Lognormalverteilt < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Mi 17.12.2008 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | | Eine nicht-negative Zufallsvariable X heißt lognormalverteitl mit den Parametern a und [mm] b^2 [/mm] wenn ln(X) normalverteilt mit den Parametern a und [mm] b^2 [/mm] ist. Bestimmen sie die Dichte von X. |
Hallo zusammen,
ich habe leider überhaupt keine Ahnung wie ich da rangehen sollte!
Vielleicht kann mir jemand mal einen Tipp geben!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Mi 17.12.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Tina,
bestimme erst die Verteilungsfunktion F und dann die Dichte f=F'.
Ansatz: Sei x>0. Dann ist [mm] $F(x)=P(X\le x)=P(\ln(X)\le\ln(x))=\dots$
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mi 17.12.2008 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | | Eine nicht-negative Zufallsvariable X heißt lognormalverteitl mit den Parametern a und wenn ln(X) normalverteilt mit den Parametern a und ist. Bestimmen sie die Dichte von X. |
Ich hab das jetzt mal so gemacht wie luis das gesagt hat:
F(x) = P(X <= x) = P(ln(X) <= ln(x))
= [mm] \Phi [/mm] ((ln(x) - a ) / b
wobei [mm] \Phi [/mm] die Verteilungsfunktion der standard-normalverteiltung ist.
= [mm] \integral_{-\infty}^{x} 1/\wurzel{2\Pi} [/mm] * e^((-ln(y) + a [mm] )^2 [/mm] / [mm] b)\, [/mm] dx
Es gilt ja [mm] F_X [/mm] ' = [mm] f_X [/mm] also müsste doch das hier (der Integrand) die Dichte sein. Aber das stimmt nicht.
Wo ist denn da mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Blech |
> Eine nicht-negative Zufallsvariable X heißt
> lognormalverteitl mit den Parametern a und wenn ln(X)
> normalverteilt mit den Parametern a und ist. Bestimmen
> sie die Dichte von X.
> Ich hab das jetzt mal so gemacht wie luis das gesagt hat:
>
> F(x) = P(X <= x) = P(ln(X) <= ln(x))
>
> = [mm]\Phi[/mm] ((ln(x) - a ) / b
>
> Wo ist denn da mein Fehler?
Wenn b die Varianz ist, solltest Du durch [mm] $\sqrt{b}$ [/mm] teilen. Dann kommst Du auf:
[mm] $f_X(x)=F_X'(x)=\frac{d}{dx}\Phi\left(\frac{\ln(x) - a }{\sqrt{b}}\right)$
[/mm]
und jetzt leite das mal sauber nach x ab.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mi 17.12.2008 | | Autor: | tinakru |
Ja ich mach das mal:
F(x) = [mm] \Phi [/mm] ( (ln(x) -a ) / [mm] \wurzel{b} [/mm] )
= [mm] \integral_{-\infty}^{x} [/mm] 1/ [mm] \wurzel{2*\Pi} [/mm] * e^-(ln(x) -a ) / [mm] \wurzel{b} [/mm] )
[mm] \, [/mm] dx
Das zu integrieren brauch ich natürlich nichtt mehr, da ja F'(x) = [mm] f_X [/mm] ist
Aber das stimmt nicht! Das mit der Wurzel war nicht der Fehler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Blech |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Richtig, ich seh gerade, daß Dein Integral schon nicht stimmt:
$\varphi(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}$
Also ist $\Phi(g(x))=\int_{-\infty}^{g(x)} \varphi(y)\ dy$
nicht $\Phi(g(x))=\int_{-\infty}^x \varphi(g(y))\ dy$,
wie Du es hast.
Dementsprechend mußt Du bei der Ableitung des Integrals nachdifferenzieren.
Oder, direkter:
$\frac{d}{dx}\Phi(g(x))=\varphi(g(x))g'(x)$
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mi 17.12.2008 | | Autor: | luis52 |
@Stefan: Es sieht so aus, als waere b die Standardabweichung, nicht [mm] $\sqrt{b}$.
[/mm]
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mi 17.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> Eine nicht-negative Zufallsvariable X heißt
> lognormalverteitl mit den Parametern a und wenn ln(X)
> normalverteilt mit den Parametern a und ist. Bestimmen
> sie die Dichte von X.
> Ich hab das jetzt mal so gemacht wie luis das gesagt hat:
>
> F(x) = P(X <= x) = P(ln(X) <= ln(x))
>
> = [mm]\Phi[/mm] ((ln(x) - a ) / b
>
> wobei [mm]\Phi[/mm] die Verteilungsfunktion der
> standard-normalverteiltung ist.
>
Es gilt also
[mm] $F(x)=\Phi\left(\dfrac{\ln(x)-a}{b}\right)$.
[/mm]
(Ueber den Rest wollen wir mal den Mantel der Naechstenliebe decken ...  )
Nach alten Bauernregeln der Differentialrechnung ergibt sich
[mm] $f(x)=F'(x)=\varphi\left(\dfrac{\ln(x)-a}{b}\right)\frac{1}{bx}$
[/mm]
Dabei ist
[mm] $\Phi'(z)=\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp[-z^2/2]$
[/mm]
die Dichte der Standardnormalverteilung.
vg Luis
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