Logik Stufe2:Löwenheim&Skolem < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass der Satz von Löwenheim und Skolem in der Logik zweiter Stufe nicht gilt. |
Hallo zusammen, seit ca. 3 Stunden versuche ich den Beweis ausführlich zu führen, aber es hackt an einer Stelle. Der Satz von Löwenheim und Skolem lautet wie folgt:
Jede höchstens abzählbare Menge von Formeln, die erfüllbar ist, ist erfüllbar über einer höchstens abzählbaren Menge. (d.h. sie besitzt ein Modell, dessen Träger höchstens abzählbar ist.)
Beweisidee: Irgendwie logisch: Wir konstruieren uns einen Satz [mm] \varphi [/mm] ,der nur dann erfüllbar ist, wenn der Träger überabzählbar ist.
Um das zu machen, konstruieren wir einen Satz [mm]\alpha[/mm], der genau dann erfüllbar ist, wenn der Träger höchstens abzählbar ist und setzen dann [mm]\varphi =\neg \alpha [/mm].
Zur Konstruktion von alpha:
Es gilt, dass eine Menge A genau dann höchstens abzählbar ist, wenn es auf A eine Ordnungsrelation gibt, bei der jedes Element nur endlich viele Vorgänger hat.
Mein Ansatz: Sei Y eine zweistellige Relationsvariable.
[mm] \beta = \exists Y(\forall x \neg Yxx \wedge \forall x \forall y \forall z((Yxy \wedge Yyz) \to Yxz) \wedge \forall x \forall y(Yxy \vee x \equiv y \vee Yyx)[/mm]
[mm] \beta [/mm] definiert mir, dass eine Ordnungsrelation existieren muss. Jetzt brauche ich nur noch einen Satz, der mir sagt, dass jedes Element nur endlich viele Vorgänger hat.
Hier komme ich leider nicht weiter.
Vielen vielen Dank für eure Hilfe, eure Esper
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 11.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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