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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Es sei A eine Basis des [mm] \IR [/mm] - VR [mm] \IR^{3}
[/mm]
[mm] b_{1} [/mm] <-A-> (1,1,1), [mm] b_{2} [/mm] <-A-> (-1,-2,-1), [mm] b_{3}<-A-> [/mm] (1,1,2)
(i) Man zeige dass [mm] B:=(b_{1},b_{2},b_{3}) [/mm] eine Basis des [mm] \IR [/mm] - VR [mm] \IR^{3} [/mm] ist.
(ii)Wie lautet die Matrix der Basistransformation von A nach B ?
(iii) Wie lautet die Matrix der basistransformation von B nach A?
(iv) Der linearen Abbildung [mm] \mu [/mm] : [mm] \IR^{3} [/mm] --> [mm] \IR^{3} [/mm] sei bzgl. B die Matrix [mm] \pmat{ 2 & 1 &-3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & -5 & 1 } [/mm] zugeordnet.
wie lautet die [mm] \mu [/mm] zugeordnete Matrix bzgl. A ? |
Also ich komm nicht ganz mit aufgabe (iv) klar.
Erst dachte ich ich muss das mit elem. umformung machen also so :
1 0 0 2 1 -3
0 1 0 1 0 2
0 0 1 2 -5 1
--------------------
und umformen bis auf der rechten seite die kanonoische basis steht. Aber i-wie klappt es bei mir nicht so richtig.
Könnte mir da jemand helfen ?
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> Es sei A eine Basis des [mm]\IR[/mm] - VR [mm]\IR^{3}[/mm]
> [mm]b_{1}[/mm] <-A-> (1,1,1), [mm]b_{2}[/mm] <-A-> (-1,-2,-1), [mm]b_{3}<-A->[/mm]
> (1,1,2)
>
> (i) Man zeige dass [mm]B:=(b_{1},b_{2},b_{3})[/mm] eine Basis des
> [mm]\IR[/mm] - VR [mm]\IR^{3}[/mm] ist.
> (ii)Wie lautet die Matrix der Basistransformation von A
> nach B ?
> (iii) Wie lautet die Matrix der basistransformation von B
> nach A?
> (iv) Der linearen Abbildung [mm]\mu[/mm] : [mm]\IR^{3}[/mm] --> [mm]\IR^{3}[/mm] sei
> bzgl. B die Matrix [mm]\pmat{ 2 & 1 &-3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & -5 & 1 }[/mm]
> zugeordnet.
> wie lautet die [mm]\mu[/mm] zugeordnete Matrix bzgl. A ?
> Also ich komm nicht ganz mit aufgabe (iv) klar.
Hallo,
die gesuchte Matrix findest Du so:
(Transformation v. B nach A)* [mm] \pmat{ 2 & 1 &-3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & -5 & 1 }*(Transformation [/mm] von A nach B)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Ayame |
[mm] A:={a_{1}, a_{2},a_{3}}
[/mm]
[mm] B:={b_{1},b_{2},b_{3}}
[/mm]
Basistransformationvon A nach B :
[mm] b_{1}= a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{3}
[/mm]
[mm] b_{2}= [/mm] - [mm] a_{1}-2a_{2} -a_{3}
[/mm]
[mm] b_{3}= a_{1}+a_{2}+2a_{3}
[/mm]
Basistransformation von B nach A :
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] 3b_{1} [/mm] + [mm] b_{2} [/mm] - [mm] b_{3}
[/mm]
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] -b_{2} [/mm] - [mm] b_{1}
[/mm]
[mm] a_{3} [/mm] = [mm] b_{3} [/mm] - [mm] b_{1}
[/mm]
Und jetzt nach deiner Formel :
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & 1 &2 } [/mm] * [mm] \pmat{ 2 & 1& -3 \\ 1 & 0 &2 \\ 2 & -5 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1} [/mm] = [mm] \pmat{ 9 & 1& -5 \\ -8 & -10 & 4\\ -5 & 14 &-4 }
[/mm]
Bin ich da so richtig ?
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> [mm]A:={a_{1}, a_{2},a_{3}}[/mm]
> [mm]B:={b_{1},b_{2},b_{3}}[/mm]
>
> Basistransformationvon A nach B :
>
> [mm]b_{1}= a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] + [mm]a_{3}[/mm]
> [mm]b_{2}=[/mm] - [mm]a_{1}-2a_{2} -a_{3}[/mm]
> [mm]b_{3}= a_{1}+a_{2}+2a_{3}[/mm]
>
> Basistransformation von B nach A :
>
> [mm]a_{1}[/mm] = [mm]3b_{1}[/mm] + [mm]b_{2}[/mm] - [mm]b_{3}[/mm]
> [mm]a_{2}[/mm] = [mm]-b_{2}[/mm] - [mm]b_{1}[/mm]
> [mm]a_{3}[/mm] = [mm]b_{3}[/mm] - [mm]b_{1}[/mm]
>
> Und jetzt nach deiner Formel :
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & 1 &2 }[/mm] * [mm]\pmat{ 2 & 1& -3 \\ 1 & 0 &2 \\ 2 & -5 & 1 }[/mm]
> * [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1}[/mm] = [mm]\pmat{ 9 & 1& -5 \\ -8 & -10 & 4\\ -5 & 14 &-4 }[/mm]
>
> Bin ich da so richtig ?
Hallo,
EDIT:
ich hab' da zuvor nicht richtig geguckt.
Die Transformationsmatrix für die Transformation von B nach A enthält in den Spalten die Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl A.
Da
> [mm]b_{1}= a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] + [mm]a_{3}[/mm][mm] =\vektor\pmat{1&-1&1\\1&-2&1\\1&-1&2 }{1\\1\\1}_{(A)}
[/mm]
> [mm]b_{2}=[/mm] - [mm]a_{1}-2a_{2} -a_{3}[/mm][mm] =\vektor{-1\\-2\\-1}_{(A)}
[/mm]
> [mm]b_{3}= a_{1}+a_{2}+2a_{3}[/mm][mm] =\vektor{1\\1\\2}
[/mm]
ist die Transfomationsmatrix von B nach A die Matrix [mm] \pmat{1&-1&1\\1&-2&1\\1&-1&2 }.
[/mm]
Ensprechend ist die von [mm] A\to [/mm] B die dazu inverse Matrix
[mm] \pmat{3&-1&-1\\-1&-1&0\\-1&0&1 }.
[/mm]
Gruß v. Angela
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kann es sein, dass die Matrix von B nach A nicht eigentlich so aussehen müsste ?
[mm] \pmat{ 3 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 } [/mm] ?
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> kann es sein, dass die Matrix von B nach A nicht eigentlich
> so aussehen müsste ?
>
> [mm]\pmat{ 3 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 }[/mm] ?
Hallo,
Du hattest recht damit, daß zuvor in meiner Antwort etwas falsch war.
Die Matrix von A nach B ist [mm] \pmat{ 3 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 }^{\red{t}}, [/mm] also [mm] \pmat{ 3 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 }.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 So 10.01.2010 | | Autor: | Ayame |
Ach ich muss sie noch pransponieren.
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 1\\ 1& -1& 2} [/mm] * [mm] \pmat{ 2 & 1 &-3\\ 1 & 0&2\\2 &-5 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 3 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 } [/mm]
Es ist doch egal wie ich anfange zu multiplizieren denn ich arbeite in einem assoziativen Feld oder ?
[mm] \pmat{ 3 & -4& -4 \\ 2 & -4 &-4\\ 5 & -9 & -3}* \pmat{ 3 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 9 & 1& -7 \\ 6 & 2& -6 \\ 9&4& -8 }
[/mm]
Dann ist [mm] \pmat{ 9 & 1& -7 \\ 6 & 2& -6 \\ 9&4& -8 }die \mu [/mm] zugeordnete matrix bzgl. A , richtig ?
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> Ach ich muss sie noch pransponieren.
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 1\\ 1& -1& 2}[/mm] * [mm]\pmat{ 2 & 1 &-3\\ 1 & 0&2\\2 &-5 & 1 }[/mm]
> * [mm]\pmat{ 3 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Es ist doch egal wie ich anfange zu multiplizieren denn ich
> arbeite in einem assoziativen Feld oder ?
Hallo,
nein, es ist äußerst wichtig, daß Du die Matrizen in der richtigen Reihenfolge miteinander multiplizierst, denn die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.
Ob Du dann aber zuerst die ersten beiden oder zuerst die letzten beiden miteinander multiplizierst, ist aufgrund der Assoziativität in der Tat egal.
Das Ergebnis Deiner Multiplikation habe ich nicht mehr geprüft, oben stehen die Matrizen jedenfalls in der richtigen Reihenfolge.
Gruß v. Angela
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> [mm]\pmat{ 3 & -4& -4 \\ 2 & -4 &-4\\ 5 & -9 & -3}* \pmat{ 3 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 9 & 1& -7 \\ 6 & 2& -6 \\ 9&4& -8 }[/mm]
>
> Dann ist [mm]\pmat{ 9 & 1& -7 \\ 6 & 2& -6 \\ 9&4& -8 }die \mu[/mm]
> zugeordnete matrix bzgl. A , richtig ?
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