Lokale Extrema < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gegeben durch
f(x) = [mm] \integral_{1}^{x}{(t^2 - 5t + 4)*e^t dt}.
[/mm]
Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f. |
Hi zusammen,
f´(x) = [mm] (x^2 [/mm] - 5x + 4) * [mm] e^x
[/mm]
Hier kann ich doch den Hauptsatz der Analysis anwenden, oder ?
f´´(x) = (2x - 5) * [mm] e^x [/mm] + [mm] (x^2 [/mm] - 5x + 4) * [mm] e^x
[/mm]
f´´(x) = (2x - 5) + [mm] (x^2 [/mm] - 5x + 4)
f´(x) = 0
[mm] (x^2 [/mm] - 5x + 4) * [mm] e^x [/mm] = 0 -> x = 4
Ich habe hier nur alles in der Klammer betrachtet, weil ich nicht weiß wie [mm] e^x [/mm] zu 0 werden kann.
f``(4) = (2 * 4 - 5) + [mm] (4^2 [/mm] - 5 * 4 + 4) = 3 + 0 = 3 > 0 -> lokales Minimum
Berechne ich den y-Wert zu x=4 mit dem folgenden Integral ?
[mm] \integral_{1}^{4}{(t^2-5t+4)*e^t dt}
[/mm]
Ist bei einer solchen Aufgabe nur das lokale Minimum und Maximum gefragt oder auch ein möglicher Wendepunkt?
Die Nullstellen sind hier doch recht schwierig zu berechnen. Gibt es weitere Extrema an die ich nicht gedacht habe ?
Danke für die Hilfe im voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Mo 03.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] gegeben durch
>
> f(x) = [mm]\integral_{1}^{x}{(t^2 - 5t + 4)*e^t dt}.[/mm]
>
> Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f.
> Hi zusammen,
>
> f´(x) = [mm](x^2[/mm] - 5x + 4) * [mm]e^x[/mm]
> Hier kann ich doch den Hauptsatz der Analysis anwenden,
> oder ?
Ja.
>
> f´´(x) = (2x - 5) * [mm]e^x[/mm] + [mm](x^2[/mm] - 5x + 4) * [mm]e^x[/mm]
Stimmt .
> f´´(x) = (2x - 5) + [mm](x^2[/mm] - 5x + 4)
Was ist das denn ?? Wo ist der Faktor [mm] e^x [/mm] geblieben ?
>
> f´(x) = 0
> [mm](x^2[/mm] - 5x + 4) * [mm]e^x[/mm] = 0 -> x = 4
> Ich habe hier nur alles in der Klammer betrachtet, weil
> ich nicht weiß wie [mm]e^x[/mm] zu 0 werden kann.
1. Es ist stets [mm] e^x \ne [/mm] 0.
2. Die Gleichung [mm] x^2-5x+4=0 [/mm] hat zwei Lösungen !!!
>
> f''(4) = (2 * 4 - 5) + [mm](4^2[/mm] - 5 * 4 + 4) = 3 + 0 = 3
deine Berechnung von f''(4) ist falsch !
> 0
> -> lokales Minimum
>
> Berechne ich den y-Wert zu x=4 mit dem folgenden Integral
> ?
> [mm]\integral_{1}^{4}{(t^2-5t+4)*e^t dt}[/mm]
ja.
>
> Ist bei einer solchen Aufgabe nur das lokale Minimum und
> Maximum gefragt oder auch ein möglicher Wendepunkt?
In der Aufgabenstellung steht nix von Wendepunkten.
>
> Die Nullstellen sind hier doch recht schwierig zu
> berechnen.
sind denn Nullstellen verlangt ?
Was ist denn f(1) ?
Gibt es weitere Extrema an die ich nicht gedacht
S.o.
FRED
> habe ?
>
> Danke für die Hilfe im voraus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
bei f´´(x) habe ich den faktor [mm] e^x [/mm] gekürzt. Dumme Idee, stimmt !
Also,
f´´(x) = [mm] (2x-5)*e^x [/mm] + [mm] (x^2-5x+4)*e^x
[/mm]
[mm] x^2-5x+4 [/mm] = 0 -> [mm] x_1=4 [/mm] & [mm] x_2=1
[/mm]
f´´(4) = [mm] (2*4-5)*e^4 [/mm] + [mm] (4^2-5*4+4)*e^4 [/mm] = [mm] 3*e^4 [/mm] + [mm] 0*e^4 [/mm] = [mm] 3e^4 [/mm] > 0 lokales Minimum
f´´(1) = (2*1-5)*e + [mm] (1^2-5*1+4)*e [/mm] = -3e + 0e = -3e < 0 lokales Maximum
Also muss ich ja für [mm] x_2=1 [/mm] den y-Wert mit dem Integral
[mm] \integral_{1}^{1}{(t^2-5t+4)*e^t dt} [/mm] berechnen, oder ?
Da ist doch dann obere minus untere Grenze = 0, oder nicht ?
Ich habe gefragt ob es weitere Extrema gibt, weil ich mir nicht sicher bin ob Wendepunkte oder Nullstellen usw. zu den lokalen Extrema gehören oder ob ich diese nur berechnen muss wenn dies ausdrücklich gefragt ist.
Ich habe es jetzt mehrfach gegoogelt und es werden immer nur Minimum, Maximum & Sattelpunkte gennant.
Für Sattelpunkte muss ich doch f´´(x) = 0 setzen und wenn für die errechneten x-Werte f´´´(x) [mm] \not= [/mm] 0 ist, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt. Stimmt das ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Mo 03.03.2014 | | Autor: | chrisno |
> ...
> Also muss ich ja für [mm]x_2=1[/mm] den y-Wert mit dem Integral
> [mm]\integral_{1}^{1}{(t^2-5t+4)*e^t dt}[/mm] berechnen, oder ?
> Da ist doch dann obere minus untere Grenze = 0, oder nicht
> ?
ja
>
> Ich habe gefragt ob es weitere Extrema gibt, weil ich mir
> nicht sicher bin ob Wendepunkte oder Nullstellen usw. zu
> den lokalen Extrema gehören oder ob ich diese nur
> berechnen muss wenn dies ausdrücklich gefragt ist.
> Ich habe es jetzt mehrfach gegoogelt und es werden immer
> nur Minimum, Maximum & Sattelpunkte gennant.
Das kommt schon auf den Zusammenhang an.
Kann ein Wendepunkt ein Extremum sein?
>
> Für Sattelpunkte muss ich doch f´´(x) = 0 setzen und
> wenn für die errechneten x-Werte f´´´(x) [mm]\not=[/mm] 0 ist,
> dann handelt es sich um einen Sattelpunkt. Stimmt das ?
Nein.
Was ist ein Sattelpunkt?
Was ist ein Wendepunkt?
Generell: hast Du für jede Art dieser Punkte eine Vorstellung, wie die Funktion in einer Umgebung verläuft? Das könnte Dir etliche Fragen und Verwirrung sparen.
|
|
|
|
