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| Aufgabe | Seien [mm] v_{1},...v_{n} [/mm] eine Basis für einen K-Vektorraum V und es sei [mm] A=(a_{ij})_{1 \le i \le m,1 \le j \le n} \varepsilon [/mm] M (m x n, K). Wir betrachten für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] m die Vektoren:
[mm] w_{i}:=\summe_{j=1}^{n}a_{ij}v{j}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass gilt: dim [mm] (span(w_{1},...w_{m}))= [/mm] Rang(A)
b) Geben Sie ein Verfahren zur Bestimmung einer Basis von [mm] span(w_{1},...w_{m}) [/mm] an. |
Guten Abend liebes matheforum.net Forum,
ich hänge bei meinem Übungsblatt an zwei Aufgaben fest (diese und eine weitere die ich hier im Forum gepostet habe) und brauche eure Hilfe. Unser Übungsgruppenleiter hat uns schonmal vorgewarnt, dass diese beiden Aufgaben es in sich haben :).
Und ich häng irgendwie total auf dem Schlauch, was vielleicht auch an der Uhrzeit liegen könnte.
Zu Aufgabe a:
dim [mm] (span(w_{1},...w_{m})), [/mm] d.h. es gibt eine Basis für [mm] span(w_{1},...w_{m}).
[/mm]
span [mm] (w_{1},...w_{m}), [/mm] es gibt also ein Unterraum mit [mm] \lambda_{1},...\lambda_{n} \varepsilon [/mm] K und [mm] w_{1},...w_{m} \varepsilon [/mm] K). Und weiter? Ist dies ein richtiger Ansatz oder muss man hier anders vorgehen.
Und wie kommt ich dann zum Rang, der mir ja die Anzahl der Nichtnullzeilen angibt. Oder ist es einfacher anderherum vorzugehen?
Zu b) Muss ich einfach das Verfahren nennen oder auch durchführen? Eine Basis besteht ja aus linear unabhängigen Vektoren und es muss ein Erzeugendensystem geben. Bei einer Matrix hätte ich jetzt gesagt, einfach die Matrix in ZSF bringen. Aber hier habe ich keine Schimmer, obwohl span mir doch hier was entscheidenes sagen sollte, oder?
Deswegen würde ich gerne wissen, ob ihr mir helfen könnt und mir entscheidene Tipps zum weiteren Vorgehen geben könntet. Welche Vorüberlegungen habe ich vergessen, was wäre ein möglicher Ansatz?
Wäre um jede Hilfe dankbar.
Gute Nacht wünscht euch ein neues Mitglied hier im Forum :).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Unsere genaue Definition für Rang lautet:
Sei A [mm] \varepsilon [/mm] M (m x n, K). Dann heißen dim(ZR(A)) bzw. dim(SR(A)) der Zeilenrang bzw. Spaltenrang von A.
ZR(A):=span [mm] (z_{1},...,z_{m})
[/mm]
SR(A):=span [mm] (s_{1},...,s_{n})
[/mm]
Also zu a) wär es bei einer allgemeinen Matrix einfach Definitionen einsetzen, aber habe ich es mit Vektoren zu tun. Deswegen bin ich nicht wirklich weiter als heute morgen. Wäre schön, wenn mir hier jemand ein paar Hilfestellungen geben könnte
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Für A $ [mm] \varepsilon [/mm] $ M (m x n, K) definieren wir den Rang durch
Rang (A):= Spaltenrang(A)(= Zeilenrang(A)).
Bei beiden Teilaufgaben bin ich immernoch nicht wirklich weiter.
Kann ich irgendwie zeigen, dass dim [mm] (span(w_{1},...w_{m})) [/mm] dem Zeilen-oder Spaltenrang entspricht? Wenn ja wie? Oder muss ich hier doch wie anfangs mit Basen und Unterräumen argumentieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Mi 17.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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