Lotfußpunkt < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Linda. |
| Aufgabe | "Im [mm] R^3 [/mm] sind der Punkt A (6/-5/3)und die Gerade g: [mm] \vec{x}= \vektor{6 \\ 4\\3}+k\vektor{-2 \\ -5\\4} [/mm] gegeben.
b) Bestimmen Sie den Punkt B auf der Geraden g, der vom Punkt A die kürzeste Entfernung hat.
c) Bestimmen Sie den Punkt B auch mit den Mitteln der Differentialrechnung. (Ist X ein Punkt auf der Geraden g, so ist d (A, X) eine von k abhängige differenzierbare Funktion.)" |
Hey Leute!
Bezüglich des Aufgabenteils c habe ich Probleme. Ich weiß überhaupt nicht, wie ich über Differentialrechnung den Punkt B (d.h. den Lotfußpunkt?!) bestimmen könnte.
Aufgabe b habe ich bereits gemacht und den Lotfußpunkt L (4/-1/7) erhalten, bei c weiß ich aber absolut nicht weiter :(
Für einen brauchbaren Tipp wäre ich sehr dankbar!
Liebe Grüße,
Linda
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Linda!
Verwende die Abstandsformel im [mm] $\IR^3$ [/mm] :
[mm] $$d_{PQ} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\left(x_Q-x_P\right)^2+\left(y_Q-y_P\right)^2+\left(z_Q-z_P\right)^2}$$
[/mm]
Setze nun die gegebenen Koordinaten des Punktes $A_$ bzw. der Gerade ein. Damit hast Du eine Funktion mit der Unbekannten $k_$ .
Um die weitere Extremwertberechnung zu vereinfachen (und auf die Wurzel zu verzeichten), kannst Du hier auch $f(k) \ = \ [mm] d^{\red{2}}_{PQ} [/mm] \ = \ ...$ betrachten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Linda. |
In Ordnung, wenn ich es richtig verstanden habe, dann ergibt sich für
f(x)= [mm] d^2= 45k^2-90k+36
[/mm]
Und jetzt muss ich den Extremwert der Funktion berechnen? Warum? Ich kann mir das Ganze nur schwer vorstellen...
Danke für die schnelle Hilfe!
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Hallo Linda,
ich habe die von Dir aufgestellte Funktion nicht überprüft, aber vom Typ her sieht sie plausibel aus. Erwartet hätte ich eine nach oben geöffnete Parabel, und genau die hast Du ja vorliegen. Warum diese Erwartung?
Die Funktion soll ja angeben, wie weit der einem bestimmten k zugeordnete Punkt der Geraden vom Punkt A entfernt ist. Da kann es nur einen nächstgelegenen geben - und den suchst Du gerade. Er entspricht dem k am einzigen ("globalen") Minimum Deiner Funktion. Alle andere Punkte sind weiter entfernt, und zwar egal ob k sich von [mm] k_{min} [/mm] aus "nach rechts" oder "nach links" entfernt, in einer symmetrischen Weise. Da Abstände über Quadrate definiert, ist also eine quadratische Funktion zu erwarten, die vor dem quadratischen Glied [mm] k^2 [/mm] einen positiven Koeffizienten hat. Nur dann gibt es ein Minimum der Funktion. Und symmetrisch sind Parabeln praktischerweise ja auch immer.
Du suchst nun also das Minimum Deiner Funktion bzw. den Scheitelpunkt der Parabel, was ja das gleiche ist. Das ginge über Umformung der Funktionsgleichung genauso gut wie per Differentialrechnung, aber letztere sollst Du ja anwenden.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Linda. |
Alles klar, nur eine Frage hätte ich noch: Woher weiß ich, dass der Wert für das globale Minimum dem Punkt A am nächsten ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Linda!
Gehe gedanklich auf der Geraden mit sehr großen $k_$-Werten entlang (sowohl positive als auch negative Werte).
Was passiert dann mit der Entfernung zum Punkt $A_$ ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Linda. |
Ehrlich gesagt weiß ich es nicht... an welcher Geraden muss ich mich dann orientieren? An der Ausgangsgeraden oder der Parabel?
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Hallo Linda,
im betrachteten Raum liegen nach wie vor nur die Gerade und der Punkt A. Die Parabel liegt dort nicht und dient nicht der räumlichen Vorstellung. Sie ist nur der Graph der Abstandsfunktion. Die Funktion braucht den Graphen nicht, um zu existieren.
Du kannst Dich also in Gedanken entweder auf den Punkt A setzen und zusehen, wie ein anderer Punkt auf der Geraden aus weiter Ferne näher kommt wie ein Zug am Horizont, immer näher auf Dich zu, aber dann doch an Dir vorbeifährt und weiter auf der Geraden fährt, bis er irgendwann so weit weg ist, dass er kaum noch zu sehen ist... 
Oder Du fährst mit dem Punkt auf der Geraden und schaust immer auf den Punkt A. Anfangs musst Du dazu die Augen dazu kaum heben, erst wenn der Zug sich dem Punkt nähert. Immer schneller hebst Du den Kopf, und in einem bestimmten Moment schaust Du genau senkrecht nach oben. Ab da kannst Du den Kopf langsam wieder herunternehmen, schaust aber nach hinten. Du lässt den Punkt immer weiter hinter Dir zurück.
Klar?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Linda. |
Also drückt das globale Minimum den geringsten Abstand zwischen Punkt A und der Geraden aus und hat keinen direkten geometrischen Zusammenhang?
Der Punkt, an dem der Abstand zwischen Gerade und Punkt A am geringsten ist, ist der Lotfußpunkt, das war mir klar!
Kurze Frage am Rande: Wenn ich nun das globale Minimum errechnet habe (es liegt bei k=1), wie komme ich auf den Vektor selbst? Muss ich k in die Geradengleichung einsetzen?
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Hallo Linda,
> Also drückt das globale Minimum den geringsten Abstand
> zwischen Punkt A und der Geraden aus und hat keinen
> direkten geometrischen Zusammenhang?
Genau.
> Der Punkt, an dem der Abstand zwischen Gerade und Punkt A
> am geringsten ist, ist der Lotfußpunkt, das war mir klar!
Das habe ich auch nicht bezweifelt.
> Kurze Frage am Rande: Wenn ich nun das globale Minimum
> errechnet habe (es liegt bei k=1), wie komme ich auf den
> Vektor selbst? Muss ich k in die Geradengleichung
> einsetzen?
Wenn Du zwischendurch keine Substitutionen vorgenommen oder das k sonstwie "frisiert" hast, dann ja.
Es sollte dann genau der Lotfußpunkt herauskommen, den Du ja schon mit Mitteln der linearen Algebra berechnet hattest.
Wenn nicht, liegt in einer der beiden Rechnungen noch ein Fehler vor.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Linda. |
Super, es passt! Vielen Dank für die Bemühungen und die nette Hilfe!
Liebe Grüße,
Linda
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