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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:56 Mo 17.06.2013 | | Autor: | johnny23 |
| Aufgabe | | Sei S=(1,2,3,4). Zeichnen Sie für [mm] P=\pmat{ 0 & \bruch{1}{6} & \bruch{2}{6} & \bruch{3}{6} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } [/mm] den zugehörigen Übergangsgraphen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei Start im Zustand 1 nach fünf Schritten wieder in 1 zu sein. Bestimmen Sie bei Startverteilung (0,1,0,0) und bei Startverteilung [mm] (\bruch{1}{4},\bruch{1}{4},\bruch{1}{4},\bruch{1}{4}) [/mm] jeweils die Verteilung [mm] pi_{i} [/mm] von [mm] X_{i} [/mm] für i=1,2. |
Liebes Forum,
ich bräuchte mal wieder eure Hilfe! Und zwar geht es hier um eine Einstiegsaufgabe. Leider sind mir einige Dinge noch nicht so klar.
Ich habe es so verstanden, dass die Übergangsmatrix die Übergangswahrscheinlichkeiten beinhaltet. Ich dachte, man liest von i nach j Spaltenweise. Hier konkret: Beispielsweise von 1 nach 1 = 0. Von 1 nach 2 = 1. Von 1 nach 3 = 0. Von 1 nach 4 = 0. Oder beispielsweise von 3 nach 4 = 1.
Das macht für mich aber wenig Sinn, da die Werte der Spalten in der Summe ja immer 1 ergeben müssten, was hier nicht der Fall ist!
Weiter soll ja die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, in 5 Schritten wieder bei 1 zu sein. Naja ich habe angenommen, dass ich hierbei die n-te Potenz der Übergangswahrscheinlichkeit "von 1 nach 1" berechne. Was ja 0 wäre. Auch dies kann nicht sein.
Wo liegt denn mein Fehler? Lese ich die Matrix falsch?
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Mo 17.06.2013 | | Autor: | johnny23 |
Alles klar, offenbar falsch gelesen. Die Zeilen ergeben in der Summe ja immer 1. Ich werde gleich mal meine Lösungen posten und auf einen Kommentar hoffen ;)
Allerdings wäre die n-te Potenz der Übergangswahrscheinlichkeit "von 1 nach 1" in jedem Fall 0! Dies verstehe ich nicht. Beispielsweise kann man doch im ersten Schritt mit einer Wkeit von 1/6 zur 2 gelangen. Und im zweiten Schritt dann zu 100% wieder zur 1.
Wo liegt mein Fehler? Danke
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Mo 17.06.2013 | | Autor: | johnny23 |
So. Wie schon erwähnt habe ich die Übergangsmatrix nun anders gelesen. Beispielsweise: Die Wkeit von 1 nach 2 = [mm] \bruch{1}{6} [/mm] und von 1 nach 3 = [mm] \bruch{2}{6}. [/mm]
Dann habe ich die fünfte Potenz der Übergangsmatrix berechnet. So konnte ich die Wkeit ablesen, dass man nach 5 Schritten wieder bei 1 landet. Ich erhalte so [mm] \bruch{1}{9}.
[/mm]
Dann habe ich jeweils die Übergangsmatrix mit den Vektoren (0,1,0,0) und [mm] (\bruch{1}{4},\bruch{1}{4},\bruch{1}{4},\bruch{1}{4}) [/mm] multipliziert. Anschließend entsprechend mit der zweiten Potenz der Übergangsmatrix. Ich erhalte dann [mm] P*(0,1,0,0)=(\bruch{1}{6},0,1,0), P*(\bruch{1}{4},\bruch{1}{4},\bruch{1}{4},\bruch{1}{4})=(\bruch{1}{4},\bruch{1}{4},\bruch{1}{4},\bruch{1}{4}), P^2*(0,1,0,0)=(\bruch{1}{3},\bruch{1}{6},0,1) [/mm] und [mm] P^2*(\bruch{1}{4},\bruch{1}{4},\bruch{1}{4},\bruch{1}{4})=(\bruch{1}{4},\bruch{1}{4},\bruch{1}{4},\bruch{1}{4})
[/mm]
Sind mein Vorgehen und die Ergebnisse korrekt? Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen. Insbesondere zur Berechnung der Wkeit nach 5 Schritten wieder bei der 1 zu landen muss es doch einen einfacheren Weg geben, als die fünfte Potenz der Matrix zu berechnen oder?
Gruß
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Hi,
auf jeden Fall rechnest du falsch - das siehst du aber auch im Übergangsgraphen direkt: Wenn du mit (0,1,0,0) startest, sind nach einem Schritt alle in Zustand 1, also (1,0,0,0).
Dein erster Gedanke mit den Spalten war auch gut, das finde ich auch wesentlich übersichtlicher als so. Du musst nämlich jetzt $(0,1,0,0) [mm] \cdot [/mm] P$ rechnen, damit das korrekt ist - also mit Zeilenvektoren. Ich bevorzuge Spaltenvektoren und kann dann auch [mm] $P^T \cdot \vektor{0 \\ 1 \\0 \\0}$ [/mm] schreiben und rechnen. Das ist aber letztlich nur eine Frage des Aufschreibens und hat nichts mit den Rechenfehlern zu tun.
Natürlich kannst du bei 5 Schritten auch noch ein Baumdiagramm erstellen bzw. entsprechendes rechnen, aber einfacher als mit einer Matrixpotenz lässt sich das kaum machen.
Wenn du unsicher bist, überlege dir einen Schritt mal ganz langsam - 25% sind in 1, davon gehen so und so viel in 2, 3 und 4. 25% sind in 2, die gehen alle nach 1, 25% sind in 3, die gehen alle in 2 usw.
Dann hast du die Zahlen nach einem Schritt mal "per Hand" gerechnet und kannst dann die eigentliche Rechnung mit der Matrix damit prüfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 Di 18.06.2013 | | Autor: | johnny23 |
Vielen Dank! Du hast recht, eigentlich ziemlich offensichtlich verkehrt. Nun sollte es funktioniert haben.
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