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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:56 Sa 25.08.2007 | | Autor: | t97 |
| Aufgabe | eine Person läuft mit gleichmäßiger Geschwindigkeit eine Rolltreppe hinab und zählt 30 Schritte bis sie unten angekommen ist. Nun läuft sie die gleiche Rolltreppe wieder hinauf (also entgegen der Laufrichtung der Rolltreppe) und braucht dafür 45 Schritte. Wie viele Stufen der Rolltreppe sind sichtbar, wenn die Rolltreppe still steht?
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Hallo,
so bzw. so ähnlich war eine Frage im Master-Quiz auf Super-RTL (einer der Sendungen, in denen man anrufen und Geld gewinnen kann). In der Regel sind die Fragen einfach, aber diese hat es meiner Meinung nach in sich.
Mein Ansatz bisher:
Es gibt sozusagen 2 geschwindigkeiten v1 und v2:
[mm] v_1 = x + y [/mm](erster Fall, Laufgeschwindigkeiten der Person und der Rolltreppe addieren sich)
[mm] v_2 = x - y [/mm] (zweiter Fall, Person läuft der Rolltreppe entgegen)
(x: Laufgeschwindigkeit der Person, y: Laufgeschwindigkeit Rolltreppe)
Ich habe zwei Möglichkeiten gefunden, die zwei Fälle gleich zu setzen:
1. Ein Schritt entspricht einer Sekunde (d.h. über die Zeit)
2. Ein Schritt entspricht einem Meter (d.h. über die Strecke)
ich habe es über die Zeit probiert:
(L ist die Länge der zurückgelegten Strecke)
[mm] 30s = \bruch{L}{(x+y)} [/mm] | [mm] * 1,5 [/mm]
[mm] 45s = 1,5* \bruch{L}{(x+y)} [/mm] [Person läuft mit der Rolltreppe]
[mm] 45s = \bruch{L}{(x-y)} [/mm] [Person läuft Rolltreppe entgegen]
dann gleichsetzen, also:
[mm] 1,5* \bruch{L}{(x+y)} = \bruch{L}{(x-y)} [/mm]
und nach x auflösen
[mm] x = 5y [/mm]
Dieses Ergebnis ist m.E. logisch, da die Laufgeschwindigkeit größer sein muss als die Rolltreppengeschwindigkeit (sonst würde die Person nicht oben ankommen)
Gesucht (übertragen auf mein Denkmodell) ist ja die Schrittanzahl, die die Person braucht, wenn die Treppe steht, also [mm] v_3 = x [/mm] (ohne y).
[mm] 30s = \bruch{L}{x + y} = \bruch{L}{6y} [/mm]
[mm] 45s = \bruch{L}{x - y} = \bruch{L}{4y} [/mm]
Wie komme ich von hier auf y bzw. x?
Stimmt mein Ansatz bis hier überhaupt? Gibt es einen eleganteren Weg? Wenn er nicht stimmt, wie geht es dann?
Danke schonmal für eure Mühen,
Thomas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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@ T97: Hi! Also deine Rechnung stimmt ja absolut, leider hast du deine Gedanken nicht zu Ende geführt: du hast richtigerweise ausgerechnet dass die Geschwindigkeit des "Läufers" 5mal so hoch ist wie die der Rolltreppe. Nehmen wir nun an dass die Rolltreppe mit einer Geschwindikeit von 1 Treppe/s läuft, somit läuft der Läufer mit 5 Treppen/s. Dh. für die 30 Treppen braucht er 6 sec. Da sich aber die Treppe weiterbewegt, sind es am Ende 36 Stufen, da die Rolltreppe in 6s 6 Treppen "weiterrollt". Probe: (Hinauflaufen): für die 45 Treppen braucht der Läufer 9s (da 5 Treppen/s), in den 9s bewegt sich aber die Rolltreppe gegenläufig 9 Treppen hinunter (da Geschw. 1 Treppe/s) somit 45 minus 9 = 36.
Unabhänigig davon kann man solche Rätseln ohne viel Denken relativ schnell lösen (ohne den Rechengang zu kennen), da bei solche Sendungen wie auf RTL wahrlich nicht gefordert werden kann, irgendwelche Bruchrechnungen zu können. Die Zahl 30 hat die Primfaktoren 2, 3 u. 5., die Zahl 45 die Faktoren 3 und 5. Da die Lösung zwischen 30 u. 45 liegen muss und obendrein ganzzahlig und obendrein durch 3 teilbar sein muss kommen folgende Zahlen in Betracht, die sich ja ausschliessen: 33 hat die Primzahl 11 als Teiler (kommt dann nicht mehr vor), 36 ist es, 39 hat die Primzahl 13 als Teiler (kommt auch nicht mehr vor) und 42 hat die Primzahl 7 (dann auch nicht mehr vorhanden). Also bleibt nurmehr 36 über.
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Was bringt mir hier die Primzahlzerlegung ??? Das versteh ich nicht so ganz.... :( Und warum muss das Ergebnis gerade sein ??
Danke für die Antwort :D
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Sa 25.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Thomas,
du fragst:
> Wie komme ich von hier auf y bzw. x?
x und y kannst du nicht getrennt ausrechnen, denn durch der Aufgabe sind nur Verhältnisse der Geschwindigkeiten vorgegeben, keine absoluten Werte. Aber das ist auch nicht nötig, denn wenn die Rolltreppe steht, braucht die Person die Zeit
[mm]\bruch{L}{x}[/mm]
um die Treppe hochzulaufen. Nun ist
[mm]\bruch{L}{x} = \bruch{L}{x+y}* \bruch{x+y}{x} = 30s * (1+y/x) = 36s[/mm]
Es sind also 36 Stufen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Sa 25.08.2007 | | Autor: | t97 |
hi!
Vielen Dank dass ihr so schnell geantwortet habt! Ich war gestern Nacht wohl nciht mehr ganz auf der Höhe meiner Leistungsfähigkeit... was noch gefehlt hat:
[mm] 30s = \bruch{L}{6y} [/mm] (Teilergebnis aus meinem letzten Beitrag)
[mm] = \bruch{L}{1,2x} [/mm] (wegen [mm] 5y = x [/mm])
und das ergibt dann [mm] 36s = \bruch{L}{x} [/mm]
--> zwar ein umständlicher Weg, hat aber doch funktioniert.
Die Idee mit der Primfaktorzerlegung gefällt mir sehr gut, clever!
gruß
thomas
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Was bringt mir hier die Primzahlzerlegung ??? Das versteh ich nicht so ganz.... :( Und warum muss das Ergebnis gerade sein ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Do 06.09.2007 | | Autor: | koepper |
Die Idee mit der Primzahlzerlegung ist keine strenk exakte Lösung sondern eine sogenannte Heuristik. Man stellt Überlegungen an, die auf Plausibilität beruhen. In Talk-Shows kommen i.d.R. nur ganzzahlige Lösungen vor. Da der Lösungsweg häufig nur aus Divisionen und Mult. bestehen, könnte man denken, daß die gleichen Primfaktoren in der Lösung stecken müssen, wie in den Angaben. Das ist hier allerdings eher Zufall. Denn allein die Ansätze enthalten schon Addition und Subtraktion und damit könnten durchaus auch andere Primfaktoren ins Spiel kommen.
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