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| Aufgabe | Es gelten die Funktionalgleichungen
1) ln(xy) = ln(x) + ln(y) für alle x, y [mm] \in (0,\infty)
[/mm]
2) [mm] ln(x^r) [/mm] = r ln(x) für alle x [mm] \in (0,\infty), [/mm] r [mm] \in\IR. [/mm] |
Also ich soll die beiden bewesien. Die nr. 1 hab ich schon das war eigentlich einfach. Doch bei 2. komme ich nicht drauf. ich weis auch nicht. kann mir jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Do 25.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Es gelten die Funktionalgleichungen
>
> 1) ln(xy) = ln(x) + ln(y) für alle x, y [mm]\in (0,\infty)[/mm]
>
> 2) [mm]ln(x^r)[/mm] = r ln(x) für alle x [mm]\in (0,\infty),[/mm] r [mm]\in\IR.[/mm]
> Also ich soll die beiden bewesien. Die nr. 1 hab ich schon
> das war eigentlich einfach.
die 2. Teilaufgabe lässt sich vielleicht auf den 1. Fall zurückführen, wenn wir bedenken, dass
[mm] ln(x^r)=ln(\underbrace{x*x*...*x}_{\text{r-mal}}).
[/mm]
Was mich ein wenig stört, ist die Tatsache, dass [mm] r\in\IR [/mm] - das macht's natürlich schwieriger.
Aber vielleicht kannst du damit was anfangen.
Gruß barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Do 25.06.2009 | | Autor: | trixi28788 |
Ja ich weis was du meinst. an die Idee hab ich auch schon gedacht doch hat mich garnicht weitergebracht. nur noch mehr verwirrt. gilt den diese aussage überhaupt? kann jez ne dumme frage sein aber ich habe ddiese gleichung vorher nie gesehen bild ich mir ein. die erste jedoch schon
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Also ich denk schon, dass man die Aufgabe b mit der Teilaufgabe a lösen kann.
Vielleicht sollte man eine Fallunterscheidung machen:
r > 0, r = 0 (klar), r < 0.
Bei r > 0 gilt dann zum Beispiel für r = 3:
[mm] ln(r^{3}) [/mm] = [mm] ln(r^{2} [/mm] * r) = ln(r*r) + ln(r) = ln(r) + ln(r) + ln(r) = 3 ln(r)
Bei r < 0 gilt für r = -3:
[mm] ln(\bruch{1}{r^{3}}) [/mm] = [mm] ln(\bruch{1}{r^{2}}*\bruch{1}{r}) [/mm] = [mm] ln(\bruch{1}{r^{2}}) [/mm] + [mm] ln(\bruch{1}{r}) [/mm] = ... = 3 ln [mm] \bruch{1}{r} [/mm] = 3*ln(1) - 3 ln(r) = -3 ln(r)
Ist halt nur die Frage, ob du die letzte Regel verwenden darfst ...
Und dann müsste man das natürlich noch allgemein zeigen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Do 25.06.2009 | | Autor: | trixi28788 |
so ähnlich hatte ich es auch. danke für deine mühe. ich schätze schon das man diese regel anwenden kann. doch mein problem war es das allgemein zu zeigen. da komme ich immer auf nen wiederspruch und irgendwie blick ich da nicht durch. aber ich kann das ja jez nicht einfach so machen. nur weil das für ein beispiel gilt muss das ja nicht immer gelten. ich hab gedacht das man das vllt noch mit der umkehrfunktion exp beweisen kann aber damit komme ich auch nicht weiter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Do 25.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
Fallunterscheidung würde ich auch sagen. Du hast dir aber gerade die schönen Beispiele herausgesucht  Was macht man denn zum Beispiel bei
[mm] ln(x^{2,023})?
[/mm]
Gruß barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Do 25.06.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du könntest beide Seiten exponieren und dann mit Potenzgesetzen arbeiten.
[mm] ln(x^r)=r*ln(x) \gdw e^{ln(x^r)}=e^{r*ln(x)} \gdw e^{ln(x^r)}=(e^{ln(x)})^r \gdw x^r=x^r, [/mm] was offensichtlich stimmt. Und hier ist man nicht nur auf ganze oder rationale r beschränkt.
Wenn du das so nicht machen darfst/sollst/willst kannst du auch zeigen, dass:
1. die Funktionen [mm] f(x)=ln(x^r) [/mm] und g(x)=r*ln(x) die selbe Ableitung haben
und
2. f(a)=g(a) für ein a im Definitionsbereich ist. Am einfachsten wäre a=1.
Denn wenn Funktionen die selbe Ableitung haben und an einer Stelle übereinstimmen, so sind sie identisch.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Do 25.06.2009 | | Autor: | trixi28788 |
das mit der ableitung is ne gute Idee das versuch ich mal. wenn jmd jedoch noch ne Idde hat wär ich darüber sehr dankbar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 25.06.2009 | | Autor: | trixi28788 |
also ich hab damit jez angefangen. da is mir eingefallen: ich darf das mit ableitung garnicht machen, da wir das noch nicht bewiesen haben. hat jemand ne andere Idee?
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Hallo trixi!
Siehe mal hier.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Do 25.06.2009 | | Autor: | trixi28788 |
ohh danke, danke.
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