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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Verdeg |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Extrema der Funktionen
a) f(x; y) = x [mm] e^{-r²}
[/mm]
, mit r = x² + y², |
Wie genau soll ich jetzt hier anfangen? Leider verstehe ich das Thema nicht so ganz. Muss ich jetzt den Hessischen Satz benutzen und dann eine Determinante ausrechnen für die Extrempunkte?
Falls ja, wie geht das?
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Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier. Kurz gesagt: Gradient bestimmen, =0 setzen, Hessematrix berechnen, gefundene Werte einsetzen und auf Definitheit prüfen.
Etwas anderes: Ich würde vermuten, dass [mm]x^2 + y^2 = r^2[/mm] ist und nicht [mm] = r[/mm], oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Verdeg |
| Aufgabe | [mm] F(x,y)=xe^{-x²-y²}
[/mm]
Bestimmen Sie Extrema der Funktion |
Ich habe noch eine Frage dazu. Ich bin gerade dabei die partielle Ableitung zu bilden. Wie mache ich denn bei diesen Beispiel die Ableitung von fxy(x;y)=fyx(x;y)?
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Hallo Verdeg,
> [mm]F(x,y)=xe^{-x²-y²}[/mm]
> Bestimmen Sie Extrema der Funktion
> Ich habe noch eine Frage dazu. Ich bin gerade dabei die
> partielle Ableitung zu bilden. Wie mache ich denn bei
> diesen Beispiel die Ableitung von fxy(x;y)=fyx(x;y)?
Nun, es ist ja [mm] $f_x(x,y)=e^{-x^2-y^2}-2x^2e^{-x^2-y^2}=(1-2x^2)\cdot{}e^{-x^2-y^2}$
[/mm]
Wenn du das nun nach y ableitest, also [mm] $f_{xy}(x,y)$ [/mm] bildest, so ist doch der Vorfaktor [mm] $(1-2x^2)$ [/mm] von y unabhängig, den kannst du also bzgl. y als multiplikative Konstante betrachten (denke dir, dort stünde eine 5)
Die einzige Arbeit, die bleibt, ist die Ableitung von [mm] $e^{-x^2-y^2}$ [/mm] nach y ...
Wenn du's andersherum machst, läuft es ganz ähnlich.
Für Details poste deine Rechnung!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Verdeg |
Also behandel ich (1-2x²) als Konstante, wenn ich dann nach Y ableite müsste diese doch dann wegfallen, oder?
Das wäre dann so:
fxy(x;y)= [mm] e^{-x²-y²}*-2y [/mm] und
[mm] fyx(x;y)=e^{-x²-y²}*-2x
[/mm]
Und jetzt habe ich in einem Buch gelesen das diese Zahlen zusammen gefasst werden zu:
[mm] 4xy(e^{-x²-y²}
[/mm]
Allerdings verstehe ich nicht wie man dann auf 4xy kommt.
Falls ich mehr Fehler gemacht wurden, bitte korrigier mich :)
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Hallo nochmal,
> Also behandel ich (1-2x²) als Konstante, wenn ich dann nach
> Y ableite müsste diese doch dann wegfallen, oder? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, natürlich nicht, additive Konstante werden bei der Ableitung zu 0, aber multipikative doch nicht
Ich hatte doch gesagt, denke dir, dort stünde eine 5
Wenn du zB. [mm] $g(x)=5\cdot{}x^2$ [/mm] ableitest, so gibt das doch auch nicht 2x, sondern [mm] $5\cdot{}2x$
[/mm]
Ebenso hier:
[mm] $f_x(x,y)=\blue{(1-2x^2)}\cdot{}e^{-x^2-y^2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f_{xy}(x,y)=\blue{(1-2x^2)}\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}(-2y)$
[/mm]
Oder "schöner" [mm] $...=2y(2x^2-1)\cdot{}e^{-x^2-y^2}$
[/mm]
> Das wäre dann so:
> fxy(x;y)= [mm]e^{-x²-y²}*-2y[/mm] und
> [mm]fyx(x;y)=e^{-x²-y²}*-2x[/mm]
Nein, die Konstanten fallen nicht weg, die bleiben stehen!
Es ist [mm] $f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)$, [/mm] rechne nochmal nach!
> Und jetzt habe ich in einem Buch gelesen das diese Zahlen
> zusammen gefasst werden zu:
> [mm]4xy(e^{-x²-y²}[/mm]
> Allerdings verstehe ich nicht wie man dann auf 4xy kommt.
Ich auch nicht, das stimmt so nicht
>
> Falls ich mehr Fehler gemacht wurden, bitte korrigier mich
> :)
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Verdeg |
Es ist [mm] f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y) [/mm]
Wie soll ich das verstehen? Das zu meiner Ableitung von [mm] \Rightarrow f_{xy}(x,y)=\blue{(1-2x^2)}\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}(-2y) [/mm] nur noch ein [mm] f_{xy}(x,y)=\blue{(1-2x^2)}\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}(-2y) [/mm] *(-2x) kommt? und somit:
[mm] f_{xy}(x,y)=\blue{(1-2x^2)}\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}(4xy) [/mm]
aber das wäre ja fast wieder das gleiche was ich eben gedacht habe und es falsch war (> Und jetzt habe ich in einem Buch gelesen das diese Zahlen zusammen gefasst werden zu: [mm] 4xy(e^{-x²-y²}) [/mm] ......, [DU geantwortet] das stimmt so nicht)
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Hallo nochmal,
> Es ist [mm]f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)[/mm]
> Wie soll ich das verstehen?
Das besagt der Satz von Schwarz. Unter gewissen Voraussetzungen ist die Reihenfolge der partiellen Ableitungen egal.
> Das zu meiner Ableitung von
> [mm]\Rightarrow f_{xy}(x,y)=\blue{(1-2x^2)}\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}(-2y)[/mm]
> nur noch ein
> [mm]f_{xy}(x,y)=\blue{(1-2x^2)}\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}(-2y)[/mm]
> *(-2x) kommt? und somit:
> [mm]f_{xy}(x,y)=\blue{(1-2x^2)}\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}(4xy)[/mm]
Nein, das [mm] $f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)$ [/mm] besagt nur, dass es egal ist, ob du zuerst nach x, dann nach y oder umgekehrt zuerst nach y, dann nach x differenzierst
>
> aber das wäre ja fast wieder das gleiche was ich eben
> gedacht habe und es falsch war (> Und jetzt habe ich in
> einem Buch gelesen das diese Zahlen zusammen gefasst
> werden zu: [mm]4xy(e^{-x²-y²})[/mm] ......, [DU geantwortet] das
> stimmt so nicht)
Moment, Moment 
Nochmal zum Mitschreiben:
Wie wir auf [mm] $f_{xy}(x,y)=2y(2x^2-1)e^{-x^2-y^2}$ [/mm] kommen, ist klar, oder?
Das haben wir ja im Detail hergeleitet
Machen wir es andersherum:
[mm] $f(x,y)=xe^{-x^2-y^2}$
[/mm]
(Beachte, dass hier bei der nun folgenden Ableitung nach y das x multiplikative Konstante ist, also keine Produktregel notwendig)
Dann [mm] $f_y(x,y)=x\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}(-2y)=-2xye^{-x^2-y^2}$
[/mm]
Das leiten wir nach x ab (y als Konstante betrachten)
[mm] $f_{yx}(x,y)=-2y\cdot{}e^{-x^2-y^2}+(-2xy)\cdot{}e^{-x^2-y^2}\cdot{}(-2x)$ [/mm] nach Produktregel!
[mm] $=(-2y+4x^2y)e^{-x^2-y^2}=2y(2x^2-1)e^{-x^2-y^2}$
[/mm]
Also dasselbe, was wir auch für [mm] $f_{xy}(x,y)$ [/mm] raus hatten
LG
schachuzipus
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