Matrix diagonalisieren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:32 Do 09.04.2009 | | Autor: | Teradil |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix A = [mm] \pmat{ 3 & 1 & -4 \\ 1 & 5 & 1 \\ -4 & 1 & 10 }.
[/mm]
Finden Sie eine Matrix P [mm] \in \IR^{3 \times 3} [/mm] so, dass [mm] P^T*A*P [/mm] eine Diagonalmatrix ist. |
Aus der Vorlesung ist bekannt, dass jede symmetrische Matrix durch eine orthogonale Matrix diagonalisierbar ist. Also auch diese Matrix. Nun habe ich das charakteristische Polynom bestimmt und herausbekommen, dass diese Matrix nur komplexe Eigenwerte besitzt. Damit kann ich schonmal P nicht aus den Eigenvektoren von A aufbauen.
Da P orthogonal ist [mm] (P^T*P [/mm] = I) gilt, dass die Spalten- und Zeilenvektoren orthogonal zueinander sind.
Sei P = [mm] \pmat{ a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i }, [/mm] dann gelten folgende Gleichungen:
ab + de + gh = 0
ac + df + gi = 0
bc + ef + hi = 0
ad +be + cf = 0
ag + bh + ci = 0
dg + eh + fi = 0
Außerdem komme ich mit D = [mm] P^T*A*P [/mm] = [mm] \pmat{ x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z } [/mm] auf folgende Gleichungen:
(3 a+d-4 g) a+(a+5 d+g) d+(-4 a+d+10 g) g = x
(3 a+d-4 g) b+(a+5 d+g) e+(-4 a+d+10 g) h = 0
(3 a+d-4 g) c+(a+5 d+g) f+(-4 a+d+10 g) i = 0
(3 b+e-4 h) a+(b+5 e+h) d+(-4 b+e+10 h) g = 0
(3 b+e-4 h) b+(b+5 e+h) e+(-4 b+e+10 h) h = y
(3 b+e-4 h) c+(b+5 e+h) f+(-4 b+e+10 h) i = 0
(3 c+f-4 i) a+(c+5 f+i) d+(-4 c+f+10 i) g = 0
(3 c+f-4 i) b+(c+5 f+i) e+(-4 c+f+10 i) h = 0
(3 c+f-4 i) c+(c+5 f+i) f+(-4 c+f+10 i) i = z
Bringt mich dieser Ansatz sehr viel weiter? Oder gibt es da noch etwas weniger aufwändiges, als jetzt 9 Gleichungen (mit 6 Nebenbedingungen) durchzuackern, um (x,y,z) zu bestimmen? Wenn ja: Wie?
|
|
| |
|
> Gegeben sei die Matrix A = [mm]\pmat{ 3 & 1 & -4 \\ 1 & 5 & 1 \\ -4 & 1 & 10 }.[/mm]
>
> Finden Sie eine Matrix P [mm]\in \IR^{3 \times 3}[/mm] so, dass
> [mm]P^T*A*P[/mm] eine Diagonalmatrix ist.
> Aus der Vorlesung ist bekannt, dass jede symmetrische
> Matrix durch eine orthogonale Matrix diagonalisierbar ist.
> Also auch diese Matrix. Nun habe ich das charakteristische
> Polynom bestimmt und herausbekommen, dass diese Matrix nur
> komplexe Eigenwerte besitzt.
Hallo,
Du hast Dich verrechnet. Symmetrische Matrizen haben nur reelle Eigenwerte.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:44 Do 09.04.2009 | | Autor: | Teradil |
Das hätte ich ja auch gerne geglaubt, wenn MAPLE mir nicht folgendes ausspucken würde:
> with(LinearAlgebra);
> A := Matrix([ [3, 1, -4], [1, 5, 1], [-4, 1, 10] ])
> CharacteristicPolynomial(A, x);
[mm] -49+x^3-18x^2+77x
[/mm]
> Eigenvalues(A);
[mm] \bruch{1}{6}*(2052+84I\wurzel{6699})^{\bruch{1}{3}}+\bruch{62}{2052+84I\wurzel{6699})^{\bruch{1}{3}}}+6
[/mm]
...
Da gibt's noch zwei weitere, sehr viel hässlichere Werte...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:53 Do 09.04.2009 | | Autor: | Teradil |
Das Polynom selber scheint ja offensichtlich mindestens eine reelle Nullstelle zu besitzen. Nur liegt die nicht sonderlich angenehm irgendwo zwischen [mm] \bruch{3}{4} [/mm] und [mm] \bruch{4}{5}...
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Das hätte ich ja auch gerne geglaubt, wenn MAPLE mir nicht
> folgendes ausspucken würde:
Hallo,
welche Verdauungsschwierigkeiten Dein Maple aktuell hat, kann ich Dir nun auch nicht sagen.
Es haben jedenfalls symmetrische Matrizen reelle Eigenwerte, wenn Du's nicht glaubst, guck Dir den beweis dazu an...
Mein Rechner liefert mir drei reelle Eigenwerte, [mm] x_1\approx [/mm] 0,7685, [mm] x_2\approx [/mm] 5,3794, [mm] x_3\approx [/mm] 11,8521, welche in der Tat nicht sonderlich gemütlich aussehen.
> Da gibt's noch zwei weitere, sehr viel hässlichere Werte...
Ich vermute, daß wir an der Häßlickeit der Werte nichts werden drehen können.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
