Matrix-Lösung f. Ebene/Gerade < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Di 20.02.2024 | | Autor: | Tobbs |
Ich habe folgende Ebenengleichung:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{-1 \\ 2 \\ -2} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{ 1 \\ 2 \\ 1}.
[/mm]
Wie bestimme ich jetzt einen Punkt in dieser Ebene mit:
[mm] \vektor{1,5 \\ 1 \\ ?}.
[/mm]
Zu berechnen wären also [mm] \lambda, \mu [/mm] und das ?
Aber wie? Geht das elegant mit Lösungen linearer Gleichungen (Matrizen) oder müsste man das 'zu Fuß' machen, also einzeln auflösen und einsetzen ..?
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Di 20.02.2024 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tobbs,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Mit den ersten beiden Zeilen aus der Ebenengleichung (x- bzw. y-Koordinate) kannst Du zwei (lineare) Gleichungen aufstellen und damit [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] ermitteln.
Das eingesetzt in die 3. Zeile (z-Koordinate) ergibt Dein gesuchtes [mm] $z_P$ [/mm] .
Aber auch ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen und den 3 Unbekannten - umgeschrieben in eine Matrix - lässt sich hier schnell aufstellen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Di 20.02.2024 | | Autor: | Tobbs |
Ähm, danke, aber wie müsste denn die Matrix bzw. das lineare Gleichungssystem ausschauen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Di 20.02.2024 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tobbs!
Es gilt ja bzw. soll gelten: [mm] $\vektor{1{,}5 \\ 1 \\ z_P } [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda* \vektor{-1 \\ 2 \\ -2}+\mu*\vektor{ 1 \\ 2 \\ 1}$
[/mm]
Daraus folgt: [mm] $\vektor{0{,}5 \\ 1 \\ z_P-3 } [/mm] \ = [mm] \ \lambda* \vektor{-1 \\ 2 \\ -2}+\mu*\vektor{ 1 \\ 2 \\ 1}$
[/mm]
Somit ergeben sich als Gleichungen:
$0{,}5 \ = \ [mm] \lambda*(-1)+\mu*1$
[/mm]
$1 \ = \ [mm] \lambda*2+\mu*2$
[/mm]
[mm] $z_P-3 [/mm] \ = \ [mm] \lambda*(-2)+\mu*1$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Di 20.02.2024 | | Autor: | Tobbs |
Vielen Dank!
Aber ich steh immer noch auf'm Schlauch :(
Was müsste ich denn jetzt in diesen ![[]](/images/popup.gif) Matrix calculator eintragen, um [mm] z_{p}, \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] zu ermitteln?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Di 20.02.2024 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tobbs,
echt jetzt: dieses Gleichungssystem sollte sich doch schnell "zu Fuß" bzw. per Hand lösen lassen.
Wenn Du das aber unbedingt über diesen Online Calculator machen willst, musst Du wohl erst wie folgt umformen:
$ [mm] \vektor{0{,}5 \\ 1 \\ z_P-3 } [/mm] \ = [mm] \ \lambda\cdot{} \vektor{-1 \\ 2 \\ -2}+\mu\cdot{}\vektor{ 1 \\ 2 \\ 1} [/mm] $
[mm] $\lambda\cdot{} \vektor{-1 \\ 2 \\ -2}+\mu\cdot{}\vektor{ 1 \\ 2 \\ 1} +z_P*\vektor{0 \\ 0 \\ -1} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{0{,}5 \\ 1 \\ -3 }$
[/mm]
Das sollte sich ja jetzt schnell übertragen lassen ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Di 20.02.2024 | | Autor: | Tobbs |
Vielen, vielen Dank! Das funktioniert!!
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