Matrix AB = BA < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Mi 24.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und sei [mm] A \in M_{nn}(K) [/mm] eine Matrix, so dass AB=BA für alle [mm] B \in M_{nn}(K) [/mm] gilt.
Beweisen Sie, dass [mm] A=aI_n [/mm] für ein [mm] a \in K [/mm] ist. |
Hallo,
ich habe eine Idee, weiss aber nicht, ob das als Beweis gilt:
Hier mein Lösungsansatz:
Sei [mm] A=\pmat{ a & 0 \\ 0 & a} [/mm]
Sei [mm] B=\pmat{b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} } [/mm]
Dann ist:
[mm] AB=\pmat{ab_{11} & ab_{12} \\ ab_{21} & ab_{22} } [/mm]
[mm] BA=\pmat{ab_{11} & ab_{12} \\ ab_{21} & ab_{22} } [/mm]
Da a ein bestimmtes a aus K ist, ist AB=BA.
Geht das so ?
Danke, Susann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Mi 24.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
das ist im prinzip ok, aber leider genau die falsche richtung des beweises (du nimmst ja das schon an, was du zeigen willst, nämlich $A = [mm] aI_n$!)
[/mm]
für die andere richtung nimmst du an, dass $A [mm] \in M_{nn}(K)$ [/mm] eine beliebige matrix ist und wählst am besten bestimmte matrizen $B [mm] \in M_{nn}(K)$ [/mm] (das darf man da die aussage ja für alle $B [mm] \in M_{nn}(K)$ [/mm] gelten soll), etwa matrizen, die nur an einer stelle eine $1$ haben und sonst nur $0$en und prüfst, welche bedingungen du für die einträge von $A$ erhälst, wenn $AB = BA$. um dafür ein gefühl zu kriegen kannst du ja zuerstmal mit $2 [mm] \times [/mm] 2$-matrizen etwas probieren, aber danach solltest du den beweis auch noch für beliebige $n$ führen.
probiere mal, wie weit du kommst.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mi 24.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Andreas,
vielen Dank für deine schnelle Hilfe !
> für die andere richtung nimmst du an, dass [mm]A \in M_{nn}(K)[/mm]
> eine beliebige matrix ist und wählst am besten bestimmte
> matrizen [mm]B \in M_{nn}(K)[/mm] (das darf man da die aussage ja
> für alle [mm]B \in M_{nn}(K)[/mm] gelten soll), etwa matrizen, die
> nur an einer stelle eine [mm]1[/mm] haben und sonst nur [mm]0[/mm]en und
> prüfst, welche bedingungen du für die einträge von [mm]A[/mm]
> erhälst, wenn [mm]AB = BA[/mm]. um dafür ein gefühl zu kriegen
> kannst du ja zuerstmal mit [mm]2 \times 2[/mm]-matrizen etwas
> probieren, aber danach solltest du den beweis auch noch für
> beliebige [mm]n[/mm] führen.
Hier mein Versuch:
[mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d}[/mm]
[mm] B=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}[/mm]
[mm] AB=\pmat{ a & 0 \\ c & 0}[/mm]
[mm] BA=\pmat{ a & b \\ 0 & 0}[/mm]
So, und jetzt weiss ich nicht so richtig weiter ?
Die Diagonale ist gleich.
Die Matrizen sind gleich, wenn b=0 und c=0 ist.
Das bedeutet, wenn die Einträge in A jenseits der Diagonalen 0 sind, kann AB=BA werden.
Stimmt das so und was ist mit d ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Do 25.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne,
du hast ein spezielles B gewählt. Jetzt nimm noch ein anderes, zum Beispiel
[mm] B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0} \end{pmatrix}[/mm]. Was kommt insgesamt für A heraus?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Do 25.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Rainer,
danke für deine Hilfe !
> du hast ein spezielles B gewählt. Jetzt nimm noch ein
> anderes, zum Beispiel
> [mm]B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0} \end{pmatrix}[/mm]. Was
> kommt insgesamt für A heraus?
Also, dann fasse ich mal zusammen:
Für [mm] b=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 0} [/mm] erhalte ich [mm] AB=\pmat{a&0\\c&0} [/mm] und [mm] BA=\pmat{a&b\\0&0} [/mm].
Für [mm] b=\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0} [/mm] erhalte ich [mm] AB=\pmat{0&a\\0&c} [/mm] und [mm] BA=\pmat{c&d\\0&0} [/mm].
Daraus kann ich jetzt schliessen, dass für b=0, c=0 und für d=a (bzw. alle Diagonalen-Elemente) die Matrizen AB=BA sind.
Und um das als Beweis gelten zu lassen, muss ich aus der 2x2 Matrix eine nxn Matrix machen.
Geht das so ?
Danke, Susanne.
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>
> Und um das als Beweis gelten zu lassen, muss ich aus der
> 2x2 Matrix eine nxn Matrix machen.
Ja, und die multiplizierst Du dann jeweils mit allen [mm] n^2 [/mm] Elementarmatrizen und ziehst Deine Schlüsse.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 So 04.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
Hallo, Angela!
Das Prinzip des Beweises für (für ein bestimmtes n) habe ich verstanden. Wenn man das mit den Elementarmatizen für B durchführt, kommt man zu mehreren Gleichungen, die in Summe stets besagen, dass die Elemente auf der Hauptdiagonalen beliebig und alle identisch sind.
Leider scheitere ich an der Verallgemeinerung für n. Wie lautet da ein Ansatz?
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> Hallo, Angela!
>
> Das Prinzip des Beweises für (für ein bestimmtes n) habe
> ich verstanden. Wenn man das mit den Elementarmatizen für B
> durchführt, kommt man zu mehreren Gleichungen, die in Summe
> stets besagen, dass die Elemente auf der Hauptdiagonalen
> beliebig und alle identisch sind.
>
> Leider scheitere ich an der Verallgemeinerung für n. Wie
> lautet da ein Ansatz?
Hallo,
ich würde jetzt so weitermachen:
Ich würde [mm] A:=(a_i_j) [/mm] multiplizieren mit [mm] B_{i\*,j\*}:=(b_i_j), [/mm] wobei [mm] b_i_j= [/mm] 1 für (i,j)=(i*,j*) und [mm] b_i_j= [/mm] 0 sonst.
Dann
[mm] (\summe_{k=1}^{n}a_i_kb_k_j)= AB=BA=(\summe_{k=1}^{n}b_i_ka_k_j) [/mm] .
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mi 07.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
Hallo, Angela!
Danke für deine Nachricht. Komme leider jetzt erst zum Antworten. So richtig weit bin ich leider nicht gekommen. Recht vielversprechend ist aber vielleicht folgende Fortführung!?
Für die Einträge der Ergebnismatrix [mm] C:=(c_{ij}) [/mm] und C=AB-BA gilt dann:
[mm] \summe_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}-\summe_{k=1}^{n}b_{ik}a_{kj} [/mm] = 0
bzw.
[mm] (c_{ij}) =(\summe_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}-b_{ik}a_{kj})=0
[/mm]
Ich habe also Gleichungen für jedes Element von C, die als Summe alle gleich 0 ergeben müssen.
Da AB=BA für alle [mm] (b_{ij}) [/mm] gelten soll, müssen die Bedingungen auch bei [mm] b_{ij} [/mm] = 1 für alle i,j erfüllt sein.
Dann ergibt sich als Gleichung für jedes Element von [mm] (c_{ij}):
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}a_{ik}-a_{kj}=0
[/mm]
bzw. es folgt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}a_{ik} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}a_{kj}
[/mm]
In a muss also die Summe der Elemente einer Zeile gleich der Summe der Elemente einer Spalte sein.
Ich glaube, jetzt bin ich dicht dran...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Mi 07.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
Ich habe weitergrübelt, aber ich komme nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich von $ [mm] (c_{ij}) =(\summe_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}-b_{ik}a_{kj}) [/mm] $ auf $A$ schließen kann.
OK, dann eine weitere Überlegung, wie man von $AB=BA$ auf $A$ kommt...
$ AB=BA $
[mm] $\Rightarrow B^{-1}AB=B^{-1}BA$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow B^{-1}AB=I_{n}A$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow B^{-1}AB=A$
[/mm]
Damit das gilt, muss B aber invertierbar sein und das ist natürlich nicht für ein beliebiges B der Fall. So komme ich auch nicht weiter.
Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Mi 07.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
Das ist wohl eine Sackgasse.
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>
> Da AB=BA für alle [mm](b_{ij})[/mm] gelten soll, müssen die
> Bedingungen auch bei [mm]b_{ij}[/mm] = 1 für alle i,j erfüllt sein.
>
> Dann ergibt sich als Gleichung für jedes Element von
> [mm](c_{ij}):[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{n}a_{ik}-a_{kj}=0[/mm]
>
> bzw. es folgt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}a_{ik}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n}a_{kj}[/mm]
>
> In a muss also die Summe der Elemente einer Zeile gleich
> der Summe der Elemente einer Spalte sein.
>
> Ich glaube, jetzt bin ich dicht dran...
Hallo,
zumindest ein deutliches Stück näher.
Ich hatte Dir ja geraten, die Matrix A mit den Matrizen $ [mm] B_{i*,j*}:=(b_i_j), [/mm] $ wobei $ [mm] b_i_j= [/mm] $ 1 für (i,j)=(i*,j*) und $ [mm] b_i_j= [/mm] $ 0 zu multiplizieren, welche also nur an der Stelle [mm] b_{i*,j*} [/mm] von Null verschieden sind.
(Um durchzublicken, mach das ganze doch mal auf einem Zettel mit einer 3x3 Matrix aus Buchstaben und einer oder zwei dieser Elementarmatrizen.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mi 07.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
Hallo, Angela!
Abermals vielen Dank. Das habe ich bereits getan.
Wenn B an der Stelle [mm] b_{i*j*} [/mm] die 1 aufweist, dann ergibt sich für A*B die Nullmatrix + der i*. Spalte von A in der j*. Spalte von A*B. Für B*A erhält man die Nullmatrix + der j*. Zeile von A in der i*. Zeile von A*B.
Das hat mich aber leider nicht weitergebracht. Bin wohl nicht helle genug.
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> Hallo, Angela!
>
> Abermals vielen Dank. Das habe ich bereits getan.
>
> Wenn B an der Stelle [mm]b_{i*j*}[/mm] die 1 aufweist, dann ergibt
> sich für A*B die Nullmatrix + der i*. Spalte von A in der
> j*. Spalte von A*B. Für B*A erhält man die Nullmatrix + der
> j*. Zeile von A in der i*. Zeile von A*B.
>
> Das hat mich aber leider nicht weitergebracht. Bin wohl
> nicht helle genug.
Hast Du auch daran gedacht, AB und BA gleichzusetzen? Die sollen doch gleich sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mi 07.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
Hallo, Angela!
Hmm, jetzt ja, dann sind alle Einträge von A gleich 0 bis auf die der Diagonale, die sind jeweils "a".
OK, das ist das Ergebnis, auf das man hinaus will. Ich habe aber keinen Schimmer, wie man dorthin gelangt.
Man geht aus von...
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}-\summe_{k=1}^{n}b_{ik}a_{kj} [/mm] = 0 $ gilt für die Einträge von AB (bzw. BA).
...und macht dann weiter mit...
Sei nun [mm] b_{ij} [/mm] = 1 für i=i* und j=j* und [mm] b_{ij}=0 [/mm] sonst. Dann entfallen die meisten Summanden und nur in der i*. Zeile bzw. der j*. Spalte bleiben einzelne Einträge übrig. Aber ich weiß nicht, wie ich zeige, dass gerade die [mm] a_{ij} [/mm] mit [mm] i\not=j [/mm] wegfallen und die anderen übrig bleiben.
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> Hallo, Angela!
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> Hmm, jetzt ja, dann sind alle Einträge von A gleich 0 bis
> auf die der Diagonale, die sind jeweils "a".
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> OK, das ist das Ergebnis, auf das man hinaus will. Ich habe
> aber keinen Schimmer, wie man dorthin gelangt.
>
> Man geht aus von...
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}-\summe_{k=1}^{n}b_{ik}a_{kj} = 0[/mm]
> gilt für die Einträge von AB (bzw. BA).
>
> ...und macht dann weiter mit...
>
> Sei nun [mm]b_{ij}[/mm] = 1 für i=i* und j=j* und [mm]b_{ij}=0[/mm] sonst.
> Dann entfallen die meisten Summanden und nur in der i*.
> Zeile bzw. der j*. Spalte bleiben einzelne Einträge übrig.
> Aber ich weiß nicht, wie ich zeige, dass gerade die [mm]a_{ij}[/mm]
> mit [mm]i\not=j[/mm] wegfallen und die anderen übrig bleiben.
Hallo,
Du bist der Sache aber schon ganz gut auf der Spur.
Berechne doch jetzt mal, welches Ergebnis Du z.B. für die Elementarmatrix [mm] B_2_5 [/mm] bekommst.
(Denkt dran, daß hier jede Komponente außer [mm] b_2_5 [/mm] Null ist)
Dann mit [mm] B_7_1. [/mm] Ich glaube, wenn Du das hast, werden Dir die i*,j* kein Problem mehr bereiten.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:19 Di 10.04.2012 | | Autor: | Bllack |
Hallo Zusammen,
ich sitze nun auch seit mehreren Stunden an diesem Beweis, habe versucht eure Ideen nachzuvollziehen und komme nun auch nicht weiter. Ich denke, in der Zwischenzeit hat sicherlich jemand eine Lösung parat, oder?
Danke und Gruß, Hans
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> Hallo Zusammen,
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> ich sitze nun auch seit mehreren Stunden an diesem Beweis,
> habe versucht eure Ideen nachzuvollziehen und komme nun
> auch nicht weiter. Ich denke, in der Zwischenzeit hat
> sicherlich jemand eine Lösung parat, oder?
>
> Danke und Gruß, Hans
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Man sollte tatsächlich meinen, daß nach [mm] 4\bruch{1}{2} [/mm] Jahren irgendjemand eine Lösung gefunden hat...
Nun ist es aber so, daß das Matheforum nicht so geplant ist, daß Lösungen serviert werden, sondern Ziel ist es, diese im Dialog mit den Fragenden zu entwickeln. Lies hierzu auch die Forenregeln.
Ich würde vorschlagen, daß Du nochmal die Aufgabenstellung vorstellst und präsentierst, was Du bisher anhand des Threads erarbeitet hast.
Stell dies bitte so dar, daß potentielle Helfer nicht den ganzen Thread durchwühlen müssen - im Kopf hat da seinst geschriebene sicher niemand mehr.
Zeige genau, an welcher Stelle Du nicht weiterkommst und formuliere präzise, weshalb das so ist.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Di 10.04.2012 | | Autor: | Bllack |
Hallo Angela,
vielen lieben Dank für die nette Begrüßung und für Deine einleitenden Worte. Ich will es gerne probieren!
Die Aufgabenstellung:
=====================
| Aufgabe | Sei K ein Körper und sei [mm] A \in M_{nn}(K) [/mm] eine Matrix, so dass AB=BA für alle [mm] B \in M_{nn}(K) [/mm] gilt.
Beweisen Sie, dass [mm] A=aI_n [/mm] für ein [mm] a \in K [/mm] ist. |
Beweisführung:
==============
Nebenrechnung 1:
Sei [mm] A=\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} } [/mm]
Sei [mm] B=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm]
Dann ist:
[mm] AB=\pmat{0 & 0 & a_{13} \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} } [/mm]
[mm] BA=\pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} } [/mm]
Daraus muss [mm] a_{13} = a_{23} = a_{31} = a_{32} = 0; a_{33} = a_{33} [/mm] folgen;
Keine Aussagen für [mm] a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} [/mm] möglich.
Nebenrechnung 2:
Sei [mm] A=\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} } [/mm]
Sei [mm] B=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]
Dann ist:
[mm] AB=\pmat{0 & a_{12} & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & a_{32} & 0 } [/mm]
[mm] BA=\pmat{0 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
Daraus muss folgen [mm] a_{12} = a_{32} = a_{21} = a_{23} = 0; a_{22} = a_{22} [/mm];
Keine Aussagen für [mm] a_{11}, a_{13}, a_{31}, a_{33} [/mm] möglich.
Vermutung:
[mm] A:= (a_{ij}) [/mm] mit [mm] a_{ij} = a [/mm] mit [mm] a \in K [/mm] für i=j und [mm] a_{ij} = 0 [/mm] sonst.
Von hier an gefällt mir der Ansatz von Oliver aka o.tacke ganz gut und so erlaube ich mir, diesen zu übernehmen:
Für die Einträge der Ergebnismatrix [mm] C:=(c_{ij}) [/mm] und C=AB-BA gilt dann:
[mm] \summe_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}-\summe_{k=1}^{n}b_{ik}a_{kj} [/mm] = 0
bzw.
[mm] (c_{ij}) =(\summe_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}-b_{ik}a_{kj})=0
[/mm]
Da AB=BA für alle [mm] (b_{ij}) [/mm] gelten soll, müssen die Bedingungen auch bei [mm] b_{ij} [/mm] = 1 für alle i,j erfüllt sein.
Dann ergibt sich als Gleichung für jedes Element von [mm] (c_{ij}):
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}a_{ik}-a_{kj}=0
[/mm]
bzw. es folgt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}a_{ik} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}a_{kj}
[/mm]
In [mm] (a_{ij}) [/mm] muss also die Summe der Elemente einer Zeile gleich der Summe der Elemente einer Spalte sein.
Sackgasse???
Soweit so gut. Und nun komme ich auch nicht mehr wirklich weiter.
Ich habe mir überlegt, was für eine Einheitsmatrix [mm] I_n [/mm] gelten muss, um eine Zielvorstellung dessen zu entwickeln, worauf ich hinarbeiten muss, aber auch damit nicht wirklich weiter gekommen:
Ich muss zeigen, dass [mm] A=aI_n [/mm] gilt, also für n = 3 ist zu zeigen, dass [mm] A=\pmat{ a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a} [/mm], für n = 4, dass [mm] A=\pmat{ a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a} [/mm] usw. .
Über [mm] aI_n [/mm] weiß ich, dass gelten muss:
[mm] \summe_{k=1}^{n}a_{ik} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}a_{kj} [/mm] = a mit [mm] a \in K [/mm]
außerdem [mm] \summe_{l=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}a_{lk} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}a_{kk} [/mm] = [mm] n * a [/mm]
Problem:
Mein Problem bleibt zu zeigen, dass gelten muss:
[mm] a_{ij}=0 [/mm] für [mm] i\not=j [/mm]
und
[mm] a_{ij}=a [/mm] für i=j
Ich bin für jeden Vorschlag dankbar! 
LG Hans
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> Die Aufgabenstellung:
> =====================
>
> Sei K ein Körper und sei [mm]A \in M_{nn}(K)[/mm] eine Matrix, so
> dass AB=BA für alle [mm]B \in M_{nn}(K)[/mm] gilt.
>
> Beweisen Sie, dass [mm]A=aI_n[/mm] für ein [mm]a \in K[/mm] ist.
>
>
>
>
>
>
> Beweisführung:
> ==============
>
> Nebenrechnung 1:
>
> Sei [mm]A=\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} }[/mm]
>
> Sei [mm]B=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Dann ist:
> [mm]AB=\pmat{0 & 0 & a_{13} \\
0 & 0 & a_{23} \\
0 & 0 & a_{33} }[/mm]
>
> [mm]BA=\pmat{0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} }[/mm]
>
> Daraus muss [mm]a_{13} = a_{23} = a_{31} = a_{32} = 0; a_{33} = a_{33}[/mm]
> folgen;
> Keine Aussagen für [mm]a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}[/mm]
> möglich.
>
> Nebenrechnung 2:
>
> Sei [mm]A=\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} }[/mm]
>
> Sei [mm]B=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Dann ist:
> [mm]AB=\pmat{0 & a_{12} & 0 \\
0 & a_{22} & 0 \\
0 & a_{32} & 0 }[/mm]
>
> [mm]BA=\pmat{0 & 0 & 0 \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Daraus muss folgen [mm]a_{12} = a_{32} = a_{21} = a_{23} = 0; a_{22} = a_{22} [/mm];
>
> Keine Aussagen für [mm]a_{11}, a_{13}, a_{31}, a_{33}[/mm]
> möglich.
Hallo,
für meinen Geschmack wäre es wichtig, den Fall n=3 wirklich bis ins letzte Detail auszuführen.
Die Idee: da AB=BA für alle B gilt, gilt die Gleichung insbesondere für die 9 Matrizen [mm] B_i_k, [/mm] welche an der Position (i-te Spalte/k-te Zeile) den Eintrag 1 haben und sonst nur Nullen.
Wenn Du dies wirklich ausführst, solltest Du rausbekommen, daß A auf der Diagonalen überall den gleichen Eintrag haben muß und ansonsten alles Nullen.
>
> Vermutung:
>
> [mm]A:= (a_{ij})[/mm] mit [mm]a_{ij} = a[/mm] mit [mm]a \in K[/mm] für i=j und [mm]a_{ij} = 0[/mm]
> sonst.
>
> Von hier an gefällt mir der Ansatz von Oliver aka o.tacke
> ganz gut und so erlaube ich mir, diesen zu übernehmen:
>
> Für die Einträge der Ergebnismatrix [mm]C:=(c_{ij})[/mm] und
> C=AB-BA gilt dann:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}-\summe_{k=1}^{n}b_{ik}a_{kj}[/mm]
> = 0
>
> bzw.
>
> [mm](c_{ij}) =(\summe_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}-b_{ik}a_{kj})=0[/mm]
>
> Da AB=BA für alle [mm](b_{ij})[/mm] gelten soll, müssen die
> Bedingungen auch bei [mm]b_{ij}[/mm] = 1 für alle i,j erfüllt
> sein.
>
> Dann ergibt sich als Gleichung für jedes Element von
> [mm](c_{ij}):[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{n}a_{ik}-a_{kj}=0[/mm]
>
> bzw. es folgt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}a_{ik}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n}a_{kj}[/mm]
>
> In [mm](a_{ij})[/mm] muss also die Summe der Elemente einer Zeile
> gleich der Summe der Elemente einer Spalte sein.
Das stimmt zwar, aber es ist noch nicht so ganz hilfreich - und es nimmt nicht Bezug auf das, was im konkreten Fall n=3 getan wurde bzw. getan werden sollte.
Arbeite mit den Matrizen [mm] B_i_k [/mm] von oben.
Überleg's Dir erstmal für die Matrizen [mm] B_1_1, B_2_2,
[/mm]
dann für [mm] B_1_2, B_5_7.
[/mm]
Danach solltest Du wissen, wie der Hase läuft.
LG Angela
>
>
>
>
>
> Sackgasse???
>
> Soweit so gut. Und nun komme ich auch nicht mehr wirklich
> weiter.
>
> Ich habe mir überlegt, was für eine Einheitsmatrix [mm]I_n[/mm]
> gelten muss, um eine Zielvorstellung dessen zu entwickeln,
> worauf ich hinarbeiten muss, aber auch damit nicht wirklich
> weiter gekommen:
>
> Ich muss zeigen, dass [mm]A=aI_n[/mm] gilt, also für n = 3 ist zu
> zeigen, dass [mm]A=\pmat{ a & 0 & 0 \\
0 & a & 0 \\
0 & 0 & a} [/mm],
> für n = 4, dass [mm]A=\pmat{ a & 0 & 0 & 0 \\
0 & a & 0 & 0 \\
0 & 0 & a & 0 \\
0 & 0 & 0 & a}[/mm]
> usw. .
>
> Über [mm]aI_n[/mm] weiß ich, dass gelten muss:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}a_{ik}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n}a_{kj}[/mm] = a mit [mm]a \in K[/mm]
>
> außerdem [mm]\summe_{l=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}a_{lk}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n}a_{kk}[/mm] = [mm]n * a[/mm]
>
> Problem:
>
> Mein Problem bleibt zu zeigen, dass gelten muss:
>
> [mm]a_{ij}=0[/mm] für [mm]i\not=j[/mm]
>
> und
>
> [mm]a_{ij}=a[/mm] für i=j
>
> Ich bin für jeden Vorschlag dankbar!
>
> LG Hans
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Bllack |
Hallo Angela,
vielen lieben Dank, ich bin wieder einen Stück weiter!
Die Aufgabenstellung:
=====================
| Aufgabe | Sei K ein Körper und sei [mm] A \in M_{nn}(K) [/mm] eine Matrix, so dass AB=BA für alle [mm] B \in M_{nn}(K) [/mm]
gilt.
Beweisen Sie, dass [mm] A=aI_n [/mm] für ein [mm] a \in K [/mm] ist. |
Beweisführung:
==============
Nebenrechnung für irgendein festgwähltes A und beliebiges B in n = 3:
mit [mm] B_{11} [/mm]
Sei [mm] A=\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} } [/mm]
Sei [mm] B_{11}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]
Dann ist:
[mm] AB_{11}=\pmat{a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 } [/mm]
[mm] B_{11}A=\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
Daraus muss folgen [mm] a_{21} = a_{31} = a_{12} = a_{13} = 0; (AB_{11})_{11} = (B_{11}A)_{11} = a_{11} [/mm];
mit [mm] B_{21} [/mm]
Sei [mm] A=\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} } [/mm]
Sei [mm] B_{21}=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]
Dann ist:
[mm] AB_{21}=\pmat{0 & a_{12} & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & a_{32} & 0 } [/mm]
[mm] B_{21}A=\pmat{0 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
Daraus muss folgen [mm] a_{12} = a_{32} = a_{21} = a_{23} = 0; (AB_{21})_{22} = (B_{21}A)_{22} = a_{22} [/mm];
mit [mm] B_{31} [/mm]
Sei [mm] A=\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} } [/mm]
Sei [mm] B_{31}=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm]
Dann ist:
[mm] AB_{31}=\pmat{0 & 0 & a_{13} \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} } [/mm]
[mm] B_{31}A=\pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} } [/mm]
Daraus muss folgen [mm] a_{13} = a_{23} = a_{31} = a_{32} = 0; (AB_{31})_{33} = (B_{31}A)_{33} = a_{33} [/mm]
Zusammenfassend folgt:
[mm] (AB_{11})_{11} = (B_{11}A)_{11} = a_{11} [/mm]
[mm](AB_{21})_{22} = (B_{21}A)_{22} = a_{22} [/mm]
[mm](AB_{31})_{33} = (B_{31}A)_{33} = a_{33} [/mm]
[mm]a_{12} = a_{13} = a_{21} = a_{23} = a_{31} = a_{32} = 0 [/mm]
Es gilt jetzt zu zeigen:
[mm] a_{11} = a_{22} = a_{33}[/mm]
mit [mm] B_{21} [/mm]
Sei [mm] A=\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} } [/mm]
Sei [mm] B_{21}=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]
Dann ist:
[mm] AB_{21}=\pmat{a_{12} & 0 & 0 \\ a_{22} & 0 & 0 \\ a_{32} & 0 & 0 } [/mm]
[mm] B_{21}A=\pmat{0 & 0 & 0 \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
Daraus folgt [mm] a_{11} = a_{22} [/mm]
Um zu zeigen, dass [mm] a_{11} = a_{33} [/mm] und damit [mm] a_{22} = a_{33} [/mm] gilt, muss ich mit [mm] B_{13}
[/mm] rechnen.
Sei [mm] A=\pmat{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} } [/mm]
Sei [mm] B_{13}=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]
Dann ist:
[mm] AB_{13}=\pmat{0 & 0 & a_{11} \\ 0 & 0 & a_{21} \\ 0 & 0 & a_{31} } [/mm]
[mm] B_{13}A=\pmat{a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
Zusammenfassend folgt:
[mm] a_{11} = a_{22} = a_{33}[/mm]
[mm] (AB_{11})_{11} = (B_{11}A)_{11} = a_{11} [/mm]
[mm](AB_{21})_{22} = (B_{21}A)_{22} = a_{22} [/mm]
[mm](AB_{31})_{33} = (B_{31}A)_{33} = a_{33} [/mm]
[mm]a_{12} = a_{13} = a_{21} = a_{23} = a_{31} = a_{32} = 0 [/mm]
Ok, wie folgere ich daraus, dass meine Behauptungen für alle [mm] B \in M_{33}(K) [/mm] Matrizen gelten?
Und wie folgere ich ganz allgemein, dass das ebenfalls für alle [mm] B \in M_{nn}(K) [/mm] gilt?
Im Voraus ein Dankeschön!
LG Hans
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Hallo,
stell fachliche Rückfragen als Frage (roter Kasten), denn sie richten sich an die Allgemeinheit.
Willst Du hingegen wissen, welche Farbe mein Tischtuch hat, so wäre das eine Mitteilung, denn nur ich kann Dir hierbei weiterhelfen.
Ich will für die [mm] 3\times [/mm] 3-Matrizen nochmal den Gedanken schildern, welcher dem Tun mit den [mm] B_i_k [/mm] zugrunde liegt:
Die Matrix A soll so beschaffen sein, daß sich mit sämtlichen Matrizen B vertauscht werden kann, daß also für alle B gilt AB=BA.
Wenn dies für alle B gilt, gilt es insbesondere für die ausgewählten 9 Matrizen [mm] B_i_k, [/mm] i,k=1,2,3.
Daraus, daß es für diese Matrizen gilt, ergibt sich, daß es, wenn es überhaupt solch eine Matrix A gibt, nicht anders sein kann, als daß sie irgendein Vielfaches der Einheitsmatrix ist.
Wenn Du nun noch "zeigst", daß man [mm] aE_3 [/mm] in der Tat mit sämtlichen Matrizen B vertauschen kann, bist Du fertig und hast die Behauptung für n=3 gezeigt.
Das Wesentlich hierbei war der Gedanke: wenn es für alle gilt, dann gilt es erst recht für irgendwelche speziellen, die ich mir nach meinem Gusto aussuche.
> Und wie folgere ich ganz allgemein, dass das ebenfalls
> für alle $ B [mm] \in M_{nn}(K) [/mm] $ gilt?
Im Prinzip genauso.
Du hattest ja diese "Summengleichung", welche aus AB-BA=0 entstanden war.
Und nun sagst Du: die gilt für alle Matrizen [mm] B_i_k, [/mm] i,k=1,2,...,n und ziehst Deine Schlüsse.
Mach das ruhig mal langsam.
Was liefert die Gleichung für [mm] B_1_1, B_2_2, [/mm] ..., [mm] B_n_n?
[/mm]
Und für [mm] B_1_2, B_1_3 [/mm] usw.?
Du solltest rausbekommen, daß alle Einträge außerhalb der Hauptiagonalen =0 sein müssen und die der Hauptdiagonalen gleich.
Dann "zeigst" Du, daß [mm] A:=a*E_n [/mm] das Gewünschte wirklich tut.
LG Angela
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