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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Ben2007 |
| Aufgabe | Es sei: f: [mm] P_{3} (\IR,\IR) \to P_{2} (\IR,\IR) [/mm] mit f(p)= p' + p(0)
a) Zeigen Sie, dass f linear ist
b) Man gebe die Matrix Mf von f bzgl. der Basis {X³, X², X,1} des
[mm] P_{3}(\IR,\IR) [/mm] und der Basis {X², X-1,2} des [mm] P_{2} (\IR,\IR) [/mm] an.
c) Man bestimme [mm] dim(f(P_{3}(\IR,\IR))) [/mm] und dim(Ke(f)) |
Hallo Genies!
meine Ideen:
a) Ich würde gleich null setzen und so nachweisen dass es linear ist.
b) da versage ich voll und ganz. hab noch net mal ne Idee :(
c) wenn ich 3b) raus habe kann ich ja in der Matrix nachlesen, wie groß die dimensionen sind!
Kann mir jemand sagen, ob meine Ideen zu a) und c) richtig sind bzw. kann mir jemand sagen , wie ich b) machen kann?
LG
Ben
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Hallo Ben!
> Es sei: f: [mm]P_{3} (\IR,\IR) \to P_{2} (\IR,\IR)[/mm] mit f(p)=
> p' + p(0)
>
> a) Zeigen Sie, dass f linear ist
>
> b) Man gebe die Matrix Mf von f bzgl. der Basis {X³, X²,
> X,1} des
> [mm]P_{3}(\IR,\IR)[/mm] und der Basis {X², X-1,2} des [mm]P_{2} (\IR,\IR)[/mm]
> an.
>
> c) Man bestimme [mm]dim(f(P_{3}(\IR,\IR)))[/mm] und dim(Ke(f))
> Hallo Genies!
> meine Ideen:
>
> a) Ich würde gleich null setzen und so nachweisen dass es
> linear ist.
Sorry, das verstehe ich nicht.... du mußt eigentlich zeigen , dass
[mm] $f(p_1+p_2)=f(p_1)+f(p_2)$ [/mm] sowie $f(ap)=af(p)$ gilt.
> b) da versage ich voll und ganz. hab noch net mal ne Idee
> :(
>
Weißt du denn, wie man grundsätzlich zu einer linearen Abbildung die Matrix berechnet (wenn entsprechende Basen gegeben sind)?
du bildest die basisvektoren des Urbildraums (also hier [mm] $P_3$) [/mm] ab und stellst sie dann als linearkombination der basis des Bildraum dar. Die Koeffizienten bilden dann die Spalten der Abbildungs-Matrix....
> c) wenn ich 3b) raus habe kann ich ja in der Matrix
> nachlesen, wie groß die dimensionen sind!
kannst du. Du kannst dir aber auch überlegen, wie der kern der abbildung aussieht (alle polynome, für die gilt $p'=-p(0)$, was müssen das für polynome sein?). dann hast du leicht die dimension des kerns und aus der dimensionsformel erhältst du die dimension des bildes.
Gruß
Matthias
> Kann mir jemand sagen, ob meine Ideen zu a) und c) richtig
> sind bzw. kann mir jemand sagen , wie ich b) machen kann?
>
> LG
> Ben
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Do 18.05.2006 | | Autor: | Ben2007 |
> Weißt du denn, wie man grundsätzlich zu einer linearen
> Abbildung die Matrix berechnet (wenn entsprechende Basen
> gegeben sind)?
>
> du bildest die basisvektoren des Urbildraums (also hier
> [mm]P_3[/mm]) ab und stellst sie dann als linearkombination der
> basis des Bildraum dar. Die Koeffizienten bilden dann die
> Spalten der Abbildungs-Matrix....
>
ich verstehe nicht, wieso ich 2 Matrizen machen soll...zumal man da ja dann nur 1 Spalte bekommt und die anderen dann einheitlich sind. Zu mal ich ja vorher erst die Ableitung nehmen soll, oder nicht?
die ganze aufgabe macht mich kirre, weil ich das mit dem f(p)= p' + p(0) net verstehe.....
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Hallo,
die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung ist abhängig von der Basis die ich unterstelle (deshalb kann man 2 und noch mehr Matrizen berechnen.) Z.B.
sei
f [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] mit f : V --> V (V wird also auf sich selbst abgebildet). Dann ist die Matrixdarstellung
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }. [/mm] A ergibt sich aus
f [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] = 1* [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + 0 * [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] und f [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] = 0* [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + 1 * [mm] \vektor{0 \\ 1}. [/mm] (Die Koeffizienten jetzt einfach als Spalten in die Matrix)
wenn ich die Standardbasis unterstelle, also [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1}.
[/mm]
Nehme ich aber eine andere Basis, z.B. [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 2}, [/mm] dann kommt eine andere Matrixdarstellung heraus.
Das schöne aber ist, dass unabhängig von der Matrixdarstellung (also die du wählst) die dimension des Kernes und des Bildes gleich ist.
Hoffe das hilft.
S.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Ben2007 |
ja das war mir soweit klar und kann es auch bei den anderen Aufgaben anwenden...aber bei der aufgabe nicht, weil mich das mit p' und p(0) durcheinander bringt.
Sitze jetzt 2 tage an der aufgabe ohne ahnung und in meinen büchern werde ich auch nicht schlauer.
verstehe net, warum ich davor so eine blockade habe, weil es bei den anderen 4 aufgaben auch geklappt hat...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Fr 19.05.2006 | | Autor: | statler |
> ja das war mir soweit klar und kann es auch bei den anderen
> Aufgaben anwenden...aber bei der aufgabe nicht, weil mich
> das mit p' und p(0) durcheinander bringt.
> Sitze jetzt 2 tage an der aufgabe ohne ahnung und in
> meinen büchern werde ich auch nicht schlauer.
> verstehe net, warum ich davor so eine blockade habe, weil
> es bei den anderen 4 aufgaben auch geklappt hat...
Hallo Ben, das ist auch nicht zu verstehen!
Für die Sache mit der Linearität hast du ja schon die richtigen Hinweise erhalten, das betrachte ich damit als erledigt.
Jetzt zur Matrix: Gesucht ist nur eine Matrix. Es ist eine 3x4-M., weil die Abb. von einem 4-dim. Raum zu einem 3-dim. Raum geht. Die Bilder der 4 Basisvektoren des Werteraumes liefern mir die Spalten, indem ich die Koeffizienten der Bilder, die ich in der vorgegebenen Basis des Bildraumes beschreibe, nehme.
[mm] f(X^{3}) [/mm] = [mm] 3*X^{2}, [/mm] also 1. Spalte (3|0|0)
[mm] f(X^{2}) [/mm] = 2*X = 2*(X-1) + 1*2, also 2. Spalte (0|2|1)
f(X) = 1 = (1/2)*2, also 3. Spalte (0|0|1/2)
f(1) auch = 1, also 4. Spalte (0|0|1/2)
Die Abb. f ist surjektiv (warum?), womit die letzte Frage schon komplett geklärt ist (nochmal warum?)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:45 Fr 19.05.2006 | | Autor: | Ben2007 |
ah jetzt hab ich des mit der Matrix!
surjektiv, weil die letzte reihe zur Nullreihe wird und wir dann eine 3x3 matrix haben und es zu jedem f(x) ein Y gibt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 21.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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