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| Aufgabe | Sei [mm] $(X_n)_n$ [/mm] der einfache Random Walk mit Zustandsraum [mm] \{0,...,N\} [/mm] und Absorption in 0 und N. Die Übergangsmatrix ist also
[mm] $P=\pmat{ 1 & 0 & &&... & 0 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & ...& 0 & 0 \\ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 1}$
[/mm]
Gegeben sei nun der Anfangszustand [mm] $X_0=i$, [/mm] $i=1,...,N$. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit [mm] $a_i$, [/mm] dass [mm] $(X_i)$ [/mm] in $N$ absorbiert wird i/N ist. |
Ich habe einen folgenden Tipp erhalten: Zeige, dass sowohl [mm] $a_i$ [/mm] als auch [mm] $b_i=i$ [/mm] das lineare Gleichungssystem
[mm] $x_i=\sum^N_{j=0}p_{ij}x_j$
[/mm]
löst und benutze, dass [mm] $a_N=1$. [/mm]
OK, es ist einfach zu zeigen, dass [mm] b_i=i [/mm] das GLS löst (dann löst auch N i das GLS). Doch, wie zeige ich, dass das auch [mm] a_i [/mm] das tut:
Für $i=0$ ist [mm] $\sum^N_{j=0}p_{0j}a_j=1 \cdot a_0=a_0$
[/mm]
Für $i=N$ ist [mm] $\sum^N_{j=0}p_{Nj}a_j=1\cdot a_N=a_N$
[/mm]
Für $i=0$ und $i=N$ löst also [mm] $a_i$ [/mm] das GLS. und für die restliche i haben wir
[mm] $\sum^N_{i=0}p_{ij}a_j=1/2(a_{i-1}+a_{i+1})$
[/mm]
und wir müssen zeigen, dass das [mm] $a_i$ [/mm] ist? Hat jemand eine Idee (vielleicht mit Markoveigenschaft oder so)?
Ok, wenn wir gezeigt haben, dass [mm] b_i [/mm] und [mm] a_i [/mm] das GLS lösen, dann löst auch [mm] $b_i=i/N$ [/mm] das GLS und es gilt [mm] $b_N=A_N=1$. [/mm] Kann man daraus folgern, dass [mm] $a_i=i/N$ [/mm] (vielleicht wegen der Eindeutigkeit der Lösung des GLS)???
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Ich habe es geschafft. Ihr braucht euch also keine Gedanken mehr darüber machen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mi 10.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
erstmal herzlichen Glückwunsch zur Lösung! 
Wenn der Lösungsweg nicht allzu lang ist, poste ihn doch ruhig, damit alle was davon haben - vor allem diejenigen, die sich schon Gedanken über die Aufgabe gemacht haben.
Dank & Gruß,
djmatey
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Hallo!
Stellt doch einfach eine Frage, wenn euch die Aufgabe interessiet, dann schreib ich auch eine Lösungsskizze, denn für Antworten auf Fragen gibt es ja hier Bonuspunkte.
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