Mantelfläche 5eckige Pyramide < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Mi 13.02.2008 | | Autor: | blck |
So hallo,
ich hab mal eine Frage:
Also ich soll die Oberfläche eines 5eckigen Pyramide errechnen, da ergibt sich ja:
AO = AG + AM
AG is auch kein Problem, da rechne ich ein Dreieck aus der Grundfläche, dem 5eck aus und nehm diese dann mal 6:
Ag = [mm] (\bruch{a²}{4}* \wurzel{3})*6
[/mm]
Nun hänge ich aber an der Mantelfläche dieses Körpers.
Wie errechne ich diese?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Mi 13.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Berechne mal die Länge der Seitenkante s.
Die Mantelfläche ist jetzt, wenn du sie ausrollst, ein Kreissegment mit dem Radius s und der Bogenlänge [mm] u=u_{\text{Fünfeck}}.
[/mm]
Daraus kannst du dir jetzt den Winkel [mm] \alpha [/mm] berechnen, der dieses Segment aufspannt.
Hast du diesen, kannst du dann auch die Fläche dieses Segmentes errechnen.
Alternativ kannst du über die Flächeninhalte der fünf Seitendreiecke argumentieren.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Mi 13.02.2008 | | Autor: | blck |
Hmm gut wie mach ich weiter wen ich die Seitenfläche s errechnet habt?! bzw wie errechne ich sie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Mi 13.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ist das Fünfeck gleichmässig? Dann hilft der Satz des Pythagoras weiter.
(Mehrfach angewandt)
Ach ja: Die Formel für die Grundfläche ist falsch, oder ist das ganze doch ein Sechseck? Dann passt diese nämlich.
Hier hast du in der Grundfläche fünf gleichschenklige Dreiecke mit dem Spitzen Winkel [mm] \gamma=\bruch{360}{5}=72° [/mm] und dem Basiswinkel [mm] \alpha=\bruch{180-72}{2}=54° [/mm] (Mach dir unbedingt klar, warum?!!!)
Daraus berechne jetzt mal die Höhe [mm] h_{D} [/mm] eines solchen Dreiecks.
es gilt: [mm] \tan(54°)=\bruch{2*h_{D}}{a}, [/mm] wobei a die Grundseite der Pyramide ist. (Warum?)
Also: [mm] A_{D}=\bruch{1}{2}*a*h_{D}
[/mm]
Und somit: [mm] A_{G}=5*A_{D}
[/mm]
Zurück zum Mantel:
Hast du evtl die Höhe [mm] h_{p} [/mm] der Pyramide gegeben? Weil ohne diese die Aufgabe nicht lösbar ist. Du brauchst die, um die Höhen [mm] h_{s} [/mm] der Seitendreiecke zu bekommen.
Es gilt dabei nämlich (Pytahgoras)
[mm] h_{s}^{2}=h_{D}^{2}+h_{P}^{2}
[/mm]
Damit kannst du dann die Fläche der Seitendreiecke mit [mm] A_{S}=\bruch{1}{2}*a*h_{s} [/mm] bestimmen, und somit auch den Mantel, mit [mm] A_{M}=5*A_{S}
[/mm]
Den Weg über das Kreissegment vergiss mal schnell wieder, der ist etwas komplizierter.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Mi 13.02.2008 | | Autor: | blck |
Also hp= 5cm,
Und hd, ist wenn ich das richtig verstanden hab die Höhe eines der kleinen Dreiecke die sozusagen flach auf dem Boden liegen!
Und entschuldige, ja es ist ein Sechseck und die Mantelflächen sollten alle gleich groß sein.
Also, habs grad gerechnet und komm fast auf das Ergebnis des Unterrichts (lieg 0,06 daneben, muss aber nicht mein Fehler sein).
Was hab ich gemacht:
Zuerst hab ich die Höhe eines Der kleinen Dreiecke ausgerechnet ha = hd [mm] (ha=\bruch{4}{2}*\wurzel{3}), [/mm] dann hab ich deine Formel hs²=ha²+hp² ausgerechnet und aus den hs²= 36,9716 durch /wurzel {} hs = 6,08 gemacht.
Nun habe ich As ausgerechnet und kam auf 12,16 die ich dann wegen der 6 Seitenflächen mal 6 genommen hab. Am Schluss hab ich noch alles zusammengerechnet: Ao= Ag+ Am und kam dann auf ziemlich genau 114,52 Zentimeter.
Als nächstes wünsch ich dir noch nen schönen Abend und bedanke mich recht herzlich!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Mi 13.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich habe es jetzt nicht im einzelnen nachgerechnet.
Aber: Flächen haben die Einheit [mm] cm^{\red{2}} [/mm] oder [mm] m^{2}
[/mm]
Marius
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