt meine Basis des Bildes? Wenn ja warum.
Man sieht außerdem an der umgeformten Matrix, dass der Zeilenrang gleich drei ist, hab ich recht?
Gruß Waldemar
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> Ok so sieht jetzt meine anfangs erstellte und dann auf ZSF
> aufgelöste Matrix aus:
> [mm]\pmat{ -1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 3 & 8 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 3 & 0 }[/mm]
Hallo,
die darstellende Matrix ist richtig.
>
>
> Die Bilder der Basisvektoren stehen jetzt sozusagen in der
> Spalte.
>
> umgeformt sieht es dann so aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 & 8 \\ 0 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
Das ist keine Zeilenstufenform. Unter die 2 in der 2. Zeile muß eine 0. es dürfen keine führenden Zeilenelemente untereinander stehen.
Also weiter
--> [mm] \pmat{ \red{1} & 0 & 0 & 4 \\ 0 & \red{2} & 0 & 8 \\ 0 & 0 & \red{3 }& -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
Man sieht, daß der Rang der Matrix =3 ist.
Also ist die Dimension des Bildes =3.
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen (rot markiert) stehen in den Spalten 1,2,3,
woran man sehen kann, daß der 1., 2. und 3. der ursprunglichen (!) Spaltenvektoren zusammen eine Basis des Bildes sind.
Gruß v. Angela
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$ [mm] \pmat{ \red{1} & 0 & 0 & 4 \\ 0 & \red{2} & 0 & 8 \\ 0 & 0 & \red{3 }& -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }. [/mm] $
so wie ich das verstanden habe ist dann der erste Spaltenvektor ein Basisvektor, der zweite SPaltenvektor ein Basisvektor und der dritte ebenso. Sind das dann die Basisvektoren in W wenn die Abbildung f von V nach W geht? Was ist mit der vierten Spalte?
Was ist mit der Basis des Kerns?
Sagen die Zeilen dieser Matrix auch noch was aus?
Danke vielmals für die Antworten.
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> [mm]\pmat{ \red{1} & 0 & 0 & 4 \\ 0 & \red{2} & 0 & 8 \\ 0 & 0 & \red{3 }& -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }.[/mm]
>
> so wie ich das verstanden habe ist dann der erste
> Spaltenvektor ein Basisvektor, der zweite SPaltenvektor ein
> Basisvektor und der dritte ebenso.
Hallo,
ja. Spaltenvektoren der Ursprungsmatrix, nicht der ZSF - um das nochmal deutlich zu sagen.
> Sind das dann die
> Basisvektoren in W wenn die Abbildung f von V nach W geht?
Die Basisvektoren des Bildes entstammen dem W, richtig. (Sie sind aber nicht unbedingt eine basis von W, sondern eine Basis eines Unterraumes von W. Basis des Bildes eben.)
> Was ist mit der vierten Spalte?
Der Vektor, der in der Ursprungsmatrix in der vierten Spalte steht, ist von den anderen dreien linear abhängig.
>
> Was ist mit der Basis des Kerns?
Die mußt Du noch berechnen.
Ich hatte (glaube ich) schon gsagt: löse das homogene lineare Gleichungssystem, welches die ZSF als Koeffizientenmatrix hat.
>
> Sagen die Zeilen dieser Matrix auch noch was aus?
An den Zeilen (drei Nichtnullzeilen in der ZSF) sieht man, daß der Rang der Matrix =3 ist.
Gruß v. Angela
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Hallo,
danke, dass Sie so viel Geduld mit mir haben
Um die Basis des Kerns zu berechnen, habe ich zuerst folgende Matrix aufgestellt:
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 &0 \\ 0 & 4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 0 }
[/mm]
und bin dann durch Umformen auf folgdene Matrix gekommen.
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Was ist dann die Basis meines Kerns? Wenn der Rang meines Bildes 3 ist, dann muss der Rang des Kerns ja eins sein.
Habe ich das richtig verstanden, dass die Basisvektoren des Bildes dann folgende sind:
[mm] \vektor{ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{ 2 \\ 4 \\ 0 \\ 2 } [/mm] , [mm] \vektor{ 0 \\ 3 \\ 0 \\ 3 } [/mm]
Danke für die Antwort
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> Hallo,
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> danke, dass Sie so viel Geduld mit mir haben
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> Um die Basis des Kerns zu berechnen, habe ich zuerst
> folgende Matrix aufgestellt:
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> [mm]\pmat{ -1 & 2 & 0 &0 \\ 0 & 4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 0 }[/mm]
>
> und bin dann durch Umformen auf folgdene Matrix gekommen.
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
Hallo,
meine ZSF sieht so aus:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 8 \\ 0 & 4 & 0 & 16 \\ 0 & 0 & -3 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 },
[/mm]
und wenn ich sie noch in die reduzierte ZSF überühre, bekomme ich
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -\bruch{8}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
>
> Was ist dann die Basis meines Kerns? Wenn der Rang meines
> Bildes 3 ist, dann muss der Rang des Kerns ja eins sein.
Ja.
Der Kern ist nun die Lösung des der Matrix entsprechenden homogenen Gleichungssystems.
Ich weiß nun nicht, wie Ihr das macht.
Eine gute Möglichkeit:
der dritten Zeile entnimmt man
[mm] x_3=\bruch{8}{3}x_4
[/mm]
Der zweiten Zeile:
[mm] x_2=-4x_4
[/mm]
der erste:
[mm] x_1=-4x_4.
[/mm]
Also haben alle Lösungsvektoren die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{-4x_4\\-4x_4\\\bruch{8}{3}x_4\\x_4}=x_4*\vektor{-4\\-4\\\bruch{8}{3}\\1}, [/mm] und damit ist [mm] \vektor{-4\\-4\\\bruch{8}{3}\\1} [/mm] eine Basis des Kerns.
> Habe ich das richtig verstanden, dass die Basisvektoren des
> Bildes dann folgende sind:
>
> [mm]\vektor{ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }[/mm] , [mm]\vektor{ 2 \\ 4 \\ 0 \\ 2 }[/mm]
> , [mm]\vektor{ 0 \\ 3 \\ 0 \\ 3 }[/mm]
ja, genau.
Wenn Kommilitonen eine andere Basis haben, macht das nichts. es gibt hier viele richtige Lösungen, denn die Basis ist normalerweise nicht eindeutig.
Gruß v. Angela
>
> Danke für die Antwort
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> Hallo,
>
> meine ZSF sieht so aus:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 8 \\ 0 & 4 & 0 & 16 \\ 0 & 0 & -3 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 },[/mm]
Wie kommt man denn auf diesen letzten Spaltenvektor [mm] \vektor{ 8 \\ 16 \\ 8 \\ 0 } [/mm] ?
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> > Hallo,
> >
> > meine ZSF sieht so aus:
> >
> > [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 8 \\ 0 & 4 & 0 & 16 \\ 0 & 0 & -3 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 },[/mm]
>
> Wie kommt man denn auf diesen letzten Spaltenvektor
> [mm]\vektor{ 8 \\ 16 \\ 8 \\ 0 }[/mm] ?
>
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Gegenfrage: wie hast Du ihn wegbekommen?
Gruß v. Angela
>
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ich habe die Ausgangsmatrix genommen:
$ [mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 3 & 8 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 3 & 0 } [/mm] $
und habe die letzte Spalte durch lauter Nullen ersetzt, so dass das Gleichungssystem homogen wird.
Und dann habe ich umgeformt.
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>
> ich habe die Ausgangsmatrix genommen:
>
> [mm]\pmat{ -1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 3 & 8 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 3 & 0 }[/mm]
>
> und habe die letzte Spalte durch lauter Nullen ersetzt, so
> dass das Gleichungssystem homogen wird.
Oh weh!!!
Du hast nicht verstanden, was der Kern ist - oder hast es nur kurzfristig vergessen.
Du hattest die darstellende Matrix von f gefunden: $ [mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 3 & 8 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 3 & 0 } [/mm] $
Also ist
[mm] f(\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4})=\pmat{ -1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 3 & 8 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 3 & 0 }\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}.
[/mm]
Suchen wir den kern, so suchen wir den Lösungsraum von
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 3 & 8 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 3 & 0 }\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{0\\0\\0\\0}
[/mm]
Wenn Du die Nullen von rechts mitschleppen willst, also mit der erweiterten Koeffizientenmatrix arbeiten, mußt Du
[mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 & 4&&|0 \\ 0 & 4 & 3 & 8&&|0 \\ 1 & 0 & 0 & 4&&|0 \\ 0 & 2 & 3 & 0&&|0 } [/mm] nehmen und umformen.
Gruß v. Angela
> Und dann habe ich umgeformt.
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