Lokale Ringe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Fr 19.03.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | | For a prime p we know that the rings [mm] \IF_{p^{2}} [/mm] and [mm] \IZ/p^{2}\IZ [/mm] are not isomorphic. Show that they are both local rings, but that the respective maximal ideals have different cardinalities. Find at least one additional numerical quantity that can be defined for finite rings (commutative, with 1), is invariant under ring isomorphism and takes on different values for [mm] \IF_{p^{2}} [/mm] and [mm] \IZ/p^{2}\IZ. [/mm] |
Hallo zusammen
Diese Aufgabe stellt mich vor mehreren Problemen.. angefangen damit, dass ich die Frage teilweise nicht mal verstehe.
Zum ersten Punkt: Zeige, dass beide Ringe lokal sind.
Nun, für [mm] \IF_{p^{2}} [/mm] ist es klar, da es sich um einen Körper handelt und dieser somit nur die Ideale (0) und (1) hat. Somit ist das maximale Ideal (0), mit ensprechender Karadinalität 1.
Wie gehe ich für [mm] \IZ/p^{2}\IZ [/mm] vor? Ich glaube ich verstehe nicht mal die Struktur.. Es handelt sich um den Ring der ganzen Zahlen modulo [mm] p^{2}. [/mm] Hat es in dem Fall p Elemente? Denn jedes r [mm] \in [/mm] R lässt sich schreiben als a + [mm] p^{2}\IZ [/mm] und somit wurden schon für a = p alle Elemente angenommen.
Sollte das stimmen, wie finde ich das einzige maximale Ideal?
Die zweite Hälfte der Aufgabe verstehe ich nicht einmal.. was wird da genau gesucht?
Ich wäre um jeden Tipp dankbar :)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Fr 19.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Nun, für [mm]\IF_{p^{2}}[/mm] ist es klar, da es sich um einen
> Körper handelt und dieser somit nur die Ideale (0) und (1)
> hat. Somit ist das maximale Ideal (0), mit ensprechender
> Karadinalität 1.
Ja.
> Wie gehe ich für [mm]\IZ/p^{2}\IZ[/mm] vor? Ich glaube ich
> verstehe nicht mal die Struktur.. Es handelt sich um den
> Ring der ganzen Zahlen modulo [mm]p^{2}.[/mm]
Genau - hast du jemals mit Modulo-Rechnung zu tun gehabt? Mal einfache Beispiele ergooglet/angeschaut?
> Hat es in dem Fall p
> Elemente?
Nein, natürlich nicht - es hat [m]p^2[/m] Elemente!
> Denn jedes r [mm]\in[/mm] R lässt sich schreiben als a +
> [mm]p^{2}\IZ[/mm] und somit wurden schon für a = p alle Elemente
> angenommen.
Nein, es ist [m]0\neq p[/m] in diesem Ring!
> Sollte das stimmen, wie finde ich das einzige maximale
> Ideal?
Da gibt es viele Methoden - zB gibt es ja die Abbildung [m]p:\IZ\to\IZ_{p^2},x\mapsto [x][/m]. Nun ist der Kern davon ein Ideal in [m]\IZ[/m]. Die Ideale in [m]\IZ_{p^2}[/m] sind nun bijektiv mit den Idealen in [m]\IZ[/m] mit dem Kern der Abbildung in diesem Ideal.
Auf der anderen Seite kannst du erstmal alle Einheiten bestimmen - denn sobald eine Einheit im Ideal ist, ist es der ganze Ring. Da der Ring endlich ist, ist auch jedes Ideal endlich erzeugt - du musst also noch die Nichteinheiten durchprobieren.
> Die zweite Hälfte der Aufgabe verstehe ich nicht einmal..
> was wird da genau gesucht?
Es wird eine Abbildung von den endlichen Ringen in die natürlichen Zahlen gefragt (also gibt diese Abbildung das gleiche auf Isomorphieklassen), die sich auf den Ringen der Aufgabe unterscheiden. Mächtigkeit der Menge ist es nicht - sie sind gleich groß. Mächtigkeit des maximalen Ideals - funktioniert, wie man aus der a) sieht. Jetzt sollst du eine weitere numerische Invariante finden. Mir fällt zwar sofort eine ein - aber ich denke, es gibt da wohl einige Möglichkeiten, also probiere doch ein bisschen rum! (Jeder Tipp wäre sofort die gesamte Lösung, daher erstmal nichts weiter)
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Fr 19.03.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey SEcki
> > Nun, für [mm]\IF_{p^{2}}[/mm] ist es klar, da es sich um einen
> > Körper handelt und dieser somit nur die Ideale (0) und (1)
> > hat. Somit ist das maximale Ideal (0), mit ensprechender
> > Karadinalität 1.
>
> Ja.
>
> > Wie gehe ich für [mm]\IZ/p^{2}\IZ[/mm] vor? Ich glaube ich
> > verstehe nicht mal die Struktur.. Es handelt sich um den
> > Ring der ganzen Zahlen modulo [mm]p^{2}.[/mm]
>
> Genau - hast du jemals mit Modulo-Rechnung zu tun gehabt?
> Mal einfache Beispiele ergooglet/angeschaut?
>
> > Hat es in dem Fall p
> > Elemente?
>
> Nein, natürlich nicht - es hat [m]p^2[/m] Elemente!
>
> > Denn jedes r [mm]\in[/mm] R lässt sich schreiben als a +
> > [mm]p^{2}\IZ[/mm] und somit wurden schon für a = p alle Elemente
> > angenommen.
>
> Nein, es ist [m]0\neq p[/m] in diesem Ring!
Gut, ich dachte zuerst auch, dass es [mm] p^{2} [/mm] Elemente haben würde.. doch dann verstehe ich nicht, warum diese Ringe nicht isomorph sind. Ich werde mir die Ordnungen der Elemente anschauen müssen..
>
> > Sollte das stimmen, wie finde ich das einzige maximale
> > Ideal?
>
> Da gibt es viele Methoden - zB gibt es ja die Abbildung
> [m]p:\IZ\to\IZ_{p^2},x\mapsto [x][/m]. Nun ist der Kern davon ein
> Ideal in [m]\IZ[/m]. Die Ideale in [m]\IZ_{p^2}[/m] sind nun bijektiv mit
> den Idealen in [m]\IZ[/m] mit dem Kern der Abbildung in diesem
> Ideal.
>
> Auf der anderen Seite kannst du erstmal alle Einheiten
> bestimmen - denn sobald eine Einheit im Ideal ist, ist es
> der ganze Ring. Da der Ring endlich ist, ist auch jedes
> Ideal endlich erzeugt - du musst also noch die
> Nichteinheiten durchprobieren.
>
> > Die zweite Hälfte der Aufgabe verstehe ich nicht einmal..
> > was wird da genau gesucht?
>
> Es wird eine Abbildung von den endlichen Ringen in die
> natürlichen Zahlen gefragt (also gibt diese Abbildung das
> gleiche auf Isomorphieklassen), die sich auf den Ringen der
> Aufgabe unterscheiden. Mächtigkeit der Menge ist es nicht
> - sie sind gleich groß. Mächtigkeit des maximalen Ideals
> - funktioniert, wie man aus der a) sieht. Jetzt sollst du
> eine weitere numerische Invariante finden. Mir fällt zwar
> sofort eine ein - aber ich denke, es gibt da wohl einige
> Möglichkeiten, also probiere doch ein bisschen rum! (Jeder
> Tipp wäre sofort die gesamte Lösung, daher erstmal nichts
> weiter)
>
Danke SEcki.. ich schaue mir das mal an und komme je nach dem mit konkreten Fragen zurück :)
> SEcki
Liebe Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Auf die Gefahr hin mich zu blamieren.. :)
Also das maximale Ideal von [mm] \IF_{p^{2}} [/mm] hatten wir ja geklärt.. ist (0) und hat somit Kardinalität 1
Jetzt.. für p>2 prim, gilt [mm] (\IZ/p^{k}\IZ)^{x} \cong C_{p^{k-1}(p-1)} \cong C_{\varphi(p^{k})}
[/mm]
In meinem Beispiel gilt also [mm] (\IZ/p^{2}\IZ)^{x} \cong C_{p^{2}-p}
[/mm]
Somit bleiben [mm] p^{2} [/mm] - [mm] (p^{2} [/mm] - p) = p Elemente übrig, die nicht Einheiten sind... ich nenne sie [mm] x_{1},...,x_{p} [/mm] und x = [mm] (x_{1},...,x_{p}).
[/mm]
Jetzt ist [mm] (\IZ/p^{2}\IZ)^{x} [/mm] = [mm] (\IZ/p^{2}\IZ)/(x) [/mm] und somit (x) ein Ideal, welches maximal sein sollte, von Kardinalität p.
Stimmt dies soweit? Ich bin mir nicht ganz sicher, da ich nicht sagen kann ob zwei nicht-einheiten wieder eine nicht-einheit ergeben.. (ich meine, das ist ja das Kriterium für den lokalen Ring.. ^^)
Zum anderen Problem, sollte dies Stimmen, kann ich doch einfach die Anzal Einheiten oder die Anzahl nicht-einheiten nehmen.. ein Homomorphismus/Isomorphismus bildet ja eine Einheit auf eine Einheit ab..
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mo 22.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Jetzt.. für p>2 prim, gilt [mm](\IZ/p^{k}\IZ)^{x} \cong C_{p^{k-1}(p-1)} \cong C_{\varphi(p^{k})}[/mm]
>
> In meinem Beispiel gilt also [mm](\IZ/p^{2}\IZ)^{x} \cong C_{p^{2}-p}[/mm]
Bitte schreibe [mm](\IZ/p^{2}\IZ)^{\times}[/mm]
> Somit bleiben [mm]p^{2}[/mm] - [mm](p^{2}[/mm] - p) = p Elemente übrig, die
> nicht Einheiten sind... ich nenne sie [mm]x_{1},...,x_{p}[/mm] und x
> = [mm](x_{1},...,x_{p}).[/mm]
Puh, ja, aber versuch mal die Nichteinheiten herauszukriegen - was das für Elemente sind ... sehen ganz einfach aus. ;)
> Jetzt ist [mm](\IZ/p^{2}\IZ)^{x}[/mm] = [mm](\IZ/p^{2}\IZ)/(x)[/mm] und somit
> (x) ein Ideal, welches maximal sein sollte, von
> Kardinalität p.
Wie kommst du auf die erste Gleichung? Das stimmt doch nicht wegen Mächtigkeit!
> Stimmt dies soweit? Ich bin mir nicht ganz sicher, da ich
> nicht sagen kann ob zwei nicht-einheiten wieder eine
> nicht-einheit ergeben.. (ich meine, das ist ja das
> Kriterium für den lokalen Ring.. ^^)
Was meinst du mit ergeben?
> Zum anderen Problem, sollte dies Stimmen, kann ich doch
> einfach die Anzal Einheiten oder die Anzahl nicht-einheiten
> nehmen.. ein Homomorphismus/Isomorphismus bildet ja eine
> Einheit auf eine Einheit ab..
Genau, das hatte ich auch im Sinn. Aber kann bestimmt noch andere finden.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Erstmal danke, SEcki, für deine Hilfe :)
> > Somit bleiben [mm]p^{2}[/mm] - [mm](p^{2}[/mm] - p) = p Elemente übrig, die
> > nicht Einheiten sind... ich nenne sie [mm]x_{1},...,x_{p}[/mm] und x
> > = [mm](x_{1},...,x_{p}).[/mm]
>
> Puh, ja, aber versuch mal die Nichteinheiten
> herauszukriegen - was das für Elemente sind ... sehen ganz
> einfach aus. ;)
>
Gut. Die Einheiten von [mm] \IZ/p^{2}\IZ [/mm] := R sind die Elemente in R, die teilerfremd zu [mm] p^{2} [/mm] sind. Das heisst ich suche für die nicht-einheiten alle y [mm] \in [/mm] R: [mm] ggT(y,p^{2}) \neq [/mm] 1. Das sind aber nur p und die Vielfachen davon, also
[mm] y_{i} [/mm] = [mm] i\cdot [/mm] p 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] p
1 ist nie eine Einheit, ich habe also mit [mm] y_{i}, [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] p, meine p nicht-einheiten gefunden.
Jetzt ist jede nicht-einheit in einem maximalen Ideal enthalten. Hier soll ich ja überprüfen, ob dieses Ideal eindeutig ist.
Wenn ich also mein Ideal mit I bezeichne, sage ich mal ist beispielsweise [mm] y_{1} \in [/mm] I. Dann ist aber [mm] ry_{1} \in [/mm] I [mm] \forall [/mm] r [mm] \in [/mm] R, somit ist [mm] y_{i} \in [/mm] I [mm] \forall [/mm] 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] p.
Also ist |I| = p von |(0)| verschieden.
Danke fürs korrigieren!
Liebe Grüsse, Amaro
> SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Mo 22.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]y_{i}[/mm] = [mm]i\cdot[/mm] p 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] p
Jupp.
> 1 ist nie eine Einheit, ich habe also mit [mm]y_{i},[/mm] 1 [mm]\le[/mm] i
> [mm]\le[/mm] p, meine p nicht-einheiten gefunden.
1? Was meinst du? Die Nichteinheiten sind korrekt.
> Jetzt ist jede nicht-einheit in einem maximalen Ideal
> enthalten. Hier soll ich ja überprüfen, ob dieses Ideal
> eindeutig ist.
Ja.
> Wenn ich also mein Ideal mit I bezeichne, sage ich mal ist
> beispielsweise [mm]y_{1} \in[/mm] I. Dann ist aber [mm]ry_{1} \in[/mm] I
> [mm]\forall[/mm] r [mm]\in[/mm] R, somit ist [mm]y_{i} \in[/mm] I [mm]\forall[/mm] 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm]
> p.
>
> Also ist |I| = p von |(0)| verschieden.
Ja, so ein Ideal gibt es.
Aber - wieso gibt es nur dieses eine I? Warum darefst du OBdA [m]y_1[/m] gewählt? Wie sieht dieses I denn aus?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Arcesius |
> > Also ist |I| = p von |(0)| verschieden.
>
> Ja, so ein Ideal gibt es.
>
> Aber - wieso gibt es nur dieses eine I? Warum darefst du
> OBdA [m]y_1[/m] gewählt? Wie sieht dieses I denn aus?
Nun, ich hoffe es richtig zu sehen wenn ich sage:
Ist i gerade, so ist das Ideal entweder nicht maximal oder es sind für i [mm] \cdot [/mm] p [mm] \in [/mm] I alle geraden vielfachen auch in I. Ist das der Fall, so folgt da p prim ist, ist auch (p-1)p [mm] \in [/mm] I. Dann folgt:
(p-1)p + ip [mm] \equiv [/mm] p(i+1) ungerade und somit sind wieder alle ungeraden in I. Das ist der selbe Fall, als wäre [mm] y_{1} \in [/mm] I.
Ist i ungerade, so ist 2ip gerade und ich bin im oberen Fall
Ist [mm] p^{2} [/mm] als einziges drin, ist das Ideal nicht maximal.
Meinste das reicht so oder ist es vollkommen falsch überlegt? ^^
> SEcki
Danke nochmals :)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Mo 22.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ist i gerade, so ist das Ideal entweder nicht maximal oder
> es sind für i [mm]\cdot[/mm] p [mm]\in[/mm] I alle geraden vielfachen auch
> in I.
Wieso? Da ist doch kein Begründung vorhanden!
> Ist das der Fall, so folgt da p prim ist, ist auch
> (p-1)p [mm]\in[/mm] I. Dann folgt:
> (p-1)p + ip [mm]\equiv[/mm] p(i+1) ungerade und somit sind wieder
> alle ungeraden in I.
Warum?
> Ist [mm]p^{2}[/mm] als einziges drin, ist das Ideal nicht maximal.
Das ist ja auch die 0 ...
> Meinste das reicht so oder ist es vollkommen falsch
> überlegt? ^^
Reichen tuts imo nicht.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Arcesius |
Danke SEcki, ich versuche das Morgen nochmals..
Aber nur rasch.. ich meine, die einzige Elemente die in dem Ideal sein können sind diese p nicht einheiten... Sagen wir mal, dass nicht alle geraden oder ungeraden Vielfachen drin sind.. dann ist das Ideal ja strikt kleiner als dieses mit p Elementen.. Was muss ich denn genau noch zeigen? Das leuchtet mir irgendwie nicht ganz ein.. :)
Auf jeden Fall gute Nacht und danke für deine Hilfe!
Grüsse, Amaro
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