Lokale Injektivität < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Phileas |
Hi,
ich habe gerade ein kleines Problem:
Wenn ich die lokale Injektivität einer Funktion zeigen möchte geht das ja soweit ich weiss über die Jacobimatrix (falls deren Determinante ungleich Null ist).
Nun ist aber die Jacobimatrix nicht immer quadratisch, was bedeutet es existiert nicht immer eine Determinante.
Gibt es einen zweiten Weg die lokale Injektivität zu zeigen?
Ein kurzer Tipp würde völlig reichen.
Vielen Dank!
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 So 01.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
Sei U offene Teilmenge von [mm] \IR^p [/mm] und [mm]f : U \to \IR^n[/mm] stetig differenzierbar.
Dann sind äquivalent gilt [mm]a) \Rightarrow b)[/mm]:
a) f ist eine Immersion, d.h. [mm]D_p f[/mm] ist für alle [mm]p \in U[/mm] injektiv.
b) f ist lokal injektiv.
edit: Die Rückrichtung ist leider falsch, wie ich leider erst jetzt gemerkt hab.
Eine Gegebeispiel wäre [mm]f:\IR \to \IR,\ x \mapsto x^3[/mm]. Ist global injektiv aber die Ableitung verschwindet für x = 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 So 01.03.2009 | | Autor: | Phileas |
D.h. ich müsste zeigen, das $ [mm] D_p [/mm] f $für alle $p [mm] \in [/mm] U$ injektiv ist um auf die lokale Injektivität schließen zu können.
Wie mache ich das? Mein Ansatz wäre wieder die Jacobimatrix, wenn diese jedoch wieder nicht quadratisch ist stehe ich wieder ohne Plan da.
Mit würde eine Beschreibung in 3 Stichworten reichen (falls es ein allgemeines Verfahren gibt), ich habe das Gefühl ich sehe grad den Wald vor lauter Bäumen nicht...
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 So 01.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
> D.h. ich müsste zeigen, das [mm]D_p f [/mm]für alle [mm]p \in U[/mm]
> injektiv ist um auf die lokale Injektivität schließen zu
> können.
>
> Wie mache ich das? Mein Ansatz wäre wieder die
> Jacobimatrix, wenn diese jedoch wieder nicht quadratisch
> ist stehe ich wieder ohne Plan da.
Die Matrix braucht nicht quadratisch zu sein, damit die dadurch dargestellte Abbildung injektiv ist.
Es muss ja bloß der Kern trivial sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 So 01.03.2009 | | Autor: | Phileas |
Perfekt, das hilft mir weiter, Danke.
Hab da ein paar kleine Schwächen in linearer Algebra  .
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