Martingalproblem < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $\Omega,F, \{F_n\}, [/mm] P)$ ein filtrierter Wraum, [mm] $\{Mn\}$ [/mm] ein Martingal bezüglich [mm] $\{F_n\}$ [/mm] und [mm] $\{F^M_n\}$ [/mm] seine kanonische Filtration. Weiter seien [mm] $\{G_n\}$ [/mm] und [mm] $\{H_n\}$ [/mm] Filtrationen mit
[mm] $F^M_n\subset H_n\subset F_n\subset G_n.$
[/mm]
Dann ist [mm] $\{M_n\}$ [/mm] ein [mm] $H_n$-Martingal [/mm] (das konnte ich zeigen), also insbesondere auch ein [mm] $F^M_n$-Martingal. [/mm] Ist [mm] $\{M_n\}$ [/mm] im allgemeinen auch ein [mm] $G_n$-Martingal?
[/mm]
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Ich würde nein sagen und überlege schon die ganze Zeit. Kennt jemand von euch ein Gegenbeispiel?
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Was bedeutet denn der Begriff der kanonischen Filtration? Das ist doch die Filtration, die alle Informationen über den Prozess enthält, oder? Und wenn der Prozess - gegeben alle Informationen über ihn - ein Martingal ist, was kann es dann bringen, noch mehr Informationen zu erhalten (die dann nichts mehr über den Prozess aussagen)? Ich würde meinen, eher nichts - also müsste der Prozess unter [mm] G_n [/mm] ebenfalls ein Martingal sein.
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| Aufgabe | | Nachweis der Martingaleigenschaften |
Ok! Es muss gezeigt werden, dass
[mm] $E[M_{n+1}|G_n]=M_n$,
[/mm]
und wie macht man das nun formal? Turmeigenschaft? Andere Eigenschaften?
Das [mm] $M_{n}$ $G_n$-messbar [/mm] ist, ist klar, da [mm] $F_n\subset G_n$ [/mm] und [mm] $M_n$ $F_n$-messbar. [/mm] Sicherlich ist auch [mm] $\{M_n\}$ [/mm] integrierbar, weil [mm] $\{M_n\}$ [/mm] ein [mm] $\{F_n\}$-Martingal [/mm] ist.
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Turmeigenschaft klingt gut.
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Also, ich habe es nicht geschafft, mit der Turmeigenschaft die Behauptung zu zeigen. Kannst du es mir zeigen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 17.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 16.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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