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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Do 13.11.2008 | | Autor: | magir |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Mantelflächen der Körper, die durch Drehung der
jeweiligen Kurven um die angegebene Achse entstehen:
[mm] y^2 [/mm] + 4x = 2 ln y y [mm] \varepsilon [/mm] [1; 3] Drehung um die x-Achse |
Das Ganze lässt sich mit folgender Formel berechnen:
[mm] A_{Mantel} [/mm] = 2 [mm] \pi \cdot \int_a^b [/mm] f(x) [mm] \sqrt{1+f'(x)^2} [/mm] dx
Nur, wie komme ich auf f(x)?
Ich sehe absolut keine Möglichkeit, das y zu isolieren.
Gibt es sonst noch einen Weg diese Problem zu lösen, oder lässt sich irgendwie f(x) aufstellen?
Beste Grüße,
magir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Fr 14.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Versuche das ganze doch mal so anzupassen, dass du es auf die Rotation um die y-Achse zurückführen kannst.
Dafür gilt ja:
[mm] M=2\pi\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(y)\sqrt{1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^2}\mathrm{d}y. [/mm]
Und diese Funktion lässt sich ohne Probleme nach x auflösen, also
[mm] x=\bruch{2\ln(y)-y²}{4}
[/mm]
Hilft das irgendwie weiter?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 Fr 14.11.2008 | | Autor: | magir |
Ich habe das ganze mal eben schnell durch den Computer gejagt:
x^-1 = [mm] \bruch{4}{2lny -y^2}
[/mm]
Die Ableitung davon lautet demnach:
[mm] \bruch{8(y - 1)^2}{y(2ln(y) - y^2)^2}
[/mm]
Am Ende steht dann in deiner Formel als zu integrierender Term:
[mm] \bruch{4}{2lny -y^2}\wurzel{1+(\bruch{8(y - 1)^2}{y(2ln(y) - y^2)^2})^2}
[/mm]
Das lässt sich so auch nicht wirklich vereinfachen, von daher denke ich nicht, dass dieser Weg hier zum Ziel führt.
Trotzdem danke für deine Bemühungen und die Formel. Vielleicht hilft diese einmal an anderer Stelle.
Beste Grüße,
Magnus
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Ja, es gibt einen einfachen Weg.
Um Hirnverknotungen vorzubeugen, benenne ich mal um.
Sei [mm] \overline{x}=y, \overline{y}=x
[/mm]
(Lieber hätte ich x-Dach etc. gehabt, aber ich finde nicht, wie das geht.)
Dann hast Du die Aufgabe vorliegen:
[mm] \overline{y}=\bruch{1}{2}ln{\overline{x}}-\bruch{1}{4}\overline{x}^2
[/mm]
Diese Funktion soll im Bereich [mm] 1\le\overline{x}\le3 [/mm] um die [mm] \red{\overline{y}}-Achse [/mm] rotieren.
Ein Blick in eine Formelsammlung im Bereich ![[]](/images/popup.gif) Rotationskörper hilft hier weiter. Du brauchst die erste Guldin'sche Regel.
Für die Rotation um die [mm] \overline{y}-Achse [/mm] soll die Funktion [mm] \overline{y}=f(\overline{x}) [/mm] in ihre Umkehrfunktion umgeformt werden, [mm] \overline{x}=f^{-1}(\overline{y}). [/mm] Das allerdings würde Dich ja auf das frühere Umformungsproblem zurückwerfen. Es gibt aber einen Ausweg.
Erstmal die Formel:
[mm] 2\pi\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(\overline{y})\sqrt{1+\left[\left(f^{-1}(\overline{y})\right)'\right]^2}\mathrm{d}\overline{y}
[/mm]
Die kennst Du ja im Prinzip schon.
Allerdings substituiere ich jetzt [mm] f^{-1}(\overline{y})=\overline{x}, [/mm] entsprechend der Definition von [mm] f^{-1}.
[/mm]
Dann erhalte ich folgende, noch nicht fertig umgeformte Formel:
[mm] 2\pi\int_{a}^{b}\overline{x}\sqrt{1+\left[\red{\left(f^{-1}(\overline{y})\right)'}\right]^2}\blue{f'(\overline{x})}\mathrm{d}\overline{x}
[/mm]
Der blaue Teil sowie die Ersetzung der Integrationsgrenzen wird durch die Substitution nötig. Das verbleibende Problem ist rot markiert. Da durfte ich nicht so einfach ersetzen, weil es sich ja um die Ableitung der Umkehrfunktion handelt.
Mach Dir mal klar, was da stehen muss, dann hast Du die Lösung.
Tipp: Du läufst sozusagen einmal integrierend ein Stück Koordinatenachse ab, immer mit Blick auf das Kurvenstück. An jedem Punkt vermerkst Du, wie weit die Kurve von Dir entfernt ist, und welche Steigung sie an dieser Stelle hat. Nach der Substitution willst Du aber die andere Koordinatenachse ablaufen. Die Kurve bleibt die gleiche, aber Du nimmst aus der anderen Blickrichtung die Steigung anders wahr. Was vorher ein flacher Anstieg war, ist jetzt ein starker, und umgekehrt.
Was also muss statt [mm] \red{\left(f^{-1}(\overline{y})\right)'} [/mm] eingesetzt werden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Fr 14.11.2008 | | Autor: | magir |
Die Steigung der Umkehrfunktion ist gleich 1 durch der Steigung der ursprünglichen Funktion.
Das zeigt auch die Anschauung. Hat die Umkehrfunktion eine Steigung von 1/2, so hat die ursprüngliche Funktion eine Steigung von 2. (Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden)
Also muss hier [mm] (f^{-1}(\overline{y}))' [/mm] durch [mm] 1/(f(\overline{x}))' [/mm] ersetzt werden.
[mm] 1/(f(\overline{x}))' [/mm] = 1/(1/2x-x/2) = [mm] 2x/(1-x^2)
[/mm]
Wenn ich das nun noch quadiere und unter der Wurzel stehen habe wird das mit dem Integral auch wieder eine schwierige Geschichte ...
Liege ich soweit überhaupt richtig?
Gruß,
Magnus
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Ja, Du liegst völlig richtig.
Wie man allerdings das Integral löst, sehe ich im Moment auch noch nicht. Aber immerhin hast Du dann schon mal eins 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Fr 14.11.2008 | | Autor: | reverend |
Doch, ist gaaaanz einfach zu integrieren.
Jedenfalls, nachdem die Zusammenfassung des Terms geklappt hat. Nur Mut!
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