Maß, Bildmaß, Verteilungsfkt. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:48 Do 08.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
| Aufgabe | Sei P ein Wahrscheinlichkeits-Maß auf [mm] (\IR, \mathcal{B}) [/mm] und T: [mm] \IR\Rightarrow\IR [/mm] eine [mm] \mathcal{B}-\mathcal{B}-messbare [/mm] Abbildung derart, dass das Bildmaß [mm] P_T [/mm] eine stetige Verteilungsfunktion besitzt.
Zeigen Sie bitte, dass dann auch P eine stetige Verteilungsfunktion besitzt. |
Ich bin sehr unsicher in der Wahrscheinlichkeitstheorie und möchte hier meinen bisherigen Ansatz mit der Bitte um Korrektur bzw. Anregung vorstellen.
Wir wissen,
1. [mm] P_T [/mm] ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] \mathcal{B}. [/mm] Da gibt es einen Satz zu.
2. [mm] P_T(B') [/mm] = [mm] P(T^{-1}(B')) [/mm] mit [mm] (B'\in\mathcal{B}) [/mm] per Definition
3. Die Verteilungsfunktion [mm] F_P(x) [/mm] = [mm] P((-\infty,x)) [/mm] mit [mm] (x\in\IR) [/mm] per Definition
Für die Verteilungsfunktion zu [mm] P_T [/mm] ist dann nach 2. und 3.:
4. [mm] F_{P_T}(x)=P_T((-\infty,x)) [/mm] = [mm] P(T^{-1}((-\infty,x)))
[/mm]
5. Wir wissen, dass [mm] F_{P_T} [/mm] stetig ist, d. h. es gilt:
[mm] \limes_{\delta\rightarrow{0}}(F_{P_T}(x_0+\delta)-F_{P_T}(x_0-\delta))=0
[/mm]
bzw. in Anwendung auf 4.:
[mm] \limes_{\delta\rightarrow{0}}(P(T^{-1}((-\infty,x_0+\delta)))-P(T^{-1}((-\infty,x_0-\delta))))=0=P_T(\{x_0\})=P(T^{-1}(\{x_0\}))
[/mm]
[mm] T^{-1}(\{x_0\})=\begin{cases} \IR, & \mbox{für } T(x)\in\{x_0\} \\ \emptyset, & \mbox{für } T(x)\not\in\{x_0\} \end{cases}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] P(T^{-1}(\{x_0\}))=\begin{cases} P(\IR)=1, & \mbox{für } T(x)\in\{x_0\} \\ P(\emptyset)=0, & \mbox{für } T(x)\not\in\{x_0\} \end{cases} \mbox{ ,da P ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist}
[/mm]
So, und selbst, falls das alles korrekt ist, komme ich nun nicht mehr weiter und bitte daher um Hilfe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 10.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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