Matrix Hoch 25 berechnen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Di 11.11.2008 | | Autor: | Hanz |
Hallo,
also gegeben sind folgende Matrizen:
[mm] T=\pmat{ 1 & 1 & -5 \\ 1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 1 } [/mm] und [mm] P=\pmat{ 36 & -59 & -12 \\ 18 & -29 & -6 \\ 9 & -17 & -3 }
[/mm]
Zuerst sollten wir in a) die inverse Matrix zu T berechnen, das Ergebnis ist:
[mm] T^{-1}= \pmat{ -9 & 16 & 3 \\ -5 & 9 & 2 \\ -3 & 5 & 1 }.
[/mm]
Danach sollte in b) das Produkt von [mm] T^{-1}*P*T [/mm] berechnet werden, Ergebnis:
[mm] T^{-1}*P*T= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }
[/mm]
So, nun in c) ist gefordert [mm] P^{25} [/mm] zu berechnen, mit Hinweis: "Benutzen Sie das Ergebnis aus Teilaufgabe b)".
Hier weiss ich nicht, ob mein Ansatz richtig ist. Also wir sollen ja das Ergebnis aus b) nehmen, also [mm] T^{-1}*P*T= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }. [/mm] Bei Matrizen, die nur Zahlen [mm] \not= [/mm] 0 auf der Hauptdiagonalen haben lässt es sich ja leicht berechnen und zwar:
[mm] \pmat{ 1^{25} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3^{25} } [/mm] <--- ist das dann schon das verlangte [mm] P^{25}?
[/mm]
Mfg, Hanz
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> Hallo,
> also gegeben sind folgende Matrizen:
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> [mm]T=\pmat{ 1 & 1 & -5 \\ 1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 1 }[/mm] und
> [mm]P=\pmat{ 36 & -59 & -12 \\ 18 & -29 & -6 \\ 9 & -17 & -3 }[/mm]
>
> Zuerst sollten wir in a) die inverse Matrix zu T berechnen,
> das Ergebnis ist:
>
> [mm]T^{-1}= \pmat{ -9 & 16 & 3 \\ -5 & 9 & 2 \\ -3 & 5 & 1 }.[/mm]
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> Danach sollte in b) das Produkt von [mm]T^{-1}*P*T[/mm] berechnet
> werden, Ergebnis:
>
> [mm]T^{-1}*P*T= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
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> So, nun in c) ist gefordert [mm]P^{25}[/mm] zu berechnen, mit
> Hinweis: "Benutzen Sie das Ergebnis aus Teilaufgabe b)".
>
> Hier weiss ich nicht, ob mein Ansatz richtig ist. Also wir
> sollen ja das Ergebnis aus b) nehmen, also [mm]T^{-1}*P*T= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }.[/mm]
> Bei Matrizen, die nur Zahlen [mm]\not=[/mm] 0 auf der
> Hauptdiagonalen haben lässt es sich ja leicht berechnen und
> zwar:
>
> [mm]\pmat{ 1^{25} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3^{25} }[/mm] <---
> ist das dann schon das verlangte [mm]P^{25}?[/mm]
hallo,
nein, das ist es noch nicht, denn Du hast ja nicht [mm] P^{25} [/mm] berechnet sondern [mm] (T^{-1}*P*T)^{25}.
[/mm]
Du weißt also [mm] (T^{-1}*P*T)^{25}= \pmat{ 1^{25} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3^{25} }.
[/mm]
Nun schreib Dir mal [mm] (T^{-1}*P*T)^{4} [/mm] ausgeschreiben auf. danach wirst Du wissen, was [mm] (T^{-1}*P*T)^{25} [/mm] ist, zu dem gesuchten ergebnis ist's dann nicht merh weit.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Di 11.11.2008 | | Autor: | Hanz |
Hmmmm....
also $ [mm] (T^{-1}\cdot{}P\cdot{}T)^{4} [/mm] $ ausgeschrieben ist ja:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] $ * [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] $ * [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] $ * [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] $
$ [mm] (T^{-1}\cdot{}P\cdot{}T)^{25} [/mm] $ ist ja quasi das gleiche nur eben 25-Mal die Matrix... aber wie genau erhalte ich dadurch mein $ [mm] P^{25} [/mm] $ :o
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> [mm](T^{-1}\cdot{}P\cdot{}T)^{4}[/mm] ausgeschrieben ist ja:
Hallo,
ich meinte das anders, mit Buchstaben:
[mm] (T^{-1}\cdot{}P\cdot{}T)*(T^{-1}\cdot{}P\cdot{}T)*(T^{-1}\cdot{}P\cdot{}T)*(T^{-1}\cdot{}P\cdot{}T)= [/mm] ...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Di 11.11.2008 | | Autor: | Hanz |
Meinst du jetzt etwa
$ [mm] (T^{-1}\cdot{}P\cdot{}T)\cdot{}(T^{-1}\cdot{}P\cdot{}T)\cdot{}(T^{-1}\cdot{}P\cdot{}T)\cdot{}(T^{-1}\cdot{}P\cdot{}T)= [/mm] $ [mm] (T^{-1})^{4} [/mm] * [mm] P^{4} [/mm] * [mm] T^{4}?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Di 11.11.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
so kannst du es leider nicht hinschreiben, da die Matrix-Multiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist.
Schau dir deine Schreibweise mit dem
[mm] $(T^{-1} [/mm] P [mm] T)(T^{-1} [/mm] P T)(....)$ nochmal genau an, und überlege dir, dass man die Klammern weglassen kann. Was siehst du dann, wenn du dir Klammern weglässt?! Schau dir das mal genau an, was mit den T ist, die da nebeneinander stehen, wenn du die Klammern weglässt. Dann wirst du sehen, was du rechnen musst, und warum das jetzt so einfach ist, die Matrix "hoch 25" zu berechnen.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Di 11.11.2008 | | Autor: | Hanz |
Also wenn ich die Klammern weglasse dann habe ich ja
$ [mm] T^{-1} [/mm] P T [mm] T^{-1} [/mm] P T [mm] T^{-1} [/mm] P T [mm] T^{-1} [/mm] P T $
Nun steht ja quasi immer P*E P*E..., also P* Einheitsmatrix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Di 11.11.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
genau. Und die Einheitsmatrix ist in der Matrizen-Multiplikation das Äquivalent zur "normalen" 1, wenn man Skalare multipliziert. Also kann man die Einheitsmtarix dazwischen auch einfach weglassen. Jetzt musst du dir nur noch überlegen, wie oft das das P steht (was du ja anfang schon richtig hattest). Wenn du dir das jetzt aber noch genauer anguckst, weist du, dass dann deine erste Antwort fast, aber nicht ganz richtig war, weil ja an beiden Seiten noch ein bisschen was fehlte.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Di 11.11.2008 | | Autor: | Hanz |
Meinste mit beiden Seiten das da dann stehen würde:
[mm] T^{-1} [/mm] * [mm] P^{25} [/mm] * T?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Di 11.11.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja =)
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Di 11.11.2008 | | Autor: | Hanz |
Also muss ich quasi [mm] T^{-1} [/mm] Matrix mal $ [mm] \pmat{ 1^{25} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3^{25} } [/mm] $ mal T Matrix und erhalte als Ergebnis die [mm] P^{25}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Di 11.11.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nein, was du gemacht hast, ist dann folgendes:
[mm] $(T^{-1}PT)^25=T^{-1}P^{25}T=D^{25}$, [/mm] wobei D deine Diagonalmatrix ist. Jetzt musst du das noch nach [mm] $P^{25}$ [/mm] freistellen, d.h. auf beiden Seiten von links und rechts mit der "passenden" Matrix multiplizieren. Dann steht dann irgenwann [mm] $P^{25}=...$ [/mm] dort.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Di 11.11.2008 | | Autor: | Hanz |
...also von links mit *T und von rechts mit * [mm] T^{-1}, [/mm] sodass ich dann quasi folgendes habe:
[mm] T(T^{-1}*P^{25}*T)T^{-1} [/mm] = [mm] P^{25}?
[/mm]
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> ...also von links mit *T und von rechts mit * [mm]T^{-1},[/mm]
> sodass ich dann quasi folgendes habe:
>
> [mm]T(T^{-1}*P^{25}*T)T^{-1}[/mm] = [mm]P^{25}?[/mm]
Hallo,
das war ja eine lange und schwere Geburt! Aber wenn's Kindchen dann da ist, freuen sich alle.
Ja, so stimmt's.
Gruß v. Angela
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