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| Aufgabe | 1.) Sei A [mm] \in \IC^{n,n} [/mm] eine Matrix mit [mm] A_m [/mm] = [mm] I_n, [/mm] wobei m [mm] \in \IN [/mm] die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist. (Insbesondere ist m > 0.) Bestimmen Sie die Mächtigkeit der Menge { [mm] A^{k} [/mm] | k [mm] \in \IN [/mm] }.
Schreiben Sie [mm] A^{-1} [/mm] als Potenz von A mit positivem Exponenten.
2.)Sei K ein Körper mit 1 + 1 [mm] \not= [/mm] 0. Zeigen Sie, dass sich jede Matrix A [mm] \in K^{n,n} [/mm] als Summe
einer symmetrischen Matrix M und einer schiefsymmetrischen Matrix S schreiben lässt.
Gilt dies auch im Fall eines Körpers mit 1 + 1 = 0? |
Hallo,
Also ich habe mit diesen Aufgaben echt Probleme. Bei 1. habe ich nicht mal ne Idde wie man das zeigt und bei 2. weis ich wie man beweist das sich jede quadratische Matrix als Summe
einer symmetrischen Matrix M und einer schiefsymmetrischen Matrix S schreiben lässt. doch in meinem beweis kommt da nichts mit Körpern vor und ich weis nicht wie man das da mit einbringt.
Vielleicht kann mir jemand helfen.
Danke im vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> 1.) Sei A [mm]\in \IC^{n,n}[/mm] eine Matrix mit [mm]A^m[/mm] = [mm]I_n,[/mm] wobei m [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist.
> (Insbesondere ist m > 0.) Bestimmen Sie die Mächtigkeit
> der Menge { [mm]A^{k}[/mm] | k [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}.
> Schreiben Sie [mm]A^{-1}[/mm] als Potenz von A mit positivem
> Exponenten.
>
> 2.)Sei K ein Körper mit 1 + 1 [mm]\not=[/mm] 0. Zeigen Sie, dass
> sich jede Matrix A [mm]\in K^{n,n}[/mm] als Summe
> einer symmetrischen Matrix M und einer
> schiefsymmetrischen Matrix S schreiben lässt.
> Gilt dies auch im Fall eines Körpers mit 1 + 1 = 0?
> Hallo,
>
> Also ich habe mit diesen Aufgaben echt Probleme. Bei 1.
> habe ich nicht mal ne Idde wie man das zeigt
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zunächst mal ist ja die Mächtigkeit der Menge zu bestimmen.
Was hast Du Dir dazu denn überlegt? Welche Elemente sind drin.
Du kannst es ja auch mal für m=5 aufschreiben.
[mm] A^{-1} [/mm] ist die Matrix, mit welcher man A multiplizieren muß, damit die Einheitsmatrix herauskommt.
> und bei 2.
> weis ich wie man beweist das sich jede quadratische Matrix
> als Summe
> einer symmetrischen Matrix M und einer
> schiefsymmetrischen Matrix S schreiben lässt. doch in
> meinem beweis kommt da nichts mit Körpern vor und ich weis
> nicht wie man das da mit einbringt.
Dann sag uns doch mal genau Deinen Satz mit Voraussetzungen und Beweis.
Vor allem müssen wir gucken, an welcher Stelle man [mm] 1+1\not=0 [/mm] benötigt.
Gruß v. Angela
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Also die Mächtigkeit ist doch die Anzahl einer Menge oder nicht? Doch wie ich jetzt davon die Mächtigkeit bestimme weis ich nicht so richtig. wenn ich mir definitionen und so durchlese von mächtigkeit ist das immer nur auf eine bestimmt menge bezogen, jedoch was hat das mit [mm] A^m=I_m [/mm] zutun?
zu zweiten habe ich mir folgenden beweis überlegt:
Wir setzen A = M + S mit M = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (A + [mm] A^T [/mm] ) und S = [mm] \bruch{1}{2} (A-A^T [/mm] )Ersichtlich ist M symmetrisch, denn [mm] M^T [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (A^T [/mm] + A) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (A + [mm] A^T [/mm] ) = M und S schiefsymmetrisch,
denn [mm] S^T [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (A^T-A) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] (A [mm] -A^T [/mm] ) = -S.
Jedoch habe ich da mit der Eigenschaft [mm] 1+1\not=0 [/mm] bzw. 1+1=0 nichts drin? Gibt es noch einen anderen Weg dies zu beweisen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Also die Mächtigkeit ist doch die Anzahl einer Menge oder
> nicht?
Die Anzahl der Elemente einer Menge meinst Du sicherlich!
> Doch wie ich jetzt davon die Mächtigkeit bestimme
> weis ich nicht so richtig. wenn ich mir definitionen und so
> durchlese von mächtigkeit ist das immer nur auf eine
> bestimmt menge bezogen, jedoch was hat das mit [mm]A^m=I_m[/mm]
> zutun?
Naja, machen wir es mal, theoretisch und trotzdem beispielhaft, indem wir annehmen, dass wir $A [mm] \in \IC^{n,n}$ [/mm] hätten mit [mm] $\red{m=6}$:
[/mm]
Dann wüßten wir doch, dass wir alle Elemente der Menge [mm] $M_A:=\{A^k:\;k \in \IN\}$ [/mm] nach und nach bestimmen könnten, und zwar wie folgt:
Es gilt
[mm] $$A^1 \in M_A\,,$$
[/mm]
[mm] $$A^2 \in M_A\,,$$
[/mm]
[mm] $$A^3 \in M_A\,,$$
[/mm]
[mm] $$A^4 \in M_A\,,$$
[/mm]
[mm] $$A^5 \in M_A\,,$$ [/mm]
[mm] $$A^{\red{6}}=I_n \in M_A\,,$$
[/mm]
[mm] $$A^7=I_n*A=A^1 \in M_A\,,$$
[/mm]
$$.$$
$$.$$
$$.$$
Da sich die Elemente dann (quasi periodisch) wiederholen (es gilt [mm] $A^k=A^{k+\red{6}*q}$ [/mm] für [mm] $k\in \{1,\ldots,\red{6}\}$ [/mm] und $q [mm] \in \IN_{\ge 1}$), [/mm] wissen wir somit, dass [mm] $|M_A| \le \red{6}$ [/mm] ist.
Nun überlege Dir, warum die Elemente von [mm] $M_A$ [/mm] auch in der Tat paarweise verschieden sind:
Wäre dem nicht so, so gäbe es $r,s [mm] \in \IN$, [/mm] $r [mm] \not=s$ [/mm] mit [mm] $A^r=A^s\,.$ [/mm] Mit dem oben erkannten können wir o.E. $1 [mm] \le [/mm] r < s [mm] \le \red{6}$ [/mm] annehmen. Dann ist (mit $O$: Nullmatrix in [mm] $\IC^{n,n}$)
[/mm]
[mm] $$A^s-A^r=O$$ [/mm]
[mm] $$\gdw (A^{s-r}-I_n)*A^r=O\,.$$
[/mm]
Jetzt fehlt uns noch ein Wissen, nämlich, dass [mm] $A^r$ [/mm] invertierbar ist.
(Sobald wir das wissen, folgt aus [mm] $(A^{s-r}-I_n)*A^r=O$ [/mm] der Widerspruch [mm] $A^{s-r}-I_n=O \gdw A^{s-r}=I_n\,,$ [/mm] weil mit $z:=s-r [mm] \in \IN$ [/mm] dann $z < [mm] \red{6}$ [/mm] ist mit [mm] $A^z=I_n\,.$ [/mm] Also war [mm] $\red{6}$ [/mm] nicht das minimale [mm] $m\,$ [/mm] mit [mm] $A^m=I_n\,.$)
[/mm]
Das können wir uns aber überlegen:
Wie oben gesehen, gilt [mm] $A^{\red{6}}=I_n$. [/mm] Es folgt für $1 [mm] \le [/mm] r [mm] \le \red{6}$:
[/mm]
[mm] $$I_n=A^{\red{6}}=A^{r}*A^{\red{6}-r}\;\;(=A^{\red{6}-r}*A^r)\,.$$
[/mm]
Also ist [mm] $A^{\red{6}-r}$ [/mm] das multiplikativ inverse Element zu [mm] $A^r\,.$ [/mm] Insbesondere ist übrigens dann [mm] $A^{\red{6}-1}$ [/mm] multiplikativ invers zu [mm] $A^1=A$ [/mm] und $A$ somit invertierbar.
Und nun schreibe das ganze (wieder ein wenig allgemeiner) um, indem Du einfach wieder [mm] $\red{6}$ [/mm] durch [mm] $\red{m}$ [/mm] ersetzt.
Beste Grüße,
Marcel
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Danke schön das hat mir sehr geholfen jetz weis ich wie ich es machen muss. könntest du mir auch noch nen tipp zu 2. geben?
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Hallo, nochmal eine Frage zu der Aufgabe.
Nach den Tipps würde ich sagen, dass die Mächtigkeit der Menge gleich m wäre.
Ist das Richtig?
Beweis:
[mm] A^{k} [/mm] = [mm] A^{k+m} [/mm] = [mm] A^{k} [/mm] * [mm] A^{m}
[/mm]
Somit Mächtigkeit = m????
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> Hallo, nochmal eine Frage zu der Aufgabe.
>
> Nach den Tipps würde ich sagen, dass die Mächtigkeit der
> Menge gleich m wäre.
> Ist das Richtig?
Hallo,
ja.
>
> Beweis:
>
> [mm]A^{k}[/mm] = [mm]A^{k+m}[/mm] = [mm]A^{k}[/mm] * [mm]A^{m}[/mm]
> Somit Mächtigkeit = m????
Deinem "Beweis" kann ich nicht folgen.
Es ist allenfalls ein Beweisfragment.
Welche Elemente sind denn in der Menge?
Es wäre wichtig zu wissen, daß von diesen keine zwei gleich sind.
Und dann muß man noch zeigen, daß für höhere Potenzen keine neuen Matrizen mehr entstehen.
Das willst Du sicher mit der Zeile oben ausdrücken.
Gruß v. Angela
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ja ich vesteh es schon dass die Mächtigkeit m ist, aber ich weißt nicht wie ich es skizierren kann.
Kannst du mir mal den Beweis erläutern?
Schonmal Dank im Voraus.
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> ja ich vesteh es schon dass die Mächtigkeit m ist,
Hallo,
warum verstehst Du es?
Formuliere das doch mal.
> aber
> ich weißt nicht wie ich es skizierren kann.
>
> Kannst du mir mal den Beweis erläutern?
Zeige, daß die Menge nicht mehr als m Elemente enthält.
Zeige, daß von den Elementen [mm] (A^0, A^1,...,A^{m-1}) [/mm] nicht zwei gleich sind.
Gruß v. Angela
>
> Schonmal Dank im Voraus.
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> zu zweiten habe ich mir folgenden beweis überlegt:
>
> Wir setzen A = M + S mit M = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (A + [mm]A^T[/mm] ) und S
> = [mm]\bruch{1}{2} (A-A^T[/mm] )Ersichtlich ist M symmetrisch, denn
> [mm]M^T[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} (A^T[/mm] + A) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (A + [mm]A^T[/mm] ) = M
> und S schiefsymmetrisch,
> denn [mm]S^T[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} (A^T-A)[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] (A [mm]-A^T[/mm] )
> = -S.
>
> Jedoch habe ich da mit der Eigenschaft [mm]1+1\not=0[/mm] bzw. 1+1=0
> nichts drin?
Hallo,
doch. Du merkst es bloß noch nicht.
Die Einträge der Matrizen entstammen ja irgendeinem Körper K.
Was soll denn in diesem Zusammenhang [mm] \bruch{1}{2} [/mm] bedeuten? Eine rationale Zahl ja eher nicht, oder?
Laß uns den Beweis etwas modifizieren:
[mm] (1_K+1_K)A=A+A=(A+A^{T}) [/mm] + [mm] (A-A^{T}).
[/mm]
Und jetzt kommt [mm] 2_K:=1_K+1_K\not=0_K [/mm] zum Tragen, denn???
Gruß v. Angela
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ok ich verstehe was du meinst und von der logik her ist es irgendwie klar das es [mm] \not=0_K [/mm] ist aber ich kann es nicht erklären. ich stehe irgendwie noch aufn schlauch.
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> ok ich verstehe was du meinst und von der logik her ist es
> irgendwie klar das es [mm]\not=0_K[/mm] ist aber ich kann es nicht
> erklären.
???
da gibt's nichts zu erklären.
daß [mm] 1+1\not=0 [/mm] ist doch in der Aufgabenstellung vorausgesetzt.
Und weil das so ist, kannst Du 1+1 invertieren und hast A= ... + ..., wobei die eine matrix symmetrisch und die andere schiefsymmetrisch ist.
Gruß v. Angela
> ich stehe irgendwie noch aufn schlauch.
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sorry hab mich verschrieben und falsch ausgedrückt. ich meinte erklären das es bei 1+1=0 nicht geht. jedenfalls glaub ich das es nicht funktioniert.
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> sorry hab mich verschrieben und falsch ausgedrückt. ich
> meinte erklären das es bei 1+1=0 nicht geht.
Hallo,
hattest Du denn meine Antwort gelesen?
Da stand es drin - vielleicht nicht holzhammermäßig genug ausgedrückt.
Das bedenkenswerte Stichwort ist "invertieren".
Welche Körperelemente sind invertierbar?
In welchen Körpern ist 1+1 invertierbar?
Gruß v. Angela
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hey,
es tut mir leid das ich so ein brett vorm kopf habe, aber es hat nicht klick gemacht. bin im ersten semester und wahrscheinlich habe ich mich an solche aufgaben noch nicht gewöhnt. also ich denke das [mm] 1+1\not=0 [/mm] invertierbar ist, aber halt nur wenn es [mm] \not=0 [/mm] ist oder? danke für deine geduld
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> hey,
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> es tut mir leid das ich so ein brett vorm kopf habe, aber
> es hat nicht klick gemacht. bin im ersten semester und
> wahrscheinlich habe ich mich an solche aufgaben noch nicht
> gewöhnt. also ich denke das [mm]1+1\not=0[/mm] invertierbar ist,
> aber halt nur wenn es [mm]\not=0[/mm] ist oder?
Hallo,
ja.
Mit Ausnahme der 0 ist in Körpern jedes Element invertierbar.
Und wenn [mm] 1+1\not=0, [/mm] kannst Du also 1+1 invertieren.
Wäre 1+1=0, würde das nicht funktionieren.
Gruß v. Angela
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dann habe ich es ja ungefähr verstanden. in meiner aufgabe steht das ich ein gegenbeispiel geben soll wenn das nicht funktioniert. da reicht es ja sicher nicht zusagen: geht nicht weil nicht invbertierbar. kannste mir vllt da noch helfen? danke danke
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> dann habe ich es ja ungefähr verstanden. in meiner aufgabe
> steht das ich ein gegenbeispiel geben soll wenn das nicht
> funktioniert. da reicht es ja sicher nicht zusagen: geht
> nicht weil nicht invbertierbar. kannste mir vllt da noch
> helfen? danke danke
Hallo,
bau Dir ein Gegenbeispiel.
Nimm den kleinsten Körper, den es gibt, nämlich den mit den beiden Elementen 0 und 1.
Ich denke, daß Ihr den kurz besprochen habt. In diesem Körper ist 1+1=0.
Nun überlege Dir, daß Du die Matrix [mm] A:=\pmat{1&1\\0&0} [/mm] nicht wie gefordert zerlegen kannst.
Nimm dazu an, Du hättest eine symmetrische und eine schiefsymmetrische 2x2-Matrix über dem zweielementigen Körper K, welche addiert A ergeben...
Wie sehen symmetrische [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen aus? Wie schiefsymmetrische?
Gruß v. Angela
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ok also den körper den du meinst ist doch der [mm] \IF_{2} [/mm] oder?
und eine symmetrische matrix wäre doch zum beispiel [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und für eine schiefsymmetrische matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }. [/mm] richtig? oder meintest du die jez nicht?
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> ok also den körper den du meinst ist doch der [mm]\IF_{2}[/mm]
> oder?
Hallo,
ja, genau.
> und eine symmetrische matrix wäre doch zum beispiel
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] und für eine schiefsymmetrische
> matrix [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1}
= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
> .[/mm] richtig?
Die Einheitsmatrix über [mm] \IF_2 [/mm] ist symmetrisch und schiefsymmetrisch - über [mm] \IR [/mm] wäre dies nicht der Fall.
> oder meintest du
> die jez nicht?
Nein.
Wie Du in Deiner Mitteilung schreibst: Du sollst eine symmetrische Matrix und eine schiefsymmetrische suchen, die addiert die Matrix A ergeben bzw. zeigen, daß das nicht geht.
Gruß v. Angela
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ok danke ich glaube jez bekomme ich es hin. danke für deine geduld.
Lg
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ach nee ich muss ja garkeine symmetrische und schiefsymmetrische matrix finden sonder einfach A aus den [mm] \IF_{2} [/mm] nehemen und dann so darstellen wie in meinem beweis und dann müsste dies ja nicht gehen. und das wäre dann das gegenbeispiel. oder hab ich noch was vergessen
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