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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Di 23.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
So, diesmal blicke ich nicht so ganz durch, habe aber mal ein bisschen rumgerechnet.
Folgende Matrix ist gegeben:
[mm] R_{\phi}= \pmat{\cos\phi & \sin\phi \\ -\sin\phi & \cos\phi }
[/mm]
Hiervon soll ich nun Determninante, Eigenvektoren und Eigenwerte berechnen.
Als Determinante erhalte ich: [mm] \cos^2\phi+\sin^2\phi [/mm] und das ist doch =1, oder?
Um die Eigenvektoren und Eigenwerte zu berechnen, muss ich doch das charakteristische Polynom berechnen, oder geht das noch anders? Jedenfalls habe ich dafür raus:
[mm] \lambda^2-2\lambda\cos\phi+1
[/mm]
Dann habe ich meinen Rechner mal rechnen lassen, und er gibt mir als Eigenwerte folgende:
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \cos\phi \pm \wurzel{\cos^2\phi -1}
[/mm]
und da wieder [mm] \sin^2+\cos^2=1, [/mm] gilt:
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \cos\phi \pm \wurzel{-\sin^2\phi}
[/mm]
Erste Frage: geht das überhaupt? Ich habe hier keine Angabe darüber, dass ich mich vielleicht ind en komplexen Zahlen befinde...
Jedenfalls kommt mir diese Lösung sehr kompliziert vor, so dass ich gerne erstmal wüsste, ob das stimmen kann, bevor ich weiterrechne.
Aber ich habe mir schon mal überlegt, wie ich dann weiterrechnen muss:
[mm] \pmat{\cos\phi & \sin\phi \\ -\sin\phi & \cos\phi } \vektor{v_1 \\ v_2} [/mm] = [mm] \cos\phi [/mm] + [mm] \wurzel{-\sin^2\phi} \vektor{v_1 \\ v_2} [/mm]
(und für "-" natürlich dasselbe)
dann hätte ich zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (ich suche doch [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] oder? Jedenfalls kam da bei mir [mm] v_1=v_2=0 [/mm] raus und das wundert mich.
Kann es theoretisch sein, dass ein Eigenvektor =0 ist? Ist das dann nicht gerade nicht als Eigenvektor definiert (oder war das nur bei den Eigenwerten so?)?
Naja, ich hoffe, da steckt irgendwo anders ein Fehler und irgendjemand findet ihn...
Viele Grüße
Bastiane
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
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Halli hallo!
> Hallo!
> So, diesmal blicke ich nicht so ganz durch, habe aber mal
> ein bisschen rumgerechnet.
> Folgende Matrix ist gegeben:
> [mm]R_{\phi}= \pmat{\cos\phi & \sin\phi \\ -\sin\phi & \cos\phi }
[/mm]
>
is ja ne tolle Aufgabe 
> Hiervon soll ich nun Determninante, Eigenvektoren und
> Eigenwerte berechnen.
> Als Determinante erhalte ich: [mm]\cos^2\phi+\sin^2\phi[/mm] und
> das ist doch =1, oder?
> Um die Eigenvektoren und Eigenwerte zu berechnen, muss ich
> doch das charakteristische Polynom berechnen, oder geht das
> noch anders? Jedenfalls habe ich dafür raus:
> [mm]\lambda^2-2\lambda\cos\phi+1
[/mm]
> Dann habe ich meinen Rechner mal rechnen lassen, und er
> gibt mir als Eigenwerte folgende:
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\cos\phi \pm \wurzel{\cos^2\phi -1}
[/mm]
> und da
> wieder [mm]\sin^2+\cos^2=1,[/mm] gilt:
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\cos\phi \pm \wurzel{-\sin^2\phi}
[/mm]
>
bis hierhin hab ich auch alles so herausbekommen.
> Erste Frage: geht das überhaupt? Ich habe hier keine Angabe
> darüber, dass ich mich vielleicht ind en komplexen Zahlen
> befinde...
> Jedenfalls kommt mir diese Lösung sehr kompliziert vor, so
> dass ich gerne erstmal wüsste, ob das stimmen kann, bevor
> ich weiterrechne.
>
Also wenn es um die reellen Zahlen geht, dann gibt es keine Eigenwerte.
Im komplexen natürlich schon!
Ich würd mal jemanden fragen, der sich für die Aufgabe verantwortlich zeigt
> Aber ich habe mir schon mal überlegt, wie ich dann
> weiterrechnen muss:
> [mm]\pmat{\cos\phi & \sin\phi \\ -\sin\phi & \cos\phi } \vektor{v_1 \\ v_2}[/mm]
> = [mm]\cos\phi[/mm] + [mm]\wurzel{-\sin^2\phi} \vektor{v_1 \\ v_2}[/mm]
>
> (und für "-" natürlich dasselbe)
> dann hätte ich zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (ich
> suche doch [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] oder?
Hier habe ich einen Fehler gefunden. Zur Berechnung der Eigenvektoren mußt du ja die Lösung der Gleichung [mm] (A-{\lambda}E)*v=0 [/mm] berechnen.
Also erhälst du jeweils
[mm] \pmat{\pm\wurzel{-\sin^{2}\phi} & \sin\phi \\ -\sin\phi & \pm\wurzel{\sin^{2}\phi} } \vektor{v_1 \\ v_2}=0
[/mm]
> Jedenfalls kam da bei mir
> [mm]v_1=v_2=0[/mm] raus und das wundert mich.
Da erhalte ich dann dass beide Einträge von v, also [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2}, [/mm] beliebig sind.
> Kann es theoretisch sein, dass ein Eigenvektor =0 ist? Ist
> das dann nicht gerade nicht als Eigenvektor definiert (oder
> war das nur bei den Eigenwerten so?)?
>
> Naja, ich hoffe, da steckt irgendwo anders ein Fehler und
> irgendjemand findet ihn...
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
also ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Di 23.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Ulrike!
Also zuerst schon mal danke, du hast mir auf jeden Fall schon mal weitergeholfen, ich war mir nämlich sehr unsicher, ob das richtig ist, und wenn du den Anfang auch so hast, dann wird das wohl stimmen! 
> > Folgende Matrix ist gegeben:
> > [mm]R_{\phi}= \pmat{\cos\phi & \sin\phi \\ -\sin\phi & \cos\phi }
[/mm]
>
> >
> is ja ne tolle Aufgabe
Wieso? Ist das vielleicht ne Standardaufgabe? *gg*
> Also wenn es um die reellen Zahlen geht, dann gibt es keine
> Eigenwerte.
> Im komplexen natürlich schon!
> Ich würd mal jemanden fragen, der sich für die Aufgabe
> verantwortlich zeigt
Naja, ich gehe mal davon aus, dass ich mich hier dann im Komplexen befinde, sonst könnte ich doch gar nicht weiterrechnen, oder?
Aber kann ich denn die Wurzel dann berechnen? Ich habe es so versucht, stimmt das? (ich hab's mit den komplexen Zahlen nicht so...)
[mm] \wurzel{-\sin^2\phi} [/mm] = [mm] \wurzel{(-1)\sin^2\phi} [/mm] = [mm] \wurzel{-1}*\wurzel{\sin^2\phi} [/mm] = [mm] i*\sin\phi
[/mm]
Wäre schön, wenn das so stimmen würde, dann würde sich der weitere Teil doch ganz schön vereinfachen, oder? Aber ich fürchte, da ist ein Haken dabei...
> > Aber ich habe mir schon mal überlegt, wie ich dann
> > weiterrechnen muss:
> > [mm]\pmat{\cos\phi & \sin\phi \\ -\sin\phi & \cos\phi } \vektor{v_1 \\ v_2}[/mm]
>
> > = [mm] ( \cos\phi[/mm] + [mm]\wurzel{-\sin^2\phi} ) \vektor{v_1 \\ v_2}[/mm]
>
> >
> > (und für "-" natürlich dasselbe)
> > dann hätte ich zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
> (ich
> > suche doch [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] oder?
>
> Hier habe ich einen Fehler gefunden. Zur Berechnung der
> Eigenvektoren mußt du ja die Lösung der Gleichung
> [mm](A-{\lambda}E)*v=0[/mm] berechnen.
Also, als erstes hatte ich da mal eine Klammer vergessen, die habe ich jetzt mal hinzugefügt (eigentlich wollte ich sie rot machen, aber irgendwie schaffe ich das im Moment nicht)...
Und dann habe ich eine Frage:
Es muss doch gelten: [mm] Av=\lambda [/mm] v. Das ist das, was ich da oben geschrieben habe. Und das, was du geschrieben hast, ist [mm] (A-{\lambda}E)*v=0 [/mm] und das ist doch quasi dasselbe, oder?
Jedenfalls habe ich mich da gerade irgendwie etwas verhaspelt beim Rechnen, muss ich morgen nochmal machen.
> Also erhälst du jeweils
> [mm]\pmat{\pm\wurzel{-\sin^{2}\phi} & \sin\phi \\ -\sin\phi & \pm\wurzel{\sin^{2}\phi} } \vektor{v_1 \\ v_2}=0
[/mm]
>
>
> > Jedenfalls kam da bei mir
> > [mm]v_1=v_2=0[/mm] raus und das wundert mich.
>
> Da erhalte ich dann dass beide Einträge von v, also [mm]v_{1}[/mm]
> und [mm]v_{2},[/mm] beliebig sind.
Aber, wenn das hier so stimmt, was heißt das dann? Das alle Vektoren Eigenvektoren sind - kann das denn sein? Das kommt mir auch irgendwie komisch vor...
> also ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!
Ja, auf jeden Fall - und vielleicht kannst du es auch nochmal?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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Hallo Bastiane!
> Hallo Ulrike!
> Also zuerst schon mal danke, du hast mir auf jeden Fall
> schon mal weitergeholfen, ich war mir nämlich sehr
> unsicher, ob das richtig ist, und wenn du den Anfang auch
> so hast, dann wird das wohl stimmen!
Wir könnten natürlich auch alle beide ein wenig doof sein
>
> > > Folgende Matrix ist gegeben:
> > > [mm]R_{\phi}= \pmat{\cos\phi & \sin\phi \\ -\sin\phi & \cos\phi }
[/mm]
>
> >
> > >
> > is ja ne tolle Aufgabe
> Wieso? Ist das vielleicht ne Standardaufgabe? *gg*
Ich mag so Aufgaben gar nicht! Winkel sind ein Grauen für mich ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
>
> > Also wenn es um die reellen Zahlen geht, dann gibt es
> keine
> > Eigenwerte.
> > Im komplexen natürlich schon!
> > Ich würd mal jemanden fragen, der sich für die Aufgabe
>
> > verantwortlich zeigt
> Naja, ich gehe mal davon aus, dass ich mich hier dann im
> Komplexen befinde, sonst könnte ich doch gar nicht
> weiterrechnen, oder?
> Aber kann ich denn die Wurzel dann berechnen? Ich habe es
> so versucht, stimmt das? (ich hab's mit den komplexen
> Zahlen nicht so...)
> [mm]\wurzel{-\sin^2\phi}[/mm] = [mm]\wurzel{(-1)\sin^2\phi}[/mm] =
> [mm]\wurzel{-1}*\wurzel{\sin^2\phi}[/mm] = [mm]i*\sin\phi
[/mm]
> Wäre schön, wenn das so stimmen würde, dann würde sich der
> weitere Teil doch ganz schön vereinfachen, oder? Aber ich
> fürchte, da ist ein Haken dabei...
Also ich sehe keinen. Das was du gemacht hast ist vollkommen ok!
>
> > > Aber ich habe mir schon mal überlegt, wie ich dann
> > > weiterrechnen muss:
> > > [mm]\pmat{\cos\phi & \sin\phi \\ -\sin\phi & \cos\phi } \vektor{v_1 \\ v_2}[/mm]
>
> >
> > > = [mm]( \cos\phi[/mm] + [mm]\wurzel{-\sin^2\phi} ) \vektor{v_1 \\ v_2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > (und für "-" natürlich dasselbe)
> > > dann hätte ich zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
>
> > (ich
> > > suche doch [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] oder?
> >
> > Hier habe ich einen Fehler gefunden. Zur Berechnung der
>
> > Eigenvektoren mußt du ja die Lösung der Gleichung
> > [mm](A-{\lambda}E)*v=0[/mm] berechnen.
> Also, als erstes hatte ich da mal eine Klammer vergessen,
> die habe ich jetzt mal hinzugefügt (eigentlich wollte ich
> sie rot machen, aber irgendwie schaffe ich das im Moment
> nicht)...
ich schaffe es nie, die Sachen fett oder rot oder sonstwie zu machen *g*
Wenn du das mal rausbekommst, bin ich offen für hinweise ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> Und dann habe ich eine Frage:
> Es muss doch gelten: [mm]Av=\lambda[/mm] v. Das ist das, was ich da
> oben geschrieben habe. Und das, was du geschrieben hast,
> ist [mm](A-{\lambda}E)*v=0[/mm] und das ist doch quasi dasselbe,
> oder?
So weit konnt ich nicht denken
> Jedenfalls habe ich mich da gerade irgendwie etwas
> verhaspelt beim Rechnen, muss ich morgen nochmal machen.
>
> > Also erhälst du jeweils
> > [mm]\pmat{\pm\wurzel{-\sin^{2}\phi} & \sin\phi \\ -\sin\phi & \pm\wurzel{\sin^{2}\phi} } \vektor{v_1 \\ v_2}=0
[/mm]
>
> >
> >
> > > Jedenfalls kam da bei mir
> > > [mm]v_1=v_2=0[/mm] raus und das wundert mich.
> >
> > Da erhalte ich dann dass beide Einträge von v, also [mm]v_{1}[/mm]
>
> > und [mm]v_{2},[/mm] beliebig sind.
> Aber, wenn das hier so stimmt, was heißt das dann? Das
> alle Vektoren Eigenvektoren sind - kann das denn sein? Das
> kommt mir auch irgendwie komisch vor...
>
Also mir ehrlich gesagt auch, aber deine Schlußfolgerung ist schon richtig, es wären alle vektoren auch Eigenvektoren...
> > also ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!
>
> Ja, auf jeden Fall - und vielleicht kannst du es auch
> nochmal?
Na ich hoffe ich hab dich nicht enttäuscht!
Liebe Grüße
Ulrike
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Di 23.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal, Ulrike!
> Wir könnten natürlich auch alle beide ein wenig doof sein
>
Na, das wollen wir doch mal nicht hoffen!
> > [mm]\wurzel{-\sin^2\phi}[/mm] = [mm]\wurzel{(-1)\sin^2\phi}[/mm] =
> > [mm]\wurzel{-1}*\wurzel{\sin^2\phi}[/mm] = [mm]i*\sin\phi
[/mm]
> > Wäre schön, wenn das so stimmen würde, dann würde sich
> der
> > weitere Teil doch ganz schön vereinfachen, oder? Aber ich
>
> > fürchte, da ist ein Haken dabei...
>
> Also ich sehe keinen. Das was du gemacht hast ist
> vollkommen ok!
Also, wenn das so stimmt, dann hieße das doch:
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \cos\phi \pm i\sin\phi, [/mm] und das ist doch sogar noch = [mm] e^{i\phi} [/mm] -jedenfalls für "+" - oder hab' ich das jetzt wieder falsch im Kopf? (Ich kann mir das irgendwie nie merken...)
Würde das die Rechnung vereinfachen? Werd's mal ausprobieren...
> ich schaffe es nie, die Sachen fett oder rot oder sonstwie
> zu machen *g*
> Wenn du das mal rausbekommst, bin ich offen für hinweise
>
Also, fett machst du die Sachen mit [, b, ] dann dein Wort oder die Wörter und dann das ganze nochmal mit nem / vor dem b. Halte doch einfach mal die Maus über mein "fett". Und für rot oder so müsste es eigentlich genauso gehen, ich wusste nur nicht, ob ich da jetzt "rot" oder "red" oder was schreiben soll, und die Vorschau dauerte zu lange.
> > Und dann habe ich eine Frage:
> > Es muss doch gelten: [mm]Av=\lambda[/mm] v. Das ist das, was ich
> da
> > oben geschrieben habe. Und das, was du geschrieben hast,
>
> > ist [mm](A-{\lambda}E)*v=0[/mm] und das ist doch quasi dasselbe,
>
> > oder?
>
> So weit konnt ich nicht denken
Aber das stimmt doch, oder?
> > Aber, wenn das hier so stimmt, was heißt das dann? Das
>
> > alle Vektoren Eigenvektoren sind - kann das denn sein?
> Das
> > kommt mir auch irgendwie komisch vor...
> >
>
> Also mir ehrlich gesagt auch, aber deine Schlußfolgerung
> ist schon richtig, es wären alle vektoren auch
> Eigenvektoren...
Heißt das, du könntest dich verrechnet haben?
Na dann, danke nochmal und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 Di 23.11.2004 | | Autor: | cremchen |
Hallo Bastiane!
> > Wir könnten natürlich auch alle beide ein wenig doof sein
>
> >
> Na, das wollen wir doch mal nicht hoffen!
aba echt
>
> > > [mm]\wurzel{-\sin^2\phi}[/mm] = [mm]\wurzel{(-1)\sin^2\phi}[/mm] =
> > > [mm]\wurzel{-1}*\wurzel{\sin^2\phi}[/mm] = [mm]i*\sin\phi
[/mm]
> > > Wäre schön, wenn das so stimmen würde, dann würde
> sich
> > der
> > > weitere Teil doch ganz schön vereinfachen, oder? Aber
> ich
> >
> > > fürchte, da ist ein Haken dabei...
> >
> > Also ich sehe keinen. Das was du gemacht hast ist
> > vollkommen ok!
> Also, wenn das so stimmt, dann hieße das doch:
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\cos\phi \pm i\sin\phi,[/mm] und das ist doch sogar
> noch = [mm]e^{i\phi}[/mm] -jedenfalls für "+" - oder hab' ich das
> jetzt wieder falsch im Kopf? (Ich kann mir das irgendwie
> nie merken...)
> Würde das die Rechnung vereinfachen? Werd's mal
> ausprobieren...
genau, hast recht!
Sowas konnt ich mir auch nicht merken
Für plus stimmt die Gleichung.
> > ich schaffe es nie, die Sachen fett oder rot oder
> sonstwie
> > zu machen *g*
> > Wenn du das mal rausbekommst, bin ich offen für
> hinweise
> >
> Also, fett machst du die Sachen mit [, b, ] dann dein Wort
> oder die Wörter und dann das ganze nochmal mit nem / vor
> dem b. Halte doch einfach mal die Maus über mein "fett".
> Und für rot oder so müsste es eigentlich genauso gehen, ich
> wusste nur nicht, ob ich da jetzt "rot" oder "red" oder was
> schreiben soll, und die Vorschau dauerte zu lange.
>
> > > Und dann habe ich eine Frage:
> > > Es muss doch gelten: [mm]Av=\lambda[/mm] v. Das ist das, was
> ich
> > da
> > > oben geschrieben habe. Und das, was du geschrieben
> hast,
> >
> > > ist [mm](A-{\lambda}E)*v=0[/mm] und das ist doch quasi dasselbe,
>
> >
> > > oder?
> >
> > So weit konnt ich nicht denken
> Aber das stimmt doch, oder?
Ja klar! Ich bin wohl nur auch nicht mehr ganz auf der Höhe meiner geistigen Leistungsfähigkeit ![[saumuede]](/images/smileys/saumuede.gif "[saumuede]")
>
> > > Aber, wenn das hier so stimmt, was heißt das dann?
> Das
> >
> > > alle Vektoren Eigenvektoren sind - kann das denn sein?
>
> > Das
> > > kommt mir auch irgendwie komisch vor...
> > >
> >
> > Also mir ehrlich gesagt auch, aber deine Schlußfolgerung
>
> > ist schon richtig, es wären alle vektoren auch
> > Eigenvektoren...
> Heißt das, du könntest dich verrechnet haben?
Naja, möglich ist das immer, aber hier denke ich eigentlich nicht ![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]")
>
> Na dann, danke nochmal und
![[zustimm]](/images/smileys/zustimm.gif "[zustimm]")
dir auch eine Gute nacht!!
Liebe Grüße
Ulrike
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Ulrike!
Ich hoffe, ich nerve nicht...
Hab' das mit den Eigenwerten jetzt nochmal gerechnet, also bei mir steht da dann:
[mm] v_1 \sin\phi [/mm] = [mm] -v_1 \sin\phi
[/mm]
Jetzt dachte ich schon, dass [mm] \sin\phi [/mm] = [mm] -\sin\phi, [/mm] aber das ist doch nur beim [mm] \cos [/mm] so, oder? Bist du sicher, dass diese Gleichung jetzt für alle [mm] v_1 [/mm] gilt? Oder was mache ich jetzt?
Viele Grüße
Bastiane
P. S.: Ach, ich hab's jetzt übrigens noch für den zweiten Eigenwert berechnet (also mit "-"), da steht dann bei mir: [mm] v_1\sin\phi [/mm] = [mm] v_1\sin\phi [/mm] und das gitl ja offensichtlich für alle [mm] v_1, [/mm] also gäbe es doch unendlich viele Eigenwerte!?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
du gestattest, wenn ich mich auch einmal einschalte. Ich habe diese Diskussion zu spät gelesen, sonst hätte ich mich wohl eher gemeldet.
Ich denke, du solltest dir erstmal bildlich vorstellen, was Eigenvektor und Eigenwert überhaupt bedeuten. Dazu stellen wir uns einmal die Vektoren als Pfeile vor. Die Mathegötter mögen mir das verzeihen, aber der Zweck heiligt die Mittel!
Ein Eigenvektor ist nichts anderes als ein Vektor, dessen Bild nach der Abbildung immer noch in die gleiche Richtung zeigt! (Evtl. um 180° in die andere Richtung).
Und der zugehörige Eigenwert ist ja lediglich der Streckungsfaktor, um den der Eigenvektor gestreckt wird. Ist er negativ, dann zeigt der Bildvektor um 180° in die andere Richtung als sein Urbild.
Und jetzt zu deiner Abbildung. Das ist ja nichts anderes als eine Drehung der der 2-dimensionalen Ebene um den Winkel [mm] $\varphi$, [/mm] im Uhrzeigersinn.
Was meinst du, welche Vektoren behalten die Richtung, wenn man die Ebene dreht?
Im Allgemeinen doch keiner, es sei denn, die Drehung erfolge um 0° oder um 180°.
Bei einer Drehung um 0° (oder allgemein um Vielfache von 360°) sind natürlich alle Vektoren der Ebene Eigenvektoren, sie verändern ihre Richtung ja nicht! Der zugehörige Eigenwert ist 1, weil sie durch die Drehung ja auch nicht gestreckt werden!
Wie sieht es bei 180° aus? Hier schauen alle Vektoren nach der Drehung genau in die entgegengesetzte Richtung! Der zugehörige Eigenwert ist demzufolge -1.
Bei allen anderen Drehwinkeln gibt es keine Eigenvektoren!
Dies kommt übrigens bei deiner Berechnung der Eigenwerte auch sehr schön zum Ausdruck:
[mm] $\cos{(\varphi)}\pm\wurzel{-\sin^{2}{(\varphi)}}$
[/mm]
Hier erkennst du, dass der Sinus 0 sein muss, damit da reelle Eigenwerte herauskommen. Da sich deine Aufgabe auf Drehungen bezieht, nehme ich schon an, dass nur die reellen Eigenwerte zu nehmen sind.
An diesem Beispiel kannst du auch schon langsam eine Ahnung davon bekommen, warum Drehungen nur in Vektorräumen mit ungerader Dimensionszahl unabhängig vom Drehwinkel einen reellen Eigenwert haben, und der hat sogar den Wert 1. Der Eigenvektor zeigt dann einfach in Richtung der Drehachse.
So, liebe Christiane, ich hoffe, mein Licht bringe etwas Helligkeit in das Dunkel und möge auch dich ein Wenig erleuchten! *schögeschwollennichtwahr?*
Mit lieben Grüssen
Paul
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