Matrizen als lineare Kombinati < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Sa 24.01.2009 | | Autor: | sdj |
| Aufgabe | Kann man die Matrizen:
[mm] \begin{pmatrix}
6 & -8 \\
-1 & -8
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
6 & 0 \\
3 & 8
\end{pmatrix}
[/mm]
als lineare Kombination von:
[mm] A=\begin{pmatrix}
4 & 0 \\
-2 & -2
\end{pmatrix} [/mm] B = [mm] \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
2 & 3
\end{pmatrix} [/mm] C = [mm] \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
1 & 4
\end{pmatrix} [/mm]
darstellen? |
Wie muss man bei so einer Aufgabe Vorgehen? Was ist mit einer linearen Kombination gemeint? Komme aus der Aufgabenstellung leider nicht schlau.
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> Kann man die Matrizen:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
6 & -8 \\
-1 & -8
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
6 & 0 \\
3 & 8
\end{pmatrix}[/mm]
>
> als lineare Kombination von:
> [mm]A=\begin{pmatrix}
4 & 0 \\
-2 & -2
\end{pmatrix}[/mm] B = [mm]\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}[/mm] C = [mm]\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
1 & 4
\end{pmatrix}[/mm]
> darstellen?
> Wie muss man bei so einer Aufgabe Vorgehen? Was ist mit
> einer linearen Kombination gemeint? Komme aus der
> Aufgabenstellung leider nicht schlau.
Hallo,
es ist dasselbe wie kürzlich bei der Unabhängigkeit: der Weg zur Lösung führt über die Definition, diesmal über die Definition der Linearkombination, und diese Definition findest Du in Deinen Unterlagen - oder eben in Büchern und auch in der wikipedia.
Etwas Aktivität ist vonnöten, und die Bereitstellung der Definition wäre immerhin schonmal einer der hier im Forum erwarteten eigenen Lösungsansätze.
Ich habe wirklich Verständnis dafür, wenn es in manchen Fällen schwerfällt, die Definition auf das Beispiel zu übertragen, aber der Frage, was eine lineare Kombination ist, könntest Du wirklich im Vorfeld selbst auf den Grund gehen.
Hast Du einen Vektor v gegeben, und lautet die Frage, ob man ihn als Linearkombination der drei Vektoren [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] darstellen kann, so ist zu prüfen, ob es [mm] \lambda_i, [/mm] i=1,2,3 gibt mit
[mm] v=\lambda_1v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2v_2 +\lambda_3v_3.
[/mm]
Die Vektoren sind hier in Deinem Beispiel Matrizen.
Was mußt Du also ausrechnen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Sa 24.01.2009 | | Autor: | sdj |
Hatte die Begriffe selbstverständlich nachgeschlagen. Leider fand ich jedoch keine Informationen dazu in meinen Unterlagen.
[mm] \begin{pmatrix}
6 & -8 \\
-1 & -8
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \lambda_1 \begin{pmatrix}
4 & 0 \\
-2 & -2
\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda_2 \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
2 & 3
\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda_3 \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
1 & 4
\end{pmatrix}
[/mm]
Werde nun probieren das ganze mit dem Gausschen Verfahren aufzulösen.
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> Hatte die Begriffe selbstverständlich nachgeschlagen.
> Leider fand ich jedoch keine Informationen dazu in meinen
> Unterlagen.
Hallo,
wikipedia hält in diesen Angelegenheiten auch Informationen bereit. Wenn ich nichts zur hand habe, gucke ich immer erstmal dort - es muß ja nicht die einzige Quelle bleiben.
>
> [mm]\begin{pmatrix}
6 & -8 \\
-1 & -8
\end{pmatrix}[/mm] = [mm]\lambda_1 \begin{pmatrix}
4 & 0 \\
-2 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\lambda_2 \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\lambda_3 \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
1 & 4
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Werde nun probieren das ganze mit dem Gausschen Verfahren
> aufzulösen.
Ja, das sind nun 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, und dafür ist Gauß genau der richtige Weg.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Sa 24.01.2009 | | Autor: | sdj |
[mm] 4\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] + 0 = 6
0 + [mm] -\lambda_2 [/mm] + 2 [mm] \lambda_3 [/mm] = -8
[mm] -2\lambda_1 [/mm] + [mm] 2\lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] = -1
[mm] -2\lambda_1 [/mm] + [mm] 3\lambda_2 [/mm] + [mm] 4\lambda_3 [/mm] = -8
[mm] \lambda_1 [/mm] = 1
[mm] \lambda_2 [/mm] = 2
[mm] \lambda_3 [/mm] = -3
Folglich kann man die Vektoren als Linearkombination darstellen.
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> [mm]4\lambda_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] + 0 = 6
> 0 + [mm]-\lambda_2[/mm] + 2 [mm]\lambda_3[/mm] = -8
> [mm]-2\lambda_1[/mm] + [mm]2\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] = -1
> [mm]-2\lambda_1[/mm] + [mm]3\lambda_2[/mm] + [mm]4\lambda_3[/mm] = -8
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = 1
> [mm]\lambda_2[/mm] = 2
> [mm]\lambda_3[/mm] = -3
>
> Folglich kann man die Vektoren als Linearkombination
> darstellen.
Hallo,
genau.
Ich habe nicht alles haarklein nachgerechnet, Du kannst Dein Ergebnis aber prüfen, indem Du die [mm] \lambda_i [/mm] in die Gleichung mit den Matrizen einsetzt und nachschaust, ob's richtig aufgeht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Sa 24.01.2009 | | Autor: | sdj |
[mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm]
Einzige Lösung [mm] \lambda_1-n [/mm] = 0.
Diese Matrix kann man nicht als lineare Kombination darstellen, richtig? Bin mir nicht ganz sicher, da im Wiki was von konischer Linearkombination steht.
Auszug aus dem Wiki:
http://de.wikipedia.org/wiki/Linearkombination
Sind die Koeffizienten ai der Linearkombination alle größer oder gleich null, so spricht man von einer konischen Linearkombination
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> [mm]\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
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> Einzige Lösung [mm]\lambda_1-n[/mm] = 0.
Du meinst wohl [mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0
[/mm]
>
> Diese Matrix kann man nicht als lineare Kombination
> darstellen, richtig? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Die "Null-Kombination" ist selbstverständlich auch
eine Linearkombination !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Sa 24.01.2009 | | Autor: | sdj |
Besten Dank.
Grüsse
sdj
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