Marginalverteilung bestimmen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien $p,q > 0 $ mit $p+q < 1$ und $f: [mm] \{0,1\}^2 \rightarrow [/mm] [0,1]$ definiert durch
$$f(x,y) = [mm] \begin{cases}p^xq^y(1-p-q)^{1-x-y} & \text{ falls } (x,y) \in S = \{(0,0),(0,1),(1,0)\} \\ 0 & \text{ sonst} \end{cases}$$
[/mm]
(i) Zeigen Sie, dass $f$ eine Zähldichte auf [mm] $\{0,1\}^2$ [/mm] ist.
(ii) Sei(X,Y) ein Zufallsvektor auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega, \mathcal{A}, [/mm] P)$ mit Zähldichte $f$.
-> Ermitteln Sie die Marginalverteilungen [mm] $f^X$ [/mm] und [mm] $f^Y$ [/mm] von $X$ und $Y$.
-> Berechnen Sie $Cov(X,Y)$ |
(i) hat ohne Probleme geklappt
(ii) zur Marginalverteilung.
[mm] $f^X [/mm] = [mm] \sum_{y \in \{0,1\}}{p^xq^y(1-p-q)^{1-x-y}}$
[/mm]
$ = [mm] p^X(1-p-q)^{1-x} [/mm] + [mm] p^Xq(1-p-q)^{-X}$
[/mm]
$ = [mm] \frac{p^X}{(1-p-q)^X}((1-p-q)+q)$
[/mm]
$ = [mm] \frac{p^X}{(1-p-q)^X}(1-p)$
[/mm]
Völlig analog:
[mm] $f^Y [/mm] = [mm] \frac{q^Y}{(1-p-q)^Y}(1-q) [/mm] $
Korrekt?
Angenommen die Zähldichte wäre nicht diskret (hier sind ja nur genau 3 fälle ungleich 0), sondern stetig, dann würde ich über eine Variable integrieren?
Covarianz wird nachgereicht ;)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 19.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
