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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Mi 31.05.2006 | | Autor: | maggi20 |
| Aufgabe | Es sei A die n*n Matrix (a ik) mit aik = 1, falls i+k = n+1
0, sonst.
Bestimmen Sie [mm] A^k [/mm] (k beliebig gewählt aus N) |
Hallo liebe Leute!
Ich bin total verzweifelt bei dieser Aufagbe. Ich saß stundenlang dran. Ich verstehe überhaupt nicht was i und k sind und in welcher Verbindung sie zueinander stehen. [mm] A^k [/mm] ist doch die gesuchte Matrix oder? kann mir hier jemand weiterhelfen? Bitte, bitte, bitte. was mus ich hier machen.
Liebe Grüsse
Maggi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Mi 31.05.2006 | | Autor: | benta |
hallo maggi!
Die [mm] a_{ik} [/mm] sind die Matrixelemente der n*n Matrix, wobei i die Zeile und k die Spalte angibt. zB. [mm] a_{23} [/mm] ist das dritte Element in der zweiten Zeile.
Mit der Bedingung [mm] a_{ik} [/mm] = 1 für i+k = n+1 und 0 sonst erhältst du eine transponierte Einheitsmatrix.
Bsp. für eine 3*3 Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
bildet man nun Potenzen dieser Matrix [mm] A^{k}, [/mm] dann ergibt sich für jede positive Potenz (k=2, 4, 6, ...) die Einheitsmatrix, also
[mm] A^{2k} [/mm] = E für alle k aus [mm] \IN
[/mm]
Bsp.:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
und für alle ungeraden Potenzen wieder die ursprüngliche Matrix, also
[mm] A^{2k+1} [/mm] = A für alle k aus [mm] \IN
[/mm]
liebe grüße
bernd
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