Lotto < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 So 11.03.2007 | | Autor: | SusiK |
| Aufgabe | | Wie viele verschiedene Tippscheine müsste man abgeben, um mit 100 % Sicherheit einen Fünfer bei "6 aus 49" zu haben? |
Ich denke, es sind 49 über 5 Möglichkeiten. Aber ich bin unsicher. Was ist richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 So 11.03.2007 | | Autor: | Ynm89 |
Also so viel ich weiß gibt es über 100 000 Möglichkeiten, weiß die Zahl aber nicht genau. Sowas habe ich schon mal gehört. 100% sicher bin ich mir aber nicht. Vielleicht hilft dir das ja weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 So 11.03.2007 | | Autor: | SusiK |
Danke erst mal für die Nachricht, aber
welche rechnung soll da dahinter stecken?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Mit 49 Tippscheinen hast du mindestens eine Zahl richtig, vorausgesetzt dass zwei Scheine (zumindest in der ersten Stelle) nie die gleichen Zahlen haben.
Um zwei Richtige zu haben, musst du auch für die zweite Stelle alle Möglichkeiten abdecken, das sind 48 übrige Zahlen, also insgesamt $49*48$ Tippscheine.
Für drei Richtige brauchst du nochmal 47 mal soviele Tippscheine, also $49*48*47$. Für vier Richtige $49*48*47*46$ und für fünf Richtige $49*48*47*46*45 = [mm] \bruch{49!}{44!}$ [/mm] Tippscheine.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:08 Mo 12.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Ankh,
vielen Dank für die Antwort.
Mit [mm] \bruch{49!}{44!}\not= {49\choose 5} [/mm] abgegebenen Tippscheine habe ich zwar sicher einen "Fünfer", aber die Tippscheine sind nicht alle verschieden, da es beim Zahlenlotto auf die Reihenfolge der getippten Zahlen nicht ankommt.
Bereits das Ankreuzen der Zahlen , {1,2,3,4,5,6}
erpart mir dann das Ausfüllen von [mm] 6\cdot43-1 [/mm] Lottoscheinen, und zwar derjenigen, in denen eine 5-elementige Teilmenge von {1,2,3,4,5,6} vorkommt, d.h alle Fünfer, die auf diese Weise zustande kommen, sind bereits durch diesen einenTipp abgedeckt.
MfG
Heiko
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Ja, klar, danke. Es gilt natürlich [mm] $\bruch{49!}{44!}\not= {49\choose 5}$.
[/mm]
Dass meine Lösung [mm] $\bruch{49!}{44!}$ [/mm] nicht minimal sein soll, also lediglich eine obere Schranke darstellt, will mir noch nicht so ganz einleuchten. Sag mir doch bitte eine kleinere/ die kleinste Zahl, die mit Garantie fünf Richtige abwirft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Welche Zahl [mm] $<\bruch{49!}{44!}$ [/mm] wirft auch mit Garantie fünf Richtige ab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mo 12.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Ankh,
> Welche Zahl [mm]<\vektor{49 \\ 44}[/mm] wirft auch mit Garantie fünf
> Richtige ab?
Da [mm]\vektor{49 \\ 44}[/mm] = [mm]\vektor{49 \\ 5 }[/mm] ist das gerade die Anzahl der 5-elementigen Teilmengen der Menge {1,...49}.
Das kann aber auch nicht die minimale Anzahl sein, denn ich muß 6 Zahlen ankreuzen, d.h. ich muß zu jeder 5-elementigen Teilmenge T noch eine Zahl aus [mm] \{1,...,49\} [/mm] \ T wählen.
So ist z.B. [1,2,3,4,5,6]ein Tip, in allen anderen abzugebenen Tippscheinen darf nun keine 5-elementige Teilmenge von {1,2,3,4,5,6}vorkommen , da diese Möglichkeiten bereits durch den Tipp [1,2,3,4,5,6] abgedeckt werden, also [mm] 43\cdot6 [/mm] Mgl´en, denn das ist gerade die Anzahl der Tipps,die eine 5-elementige Menge von [mm] \{1,2,3,4,5,6\} [/mm] enthalten und eine beliebige Zahl aus [mm] \{7,...,49\}.
[/mm]
Wenn Du nun über alle 5 elementigen Teilmenge abzählst, werden Tippscheine abgegeben , die durch andere Tipps bereits abgedeckt sind (so z.B. der Tipp [1,2,3,4,6,49], denn dieser Tip enthält bereit eine 5-elementige Teilmenge von {1,2,3,4,5,6}, damit durch meinen ersten Tipp schon abgedeckt.
LG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Sorry, ich hatte schon wieder die falsche Formel gepostet. Ich meinte natürlich [mm] \bruch{49!}{44!}. [/mm] Sag mir eine kleinere Lösung!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Mo 12.03.2007 | | Autor: | heyks |
> Sorry, ich hatte schon wieder die falsche Formel gepostet.
> Ich meinte natürlich [mm]\bruch{49!}{44!}.[/mm] Sag mir eine
> kleinere Lösung!
Hallo Ankh,
da [mm] \vektor{49 \\ 44} [/mm] < [mm]\bruch{49!}{44!}.[/mm]
siehe Beitrag über Dir.
VG
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Ich verstehe immer noch nicht, warum [mm] $\vektor{49 \\ 5}$ [/mm] Tippscheine ausreichen sollen. Was ist deine (minimale) Lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Ich verstehe immer noch nicht, warum [mm]\vektor{49 \\ 5}[/mm]
> Tippscheine ausreichen sollen. Was ist deine (minimale)
> Lösung?
Hi,
[mm] \vektor{49 \\ 5} [/mm] ist richtig. Die Logik ist genau wie bei die Anzahl aller Möglichkeiten einen Tippschein auszufühlen. Oder anders gesagt wie viele Tippscheine soll man ausfüllen um einen 6-Treffer sicher zu erwischen - [mm] \vektor{49 \\ 6}. [/mm] Nur gehts hier nicht um 6 richtige, sondern um 5.
Die Zahl [mm] \bruch{49!}{44!} [/mm] bedeutet die Anzahl aller Kombinationen mit Anordnung [mm] \vektor{49 \\ 5}*5! [/mm] Da beim Lotto die Anordnung keine Rolle spielt ist [mm] \vektor{49 \\ 5} [/mm] richtig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Vielen Dank, erstmal.
> [mm]\vektor{49 \\ 5}[/mm] ist richtig. Die Logik ist genau wie bei
> die Anzahl aller Möglichkeiten einen Tippschein
> auszufühlen. Oder anders gesagt wie viele Tippscheine soll
> man ausfüllen um einen 6-Treffer sicher zu erwischen -
> [mm]\vektor{49 \\ 6}.[/mm] Nur gehts hier nicht um 6 richtige,
> sondern um 5.
Aber wir spielen ja nicht 5 aus 49, sondern 6 aus 49. Sind 5 Richtige bei 6 aus 49 nicht etwas anderes als 5 Richtige bei 5 aus 49? Sorry, wenn grad Brett vor Kopf.
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Also letztendlich geht es um die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten der 5 richtigen gezogenen zahlen.
Es werden 6 Kugeln aus den 49 Kugeln gezogen.
Wenn man 6 richtige haben will dann gibt es nur eine Möglichkeit (a,b,c,d,e,f)
Wenn man 5 Richtige haben will, gibt es genau 44 möglichkeiten.
Wenn man zu 100% alle 6 Richtigen haben will, dann muss man alle Kombinationsmöglichkeiten in betracht ziehen und genausoviele Lottoscheine ausfüllen.
-->festes gesetz der [mm] Kombinatorik:\vektor{49 \\ 6}=13983816 [/mm] Möglichkeiten
a,b,c,d,e,X
Das ist die allgemeine Lösung des Lottoscheins mit 5 Treffern
X ist eine der übrigen 44 Kugeln
Daher ist es 44 mal leichter einen Fünfer zu haben, deshalb braucht man auch nur 1/44 der Lottoscheine wie für 6 richtige.
ALSO:
[mm] \bruch{\vektor{49 \\ 6}}{44}=317814 [/mm] Lottoscheine
mfg Sirvivor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Mo 12.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Sirvivor
> Also letztendlich geht es um die Anzahl der
> Kombinationsmöglichkeiten der 5 richtigen gezogenen
> zahlen.
> Es werden 6 Kugeln aus den 49 Kugeln gezogen.
> Wenn man 6 richtige haben will dann gibt es nur eine
> Möglichkeit (a,b,c,d,e,f)
> Wenn man 5 Richtige haben will, gibt es genau 44
> möglichkeiten.
Es gibt genau [mm] \vektor{6 \\ 5} \cdot \vektor{43 \\1 } [/mm] =258 Möglichleiten,
denn Du hast 6 Möglichkeiten für die Wahl Deiner 5 Richtigen und dann jedesmal noch 43 Möglichkeiten eine Zahl aus dem Komplement zu wählen.
MfG
Heiko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 So 11.03.2007 | | Autor: | Beliar |
Hallo, nun du möchtest doch 5 Richtige haben. Dann sind es doch 5 aus diesen 6 gezogenen Zahlen. Bedeutet 6 über 5 sieht geschrieben so [mm] aus:\vektor{6 \\ 5} [/mm] jetzt hast du ja noch 1 Zahle die gezogen wird aber sogesehen falsch ist.Das bedeutet aus den restlichen 43 Zahlen bekommst du eine Nicht Richtige, sieht dann so [mm] aus:\vektor{43 \\ 1}
[/mm]
Die Gesamtheit aller Möglich/Wahrscheinlichkeiten schreibt man [mm] so:\vektor{49 \\ 6} [/mm] so das ist was du hast. Jetzt musst du das in die richtig Form bringen wäre dann so:
[mm] (\vektor{6 \\ 5}*\vektor{43 \\ 1})/\vektor{49 \\ 6}
[/mm]
denn Rest solltest du alleine schaffen können, wenn nicht meld dich noch mal
gruß Beliar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:00 Mo 12.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo,
aus der W-keit für "5 Richtige" kann nicht so einfach von der Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis auf die Anzahl der für dieses Ereignis günstigen Teilmengen schließen.
Erst wenn der WRaum [mm] \Omega [/mm] die Vereinigung aller dafür günstigen Teilmengen und ist diese paarweise disjunkt und gleichmächtig sind , kann das ZE als Laplace Experiment angesehen werden, und es gilt :
#Teilmengen [mm] \cdot [/mm] P(Teilmenge) =1 also #Teilmengen = [mm] \bruch{1}{P(Teilmenge)}.
[/mm]
Im vorliegenden Fall ist aber [mm] \bruch{1}{P(Teilmenge)} \notin \IN.
[/mm]
Viele Grüße von
Heiko
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Stell dir vor, du hättest in jahrelanger Kleinarbeit alle 13983816 möglichen verschiedenen Tippscheine ausgefüllt. Die bringst du alle an einem Tag zur Annahmestelle. Wie viele gewinnen nun mit 5 Richtigen?
Zunächst müssen 5 von den 6 richtigen Zahlen übereinstimmen, du hast damit [mm] \vektor{6 \\ 5}=6 [/mm] Möglichkeiten; die 6. Zahl darf keine von den 6 richtigen Zahlen sein, dafür hast du [mm] \vektor{43 \\ 1}= [/mm] 43 Möglichkeiten. Also hast du jetzt 6*43 = 258 Tippscheine mit genau 5 Richtigen.
Die suchst du nun aus und wirfst sie weg. Obwohl du nun noch 13983816 - 258 = 13983558 Tippscheine hast, ist kein einziger mehr mit 5 Richtigen dabei! Du musst also mindestens einen von den weggeworfenen Scheinen wieder besorgen, um einen 5-er zu haben - da kann dich die Tatsache, das sogar der Schein mit den 6 Richtigen noch dabei ist, gar kein bisschen trösten...
Also ist die Antwort: 13983559 Tippscheine.
Wenn du am nächsten Spieltag diese 13983559 Tippscheine wieder einreichst und ein ganz anderer Tipp kommt, reicht das aber: Damit du dann keine 5 Richtigen dabei hast, müsstest du wieder 258 (andere oder dieselben) Tippscheine wegwerfen, und da dir aber nur 257 fehlen, hast du auf jeden Fall einen (oder sogar bis zu 258) Fünfer dabei.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:36 Mo 12.03.2007 | | Autor: | heyks |
> Stell dir vor, du hättest in jahrelanger Kleinarbeit alle
> 13983816 möglichen verschiedenen Tippscheine ausgefüllt.
> Die bringst du alle an einem Tag zur Annahmestelle. Wie
> viele gewinnen nun mit 5 Richtigen?
>
> Zunächst müssen 5 von den 6 richtigen Zahlen
> übereinstimmen, du hast damit [mm]\vektor{6 \\ 5}=6[/mm]
> Möglichkeiten; die 6. Zahl darf keine von den 6 richtigen
> Zahlen sein, dafür hast du [mm]\vektor{43 \\ 1}=[/mm] 43
> Möglichkeiten. Also hast du jetzt 6*43 = 258 Tippscheine
> mit genau 5 Richtigen.
>
> Die suchst du nun aus und wirfst sie weg.
Ja , welche 258 Tippscheine denn ? Es ist doch á priori gar nicht klar, welche Zahlen gewinnen.
> Also ist die Antwort: 13983559 Tippscheine.
Das kann aber nicht die kleinste Anzahl sein, denn wenn ich [mm] \vektor{49 \\ 5} [/mm] Tippscheine ausfülle, und jeden Tippschein mit einer anderen der möglichen [mm] \vektor{49 \\ 5} [/mm] 5-elementigen Teilmenge der Menge [mm] \{1,...49\} [/mm] habe ich garantiert "5 Richtige" (sogar mehrere).
Es ist aber [mm] \vektor{49 \\ 5} [/mm] < [mm] \vektor{49 \\ 6}-258
[/mm]
>
> Wenn du am nächsten Spieltag diese 13983559 Tippscheine
> wieder einreichst
Die minimale Anzahl der benötigten Tippscheine soll nur für eine Ziehung berechnet werden.
Viele Grüße von
Heiko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Also, ich finde die Argumentation von HJKweseleit ganz plausibel:
Es gibt insgesamt N = (49 über 6) Möglichkeiten, einen Tipp abzugeben.
Darunter sind F = (6 über 5)*43 mit genau fünf Richtigen bzw. F'= (6 über 5)*44 mit mindestens fünf Richtigen.
Wenn man unter Garantie eine dieser F Tippscheine abgeben will, muss man mindestens N - F +1 Tippscheine abgeben.
Warum sind N - F +1 denn zuviele? bzw. Welche Strategie muss man bei der Wahl der Tippscheine berücksichtigen, um mit weniger auszukommen?
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Siehe Antwort Kombinatorik
mfg Sirvivor
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Lieb gemeint, aber ich habe mich ganz schön vergallopiert!
Wenn ich die Gewinnzahlen kenne und dann alle Scheine mit einem Fünfer wegwerfe, stimmt meine Überlegung. Aber: Ich kann ganz viele Scheine wegwerfen und doch noch immer solche übrig behalten, so dass jede Fünfer-Kombination irgendwie dabei ist.
Es stimmt: Wenn ich auf jedem Tippschein nur 5 Kreuzchen mache und alle 5-er Möglichkeiten einmal ankreuze, gibt es [mm] \vektor{49 \\ 5}= [/mm] 1 906 884 Tippscheine. Kreuze ich nun sogar 6 Zahlen pro Schein an, decke ich mit jedem Schein 6 Fünfer-Gewinne ab. Beispiel: 1,2,3,4,5,6 deckt 1,2,3,4,5/1,2,3,4,6/1,2,3,5,6/1,2,4,5,6/1,3,4,5,6 und 2,3,4,5,6 als Fünfer ab.
Es kommt aber hier zur Überlappung: Der Tipp 2,3,4,5,6,7 deckt ebenfalls wieder 6 Fünfer-Gewinne ab, allerdings auch den schon möglichen Fall 2,3,4,5,6.
Bisheriges Fazit: maximal 1 906 884 Tippscheine; würde jeder 6-er-Tipp nun 6 verschiedene 5-er abdecken, wäre die Zahl genau 1/6 davon, tatsächlich liegt sie darüber.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Mo 12.03.2007 | | Autor: | heyks |
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> Es stimmt: Wenn ich auf jedem Tippschein nur 5 Kreuzchen
> mache und alle 5-er Möglichkeiten einmal ankreuze, gibt es
> [mm]\vektor{49 \\ 5}=[/mm] 1 906 884 Tippscheine. Kreuze ich nun
> sogar 6 Zahlen pro Schein an, decke ich mit jedem Schein 6
> Fünfer-Gewinne ab. Beispiel: 1,2,3,4,5,6 deckt
> 1,2,3,4,5/1,2,3,4,6/1,2,3,5,6/1,2,4,5,6/1,3,4,5,6 und
> 2,3,4,5,6 als Fünfer ab.
Sogar noch viel mehr , denn die letzte Zahl kann zu jeder der 6 richtigen 5-elementigen Teilmenge beliebig aus {7,...,49}gewählt werden, siehe heutige mail : Lotto Zahl von 13:23 h
>
> Es kommt aber hier zur Überlappung: Der Tipp 2,3,4,5,6,7
> deckt ebenfalls wieder 6 Fünfer-Gewinne ab, allerdings auch
> den schon möglichen Fall 2,3,4,5,6.
>
> Bisheriges Fazit: maximal 1 906 884 Tippscheine; würde
> jeder 6-er-Tipp nun 6 verschiedene 5-er abdecken, wäre die
> Zahl genau 1/6 davon, tatsächlich liegt sie darüber.
MfG
Heiko
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:09 Di 13.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> Beispiel: 1,2,3,4,5,6 deckt
> 1,2,3,4,5/1,2,3,4,6/1,2,3,5,6/1,2,4,5,6/1,3,4,5,6 und
> 2,3,4,5,6 als Fünfer ab.
>
> Es kommt aber hier zur Überlappung: Der Tipp 2,3,4,5,6,7
> deckt ebenfalls wieder 6 Fünfer-Gewinne ab, allerdings auch
> den schon möglichen Fall 2,3,4,5,6.
Das heißt also, unter den auszufüllenden Tippscheinen dürfen keine zwei sein, die in 5 der 6 Zahlen übereinstimmen. Ist das richtig?
Wie sieht dann der Algorithmus zur Wahl der richtigen Tippscheine aus?
Bei 1,2,3,4,5,6 anfangen, dann weiter mit 1,2,3,4,7,8, dann 1,2,3,4,9,10, usw....?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:53 Do 15.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Hallo,
Ich würde wirklich gerne wissen, welche Strategie man anwenden muss, um mit [mm] \vektor{49 \\ 5} [/mm] Scheinen auszukommen. Vielen Dank.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Do 15.03.2007 | | Autor: | heyks |
Hallo Ankh
> Ich würde wirklich gerne wissen, welche Strategie man
> anwenden muss, um mit [mm]\vektor{49 \\ 5}[/mm] Scheinen
> auszukommen. Vielen Dank.
Da gibt es keine Strategie.
Wenn Du [mm] \vektor{49 \\ 5} [/mm] Lottoscheine abgibst, jeden so ausgefüllt, daß die ersten fünf angekreutzen Zahlen zu genau einer der [mm] \vektor{49 \\ 5} [/mm] verschiedenen 5-elementigen Teilmengen von {1,...,49} gehören, so hast Du garantiert mehrere "Fünfer", mindestens 6.
Die Schwierigkeit liegt also darin, die kleinstmögliche Anzahl von Scheinen zu finden, diese ist garantiert kleiner als [mm] \vektor{49 \\ 5}.
[/mm]
MfG
Heiko
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:02 Do 15.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> Da gibt es keine Strategie.
> Wenn Du [mm]\vektor{49 \\ 5}[/mm] Lottoscheine abgibst, jeden so
> ausgefüllt, daß die ersten fünf angekreutzen Zahlen zu
> genau einer der [mm]\vektor{49 \\ 5}[/mm] verschiedenen
> 5-elementigen Teilmengen von {1,...,49} gehören
Das ist doch eine Strategie. Die Frage ist nur, wie das genau funktionieren soll, etwa so vielleicht:
1 2 3 4 5 x
1 2 3 4 6 x
1 2 3 4 7 x
...
1 2 3 4 48 x
1 2 3 5 6 x
1 2 3 5 7 x
...
1 2 3 5 48 x
1 2 3 6 7 x
...
...
1 2 3 47 48 x
1 2 4 5 6 x
...
wobei x der einfachheit halber immer die gleiche Zahl sein sollte, z.B. 49. Diese Zahl müsste man in den ersten fünf Stellen nicht mehr berücksichtigen. Damit würden schonmal [mm] $\vektor{48 \\ 5}$ [/mm] Scheine ausreichen.
> so hast Du
> garantiert mehrere "Fünfer", mindestens 6.
Wieso eigentlich?
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 10:13 Di 20.03.2007 | | Autor: | Ankh |
> 1 2 3 4 5 x
> 1 2 3 4 6 x
> 1 2 3 4 7 x
> ...
> 1 2 3 4 48 x
> 1 2 3 5 6 x
> 1 2 3 5 7 x
> ...
> 1 2 3 5 48 x
> 1 2 3 6 7 x
> ...
> ...
> 1 2 3 47 48 x
> 1 2 4 5 6 x
> ...
> wobei x der einfachheit halber immer die gleiche Zahl sein
> sollte, z.B. 49.
Ich komme also mit [mm]\vektor{48 \\ 5}[/mm] Tippscheinen aus. Das ist eventuell aber immer noch nicht die minimale Zahl.
Denn was ist, wenn die 49 eine der 5 Richtigen ist? Dann habe ich 48 Tippscheine mit 5 Richtigen abgegeben. Kann man diese Strategie noch optimieren?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Fr 20.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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