Matrix und Fixpunkt < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Fr 24.04.2009 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe 1 | Zeigen Sie, dass mit der Matrix A:= [mm] \pmat{ 1 & \sqrt{-2} \\ \sqrt{-2} & 0 } [/mm] die Ungleichung:
||Ax [mm] ||_{2} \le [/mm] 2 ||x [mm] ||_{2} [/mm] für alle x [mm] \in \IR^{2} [/mm] erfüllt ist.
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| Aufgabe 2 | Beweisen Sie, dass die durch f(x) := ¼ (Ax + b) mittels der oben angegeben Matrix A und dem Vektor b: = (1, [mm] \sqrt{3}) [/mm] definierte Abbildung auf der Teilmenge D:= {(x,y) I [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \le [/mm] 1} der euklidischen Ebene [mm] (\IR^{2}, [/mm] Zweinorm) einen eindeutigen Fixpunkt hat.
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Hi,
kann mir jemand mal einen Denkanstoß bitte geben.
Dankeschön.
Gruß
Sind meine Überlegungen soweit richtig, wie mach ich da weiter:
[mm] \pmat{ 1 & \sqrt{-2} \\ \sqrt{-2} & 0 } [/mm] * (x,y) =
[mm] \pmat{ x - \sqrt{2} y \\ - \sqrt{2} x } [/mm] da in der Zweinorm ergibt:
[mm] \sqrt{(x - \sqrt{2} y)^{2} +(\sqrt{2} x)^{2}} [/mm] = [mm] \sqrt{(x^{2} - 2 * \sqrt{2}*x*y + y^{2})+(2 x^{2})} [/mm] = [mm] \sqrt{3 x^{2} + 2 y^{2} - 2 * \sqrt{2}*x*y }
[/mm]
und der andere Term 2 * ||x [mm] ||_{2} [/mm] wird 2 * [mm] \sqrt{x^{2} + y^{2}}
[/mm]
und wie mache ich da weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Fr 24.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass mit der Matrix A:= [mm]\pmat{ 1 & \sqrt{-2} \\ \sqrt{-2} & 0 }[/mm]
> die Ungleichung:
> ||Ax [mm]||_{2} \le[/mm] 2 ||x [mm]||_{2}[/mm] für alle x [mm]\in \IR^{2}[/mm]
> erfüllt ist.
>
>
> Beweisen Sie, dass die durch f(x) := ¼ (Ax + b) mittels der
> oben angegeben Matrix A und dem Vektor b: = (1, [mm]\sqrt{3})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> definierte Abbildung auf der Teilmenge D:= {(x,y) I [mm]x^{2}[/mm]
> + [mm]y^{2} \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1} der euklidischen Ebene [mm](\IR^{2},[/mm] Zweinorm)
> einen eindeutigen Fixpunkt hat.
>
>
> Hi,
> kann mir jemand mal einen Denkanstoß bitte geben.
> Dankeschön.
> Gruß
>
> Sind meine Überlegungen soweit richtig, wie mach ich da
> weiter:
> [mm]\pmat{ 1 & \sqrt{-2} \\ \sqrt{-2} & 0 }[/mm] * (x,y) =
> [mm]\pmat{ x - \sqrt{2} y \\ - \sqrt{2} x }[/mm] da in der
> Zweinorm ergibt:
> [mm]\sqrt{(x - \sqrt{2} y)^{2} +(\sqrt{2} x)^{2}}[/mm] =
> [mm]\sqrt{(x^{2} - 2 * \sqrt{2}*x*y + y^{2})+(2 x^{2})}[/mm] =
> [mm]\sqrt{3 x^{2} + 2 y^{2} - 2 * \sqrt{2}*x*y }[/mm]
> und der
> andere Term 2 * ||x [mm]||_{2}[/mm] wird 2 * [mm]\sqrt{x^{2} + y^{2}}[/mm]
>
> und wie mache ich da weiter?
Du zeigst $3 [mm] x^2 [/mm] + 2 [mm] y^2 [/mm] - 2 [mm] \sqrt{2} [/mm] x y [mm] \le [/mm] 4 [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2)$ [/mm] fuer alle $x, y [mm] \in \IR$.
[/mm]
Zu b): Genau dann ist $x$ ein Fixpunkt von $f$, wenn $f(x) = x$ gilt. Dies liefert dir ein lineares Gleichungssystem; loese dies. Es sollte genau eine Loesung in $D$ geben.
LG Felix
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