Matrixumformung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Do 03.11.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Kann man die Matrix A= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 } [/mm] durch reelle elementare Zeilenumformungen in die Matrix B= [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] überführen? Ghet das auch durch ganzzahlige elementare Zeilenumformungen? |
Mein Ansatz: ja , es ist möglich , das A und B denselben Rang haben und dieselbe Zeilenstufenform. Reicht das als Begründung? Weiß jetzt aber nicht wirklich, was ich mit dem 2.Teil der Frage anfangen soll...
|
|
| |
|
> Kann man die Matrix A= [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 }[/mm] durch
> reelle elementare Zeilenumformungen in die Matrix B= [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
> überführen? Geht das auch durch ganzzahlige elementare
> Zeilenumformungen?
> Mein Ansatz: ja , es ist möglich , da A und B denselben
> Rang haben und dieselbe Zeilenstufenform. Reicht das als
> Begründung? Weiß jetzt aber nicht wirklich, was ich mit
> dem 2.Teil der Frage anfangen soll...
Hallo rollroll,
zum zweiten Teil: falls es möglich ist, so wären
das wohl ein paar wenige Umformungen, die man
mit Papier und Bleistift mit etwas rumprobieren
finden kann.
Man kann sich aber auch noch dies überlegen:
falls es mit nur ganzen Zahlen geht, so müsste
die Zusammenfassung dieser einzelnen Umformungen
zu einer Darstellung der Zeilenvektoren von B als
Linearkombinationen der Zeilenvektoren von A
führen, bei welcher nur ganzzahlige Faktoren
benützt werden. Berechne also die Faktoren für
diese Zerlegungen !
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Noch ein Hinweis:
die Überlegungen, die ich in meiner ersten Antwort
schon angegeben habe, kann man am Ende auch in eine
Form bringen, bei der nur noch eine Matrix berechnet
und die Ganzzahligkeit ihrer Elemente getestet werden
müssen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Do 03.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Dinge wie Linearkombinationen von zeilenvektoren hatten wir leider noch nicht... Was ist überhaupt der Unterschied einer reellen zu einer ganzzahligen umformung? Dass man nur Zahlen [mm] \in [/mm] IN benutzen darf?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Do 03.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Dinge wie Linearkombinationen von zeilenvektoren hatten wir
> leider noch nicht... Was ist überhaupt der Unterschied
> einer reellen zu einer ganzzahligen umformung? Dass man nur
> Zahlen [mm]\in[/mm] IN benutzen darf?
Nein , nur Zahlen aus [mm] \IZ.
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Do 03.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Ok klar, stimmt...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Do 03.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Aber wenn ich's mit reeller Umformung machen, benutze ich (in DIESEM Fall) doch auch nur Zahlen aus Z, deshalb verstehe ich die Frage nicht ganz...
|
|
|
| |
|
> Aber wenn ich's mit reeller Umformung machen, benutze ich
> (in DIESEM Fall) doch auch nur Zahlen aus Z, deshalb
> verstehe ich die Frage nicht ganz...
Nun versuch doch mal z.B. den ersten Zeilenvektor von B,
also den Vektor [mm] \pmat{2&1} [/mm] als eine Linearkombination der
beiden Zeilenvektoren von [mm] A=\pmat{1&1\\1&-1} [/mm] zu schreiben.
Suche also die Zahlenwerte x und y so, dass
$\ [mm] \pmat{2&1}\ [/mm] =\ [mm] x*\pmat{1&1} +y*\pmat{1&-1}$
[/mm]
gilt. Klappt dies mit ganzzahligen Werten für x und y ?
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Do 03.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Nun, dann wäre x=1,5 und y = 0,5
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Nun, dann wäre x=1,5 und y = 0,5
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Lösung ist auch eindeutig. Ganzzahlig ist sie aber nicht. 
Grüße
reverend
|
|
|
|
