Lp Raum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Do 06.12.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Ich hab mal eine kurze Frage.
Wenn [mm] $f\in L^{\infty}(\Omega)$ [/mm] und [mm] $g\in L^p(\Omega)$,
[/mm]
ist dann [mm] $fg\in L^p(\Omega)$? [/mm] |
Also das fg messbar ist, ist klar, weil das Produkt messbarer Funktionen messbar ist.
Aber ist auch [mm] $\lvert fg\rvert^p$ [/mm] integrierbar?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Do 06.12.2012 | | Autor: | dennis2 |
Hallo, mikexx!
Es ist doch [mm] $\lvert u(x)\rvert\leq\lVert u\rVert_{\infty}:=\operatorname{ess sup}\limits_{x\in\Omega}\lvert u(x)\rvert<\infty$ [/mm] für alle [mm] $u\in L^{\infty}(\Omega)$.
[/mm]
Hilft das schon?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Do 06.12.2012 | | Autor: | mikexx |
achso, dann hat man doch
[mm] $\lvert fg\rvert^p=(\lvert f\rvert \lvert g\rvert)^p=\lvert f\rvert^p \lvert g\rvert^p\leq\lVert f\rVert_{\infty}^p \lvert g\rvert^p$
[/mm]
also
[mm] $\int\limits_{\Omega}\lvert f(x)g(x)\rvert^p\, d\mu(x)=\int\limits_{\Omega}\lvert f(x)\rvert^p\lvert g(x)\rvert^p\, d\mu(x)\leq\underbrace{\lVert f\rVert_{\infty}^{p}}_{<\infty}\underbrace{\int\limits_{\Omega}\lvert g(x)\rvert^p\, d\mu(x)}_{<\infty}$
[/mm]
Also [mm] $fg\in L^{p}(\Omega)$.
[/mm]
So korrekt?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> So korrekt?
jop.
MFG,
Gono.
|
|
|
|
