Matrixberechnung bzgl. Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 So 01.08.2010 | | Autor: | Tazz |
| Aufgabe | Es sei [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \mathbb{Q}^{1x3}$ [/mm] → [mm] $\mathbb{Q}^{1x3}$ [/mm] die lineare Abbildung, für die [mm] $\varphi$([1,1,0]) [/mm] = [0,0,1] und [mm] $\varphi$ [/mm] ([0,1,1]) = [0,1,0] und [mm] $\varphi$([2,4,3]) [/mm] = [1,0,0].
Weiter sei [mm] \mathcal{B} [/mm] := [mm] (e_1 ,e_2,e_3) [/mm] die Standardbasis, also [mm] e_1 [/mm] = [1,0,0], [mm] e_2 [/mm] = [0,1,0] und [mm] e_3 [/mm] = [0,0,1].
Berechnen Sie die Matrix von [mm] \varphi [/mm] bezüglich der Basis [mm] \mathcal{B}.
[/mm]
[mm] M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(\varphi) [/mm] = ? |
Hallo erstmal.
Ich tu mich immer sehr schwer bei den Basiswechselmatrizen und generell wenn es mit Abbildung zu tun hat.
Meine Idee dabei ist gewesen, [mm] $\varphi$(a,b,c)$ [/mm] zu bestimmen, so dass, jeweils [1,0,0], [0,1,0] und [0,0,1] rauskommen.
Dafür hab ich mir definiert:
[mm] b_1 [/mm] := [1,1,0]
[mm] b_2 [/mm] := [0,1,1]
[mm] b_3 [/mm] := [2,4,3]
Jetzt hab ich diese b's nur so linear verknüpft, dass ich die Einheitsverkoren rausbekommen habe.
[mm] -b_1 [/mm] - 3 [mm] b_2 [/mm] + [mm] b_3 [/mm] = [-1,-1,0] + [0,-3,-3] + [2,4,3] = [1,0,0]
[mm] 2*b_1 [/mm] + [mm] 3*b_2 [/mm] - [mm] b_3 [/mm] = [2,2,0] + [0,3,3] - [2,4,3] = [0,1,0]
[mm] -2*b_1 [/mm] - [mm] 2*b_2 [/mm] + [mm] b_3 [/mm] = [-2,-2,0] + [0,-2,-2] + [2,4,3] = [0,0,1]
Dann hab ich diese b Vorfaktoren noch in die Matrix [mm] M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(\varphi) [/mm] gepackt und ich bin fertig.
So denke ich mir zumindest, dass es so geht. Wieso es genau so gehen soll weiß ich auch noch nicht ganz.
Raus habe ich dann:
[mm] M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(\varphi) [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 }
[/mm]
Würde mich über ein Feedback freuen.
LG
Tazz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 So 01.08.2010 | | Autor: | DrNetwork |
Ich häng grad auch in dem Thema trau mir keine Antwort zu weil ich mir unsicher bin, ich rechne es mal gleich nach. Für eine fortführende Aufgabe empfehl ich dir den Thread: http://www.matheforum.net/read?t=704701
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Ich markier die Antwort mal als "teilweise beantwortet" damit Leute sie unbedingt prüfen.
> Meine Idee dabei ist gewesen, [mm]$\varphi$(a,b,c)$[/mm] zu
> bestimmen, so dass, jeweils [1,0,0], [0,1,0] und [0,0,1]
> rauskommen.
>
> Dafür hab ich mir definiert:
> [mm]b_1[/mm] := [1,1,0]
> [mm]b_2[/mm] := [0,1,1]
> [mm]b_3[/mm] := [2,4,3]
Das wäre eigentlich sowas wie eine Basis C={[1,1,0],[0,1,1],[2,4,3]}
> Dann hab ich diese b Vorfaktoren noch in die Matrix
> [mm]M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(\varphi)[/mm] gepackt und ich bin
> fertig.
kann man auch mit Gauß machen ...
> So denke ich mir zumindest, dass es so geht. Wieso es genau
> so gehen soll weiß ich auch noch nicht ganz.
> Raus habe ich dann:
>
> [mm]M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(\varphi)[/mm] = [mm]\pmat{ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1 }[/mm]
... hab das gleiche raus aber, ich denke das ist so eine Abb. Matrix [mm] M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}(\varphi) [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ -2 & -2 & 1}
[/mm]
also von der einen Abbildung in die Andere. Wenn ich das richtig verstanden hab, haben wir nämlich nun die Bilder der Basisvektoren bzgl. C in der Matrix in den Koordinatenvektoren in B.
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Hallo,
wenn ich das richtig sehe, stimmt deine Matrix leider nicht. Du kannst das aber immer ganz gut selbst überprüfen.
Bedenke, dass für die Matrix $ A = [mm] [\varphi]_B^B [/mm] = [mm] M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(\varphi) [/mm] $ (ich werde im folgenden $ [mm] [\varphi]_B [/mm] $ für das Ganze schreiben) immer gilt:
Die Spalten von $ [mm] [\varphi]_B [/mm] $ sind die Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren bzgl $ B $.
Bezeichnen wir mit $ [mm] s_1, s_2, s_3 [/mm] $ die Spalten, heißt das konkret:
$ [mm] s_1 [/mm] = [mm] [\varphi(v_1)]_B \gdw s_1 [/mm] = [mm] [\varphi \vektor{1 \\ 0 \\ 0}]_B [/mm] $
In diesem Fall ist das Ganze nun natürlich ein wenig verzwickter, weil wir die Darstellungsmatrix $ A $ (noch) nicht kennen.
Wir wissen aber, wie die Bilder von gewissen Vektoren aussehen und die haben immer relativ auffällige Eigenschaften.
Du hast:
$\ [mm] \varphi \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] $, $\ [mm] \varphi \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] $, $\ [mm] \varphi \vektor{2\\ 4 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] $ $\ \ \ \ [mm] (\*) [/mm] $
Nun erinner' dich an das oben geschriebene.
Die Spalte $ [mm] \vektor{a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31}}$ [/mm] ist der Koordinatenvektor von $ [mm] v_1 \in [/mm] B $ bezüglich der selben Basis $ B $.
Also:
$ [mm] [\varphi \vektor{1 \\ 0 \\ 0}]_B [/mm] = [mm] \vektor{a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31}} \gdw \varphi \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] a_{11}e_1 [/mm] + [mm] a_{21}e_2 [/mm] + [mm] a_{31}e_1$ [/mm] $\ \ \ [mm] (\*\*) [/mm] $
Wegen $\ [mm] (\*) [/mm] $ gilt $ [mm] e_1 [/mm] =: [mm] \varphi \vektor{2\\ 4 \\ 3} [/mm] $, $ [mm] e_2 [/mm] =: [mm] \varphi \vektor{0 \\ 1 \\ 1}$ [/mm] und $ [mm] e_3 [/mm] =: [mm] \varphi \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] $
Setze das nun passend in $\ \ [mm] (\*\*) [/mm] $ ein und nutze die linearität von $ [mm] \varphi [/mm] $.
Du hast dann ein $ 3 [mm] \times [/mm] 3 $-Gleichungssystem zu lösen.
Analog das Ganze dann für die Spalten $ [mm] s_2, s_3 [/mm] $.
Hilft das?
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 So 01.08.2010 | | Autor: | DrNetwork |
Naja mir nicht. Haben wir doch so gemacht oder wo ist jetzt der Unterschied?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 So 01.08.2010 | | Autor: | Tazz |
Ich erkennen auch keinen Unterschiede. Deine [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] sind meine Vorfaktoren!?
Kannst du oder jemand denn ein Beispiel für die 1. Spalte von [mm] M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(\varphi) [/mm] geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 So 01.08.2010 | | Autor: | DrNetwork |
Nein du musst eine Frage stellen, damit das jemand mitbekommt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 So 01.08.2010 | | Autor: | Tazz |
> [mm] \varphi \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] a_{11}e_1 [/mm] + [mm] a_{21}e_2 [/mm] + [mm] a_{31}e_1
[/mm]
Wir soll das denn konkret aussehen?
soll [mm] $a_{11}e_1 [/mm] + [mm] a_{21}e_2 [/mm] + [mm] a_{31}e_3 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] sein oder = [mm] \vektor{2 \\ 4 \\ 3} [/mm] ?
Ich versteh bei deinen Rechnung auch nicht, wie ich überhaupt an die a's kommen soll, wenn ich es nicht so, wie ich es gemacht habe, machen soll?
(*) in (**) eingesetzt ergibt bei mir:
[mm] \varphi \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] a_{11}\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] a_{21}\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] a_{31}\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31}}
[/mm]
Da drehe ich mich im Kreis...
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Hallo,
ich schrieb' doch, dass man die Linearität von $ [mm] \varphi [/mm] $ ausnutzen soll.
Also:
$ [mm] [\varphi \vektor{1 \\ 0 \\ 0}]_B [/mm] = [mm] \vektor{a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31}} \gdw \varphi \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] a_{11}e_1 [/mm] + [mm] a_{21}e_2 [/mm] + [mm] a_{31}e_\red{3} [/mm] $
Wir haben $ [mm] e_1 [/mm] =: [mm] \varphi \vektor{2\\ 4 \\ 3} [/mm] $, $ [mm] e_2 [/mm] =: [mm] \varphi \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] $ und $ [mm] e_3 [/mm] =: [mm] \varphi \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] $
Dann gilt
$ [mm] \varphi \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] a_{11}\varphi \vektor{2\\ 4 \\ 3} [/mm] + [mm] a_{21}\varphi \vektor{0 \\ 1 \\ 1}+ a_{31}\varphi \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] $
$ [mm] \varphi \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \varphi \vektor{2a_{11}\\ 4a_{11} \\ 3a_{11}} [/mm] + [mm] \varphi \vektor{0 \\ a_{21} \\ a_{21}}+ \varphi \vektor{a_{31} \\ a_{31} \\ 0} [/mm] = [mm] \varphi \vektor{2a_{11} + a_{31}\\ 4a_{11} + a_{21} + a_{31} \\ 3a_{11}+ a_{21}}$ [/mm]
Also
$ [mm] \varphi \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \varphi \vektor{2a_{11} + a_{31}\\ 4a_{11} + a_{21} + a_{31} \\ 3a_{11}+ a_{21}}$ [/mm]
Das Gleichungssystem lösen gibt die Skalare $ [mm] a_{11}, a_{21}, a_{31} [/mm] $
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 So 01.08.2010 | | Autor: | Tazz |
Dankeschön. Jetzt hab ich es verstanden.
Ich hatte bei mir nur eine andere Basenreihenfolge gewählt sowie es in Zeilen anstatt in Spalten eingetragen, und bei einem Vorzeichen verschrieben. Aber deine Methode hat mehr Sinn als meine Zufallsmethode.
Für diejenigen die es nachrechnen wollten:
$ [mm] a_{11}=1, a_{21}=-3, a_{31}=-1 [/mm] $
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