Matrizen/Basistransformation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Di 18.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Folgende Frage habe ich gefunden:
Warum und wie kann eine Matrix eine lineare Abbildung repräsentieren?
Bei dem "warum" bin ich noch ziemlich unsicher, ich glaube, es geht in die Richtung, dass es nur genau eine lineare Abbildung gibt, sodass ein Basisvektor auf einen Basisvektor abgebildet hat (mal ganz knapp ausgedrückt). Ist das so richtig? Und könnte mir da jemand eine kurze aber korrekte mathematische Erklärung geben, wie man das beantworten könnte?
Und mit dem "wie" bin ich mittlerweile auch unsicher. Also ich würde umgangssprachlich sagen, dass man, wenn man eine Abbildung f von V nach V hat, einfach die Basisvektoren von V mit f abbildet und sie dann als Spaltenvektoren in die Matrix schreibt. Und dann ist man schon fertig. 
Wenn man nun aber unterschiedliche Vektorräume oder auch nur unterschiedliche Basen hat (also z. B. [mm] $f:V\to [/mm] W$ mit [mm] v_i [/mm] Basis von V und [mm] w_i [/mm] Basis von W), dann bildet man wiederum die Basisvektoren von V ab, schreibt sie aber nicht direkt als Spalten, sondern muss jeden einzelnen zuerst noch als "Linearkombination" von Vektoren der Basis von W schreiben - und das schreibt man dann in die Matrix.
Das ist doch richtig so, oder?
Ich bringe das nur auf einmal durcheinander, weil die Worte "Basistransformation" und "Transformationsmatrix" aufgetaucht sind. Was ist denn jetzt mit Basistransformation gemeint? Ist es das zweite, was ich beschrieben habe? Oder noch etwas anderes?
Oder ist es das, wenn ich eine Abbildung bzgl. eine Basis gegeben habe, und sie lieber bezüglich einer anderen hätte - dann berechne ich die Transformationsmatrix und das ist dann eine Basistransformation?
Mir geht es hier nicht um die Einzelheiten der jeweiligen Sachen, sondern ich muss nur die Worte den richtigen Sachen zuordnen. 
Ich habe gerade nochmal den Anfang des Artikels  Transformationsmatrix gelesen: Ich verstehe das jetzt so, dass die Transformationsmatrix einfach nur einen Vektor, der bzgl. einer Basis gegeben ist, in denselben Vektor nur bzgl. einer anderen Basis umwandelt. Dann hat das Ganze mit meiner Ausgangsfrage gar nichts zu tun!?
Viele Grüße
Bastiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
|
|
| |
|
> Warum und wie kann eine Matrix eine lineare Abbildung
> repräsentieren?
Hallo,
kurz zum "warum":
weil die lineare Abbildung f:V--> W durch ihre Werte auf einer Basis von V eindeutig bestimmt ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Di 18.10.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Bastiane,
das "warum" hat ja schon angela.h.b. gut auf den Punkt gebracht.
> Und mit dem "wie" bin ich mittlerweile auch unsicher. Also
> ich würde umgangssprachlich sagen, dass man, wenn man eine
> Abbildung f von V nach V hat, einfach die Basisvektoren von
> V
...wobei Du Dir natürlich zunächst eine Basis von $V$ wählen mußt...
> mit f abbildet und sie dann als Spaltenvektoren
"Als Spaltenvektoren" ist vielleicht etwas vage formuliert, aber im Prinzip richtig: Du schreibst das Bild [mm] $f(b_i)$ [/mm] Deines i-ten Einheitsvektors unter f als Linearkombination Deiner gewählten Basis [mm] $\{b_i\}_i$. [/mm] Die resultierenden (basisabhängigen) Koeffizienten [mm] $a_{1i}$ \dots, $a_{ni}$ ($n:=\dim [/mm] V$) bilden dann die i-te Spalte Deiner Matrix.
> in die Matrix schreibt. Und dann ist man schon fertig.
Richtig. :)
> Wenn man nun aber unterschiedliche Vektorräume oder auch
> nur unterschiedliche Basen hat (also z. B. [mm]f:V\to W[/mm] mit [mm]v_i[/mm]
> Basis von V und [mm]w_i[/mm] Basis von W), dann bildet man wiederum
> die Basisvektoren von V ab, schreibt sie aber nicht direkt
> als Spalten, sondern muss jeden einzelnen zuerst noch als
> "Linearkombination" von Vektoren der Basis von W schreiben
> - und das schreibt man dann in die Matrix.
>
> Das ist doch richtig so, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Wobei Du mit "und das" bestimmt "und die Koeffizienten der Linearkombination" meintest. ;) )
Im Prinzip also ganz analog zum 1. "Fall".
> Ich bringe das nur auf einmal durcheinander, weil die Worte
> "Basistransformation" und "Transformationsmatrix"
> aufgetaucht sind. Was ist denn jetzt mit
> Basistransformation gemeint? Ist es das zweite, was ich
> beschrieben habe? Oder noch etwas anderes?
Ich würde sagen, "Basistransformation" ist einfach der Vorgang, "Transformationsmatrix" das hierfür wesentliche Hilfsmittel.
Beispiel: Du hast einen Vektor v bezügliche einer ersten Basis $C$ von $V$ als Spaltenvektor (oder Linearkombination, was auf das selbe hinausläuft) geschrieben, möchtest ihn aber als Spaltenvektor/Linearkombination bezüglich einer anderen Basis A von $V$ schreiben.
Dasselbe kannst Du auch mit linearen Abbildungen machen. Nachdem Du eine lineare Abbildung [mm] $f:V\to [/mm] V$ bezüglich einer Basis von $V$ beschrieben hast, könntest Du den Wunsch haben, dieselbe lineare Abbildung bezüglich einer anderen Basis zu beschreiben. Auch hier hilft wieder die Transformationsmatrix zu den beiden Basen. (Im Falle [mm] $f:V\to [/mm] W$ hast Du dann natürlich 2 Transformationsmatrizen).
Das, was Du oben als zweites beschreiben hast, hat zunächst einmal nichts mit einer Basistransformationen zu tun, sondern ist die Beschreibung von f als Matrix mittels einer Basis.
Man kann sich das vielleicht als ein Dreieck vorstellen (nein, das male ich jetzt nicht...):
An einer Ecke des Dreiecks steht "f", an den 2 abgehenden Kanten steht "Beschreibung mittels einer Basis C" bzw. "... A", an den beiden anderen Ecken stehen die entsprechen Matrizen - und auf der verbleibenden Kante steht "Basiswechsel" oder "-transformation".
> Oder ist es das, wenn ich eine Abbildung bzgl. eine Basis
> gegeben habe, und sie lieber bezüglich einer anderen hätte
> - dann berechne ich die Transformationsmatrix und das ist
> dann eine Basistransformation?
Im Prinzip ja. Wobei Berechnen der Tranformationsmatrix [mm] $T^C_A$ [/mm] noch nicht reicht, Du mußt sie dann auch noch mit der Matrix [mm] $M_C(f)$ [/mm] von $f$ bezüglich $C$ verrechnen: [mm] $M_A(f)=T^C_A M_C(f)(T^C_A)^{-1}$ [/mm]
> Ich habe gerade nochmal den Anfang des Artikels
> Transformationsmatrix gelesen: Ich verstehe das jetzt
> so, dass die Transformationsmatrix einfach nur einen
> Vektor, der bzgl. einer Basis gegeben ist, in denselben
> Vektor nur bzgl. einer anderen Basis umwandelt. Dann hat
> das Ganze mit meiner Ausgangsfrage gar nichts zu tun!?
In sofern schon, als daß die Transformationsmatrix ja wie gesagt nicht nur Vektoren, sondern auch bezüglich einer Basis gegebene lineare Abbildungen "umwandeln" kann, und dabei die 3. Seite im beschriebenen "Dreieck" bildet. Die anderen beiden Seiten stellten Deine Ausgangsfrage dar.
Lokale Grüße,
Galois
![[]](/images/popup.gif) Bonner Mathe-Forum
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mi 19.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi Bastiane,
schön, dass jemand auch die Artikel liest - sag ruhig bescheid, wenn etwas unklar formuliert ist, dann kann man versuchen etwas zu ändern...
Auch wenn du das Thema ja eigentlich jetzt schon durch hast - hier auch ein sehr ähnliche Frage mit Matrix und Abbildung :
https://matheraum.de/read?t=96287
vielleicht hilft ja auch das weiter.
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
|
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]"){kind=small}
