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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Mo 11.08.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Sei [mm] A=\pmat{1&-i\\i&1} \in M_{22}(\IC) [/mm]. Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix Q, so dass [mm] \overline{Q}^TAQ [/mm] eine Diagonalmatrix ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe diese Aufgabe so gelöst, dass ich den Vektor e1 gewählt habe als 1. Spalte für Q, da [mm] \vektor{1&0} A \vektor{1\\0} = 1 [/mm], also ungleich 0 ergibt. Dann habe ich einen Vektor gesucht, der senkrecht auf e1 steht, damit auch linear unabhängig ist:
[mm] \vektor{1&0} A \vektor{\overline{x_1}\\\overline{x_2}} = 0 \Rightarrow \vektor{1&-i} A \vektor{\overline{x_1}\\\overline{x_2}} = 0 [/mm] und das ist der Fall für den Vektor [mm] \vektor{i\\-1} [/mm].
Jetzt dachte ich, diese 2 Vektoren nebeneinander ergeben die gesuchte Matrix Q (wenn mein Körper [mm] \IR [/mm] ist, ist das auch der Fall) aber in meiner vorgegebenen Lösung ist dies eine Matrix, die erst noch komplex konjugiert wird, und dann erst Q ist.
Warum ist dies nötig, in [mm] \overline{Q}^TAQ [/mm] ist Q doch Q ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das liegt wohl nur daran, weil in deiner Aufgabe steht [mm] $\overline{Q}$, [/mm] d.h. du hast wohl direkt schon die nicht komplex konjugierte Matrix Q gefunden.
Wenn du dir dein Q hernimmst, und das so umrechnest, dann siehst du, dass da keine Diagonalmatrix rauskommt.
Wählst du allerdings dann das komplex konjugierte davon als Q, dann bekommst du eine Diagonalmatrix raus.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Mo 11.08.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Kroni,
ja, stimmt, du hast recht, ich habe es auchnachgerechnet.
VIELEN DANK !
LG, Susanne.
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