Logarithmus - Gleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Nach der Gleichung [mm] (*)log_{b}(y) [/mm] = [mm] \bruch{log_{a}(y)}{log_{a}(b)} [/mm] kann die Umrechnung von (bekannten) Logarithmen zur Basis a in Logarithmen zur Basis b erfolgen (y [mm] \in \IR*_{+} [/mm] und a, b [mm] \in \IR*_{+} \setminus \{1 \}
[/mm]
a) Begründen Sie zunächst warum der Quotient auf der rechten Seite dieser Gleichung stets definiert ist; d. h., begründen Sie , dass [mm] log_{a}(b)\not=0 [/mm] sein muss.
b) Beweisen Sie die Gleichung (*).
c) Wie vereinfacht sich Gleichung (*), wenn y = a ist?
d) Mit a 0 10 lautet (*): [mm] log_{b}(y) [/mm] = [mm] \bruch{lg(y)}{lg(b)}, [/mm] wobei die dekadischen Logarithmen lg(y) und lg(b) einer Logarithmentafel bzw. einem Taschenrechner entnommen werden können.
Berechnen Sie auf diesem Weg [mm] log_{31}(172,6) [/mm] |
Hy!
Ich stehe bei dieser Aufgabe ziemlich auf dem Schlauch..
Hier meine ersten Versuche:
zu a):
[mm] log_{a}(b) [/mm] wäre theoretisch nur dann gleich 0, wenn b=1 wäre.
Dies ist durch die Voraussetzung aber nicht möglich.
zu b):
Die Beziehung y=b* müsste gleichbedeutend sein mit: x= [mm] log_{b}(y).
[/mm]
Ergibt dann:
[mm] log_{a}(y) [/mm] = [mm] x^{*}log_{a}(b) [/mm] = [mm] log_{b}(y)^{*}log_{a}(b)\gdw log_{b}(y) [/mm] = [mm] \bruch{log_{a}(y)}{log_{a}(b)}
[/mm]
Weiter komme ich nicht.
Danke für Eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
1.
Ja genau, der Definitionsbereich stellt sicher, dass der Nenner des Bruchs nie Null wird.
2.
Wir wissen, dass aus [mm] a^{b} [/mm] = [mm] a^{b'} [/mm] automatisch b = b' folgt (Kennst du den Begriff "injektiv"? Wenn nicht, dann sieht man am Verlauf des Graphen, dass es zu jeder Funktionswert nur einmal vorkommt.)
Also rechnen wir:
[mm] e^{\ln b * log_{b} y} [/mm] = [mm] (e^{\ln b})^{log_{b} y} [/mm] (Potenzgesetz)
= [mm] b^{log_{b} y} (e^{\ln b} [/mm] ergibt gerade b)
= y (dasselbe mit Basis b)
= [mm] e^{\ln y} [/mm]
3.
Einsetzen (einfach mal ausprobieren!!!) ergibt:
[mm] log_{b} [/mm] a = [mm] \bruch{log_{a} a}{log_{a} b} [/mm] = [mm] \bruch{1}{log_{a} b}
[/mm]
4.
Einfach nur ausrechnen:
[mm] \lg [/mm] 172,6 / [mm] \lg [/mm] 31 = ??
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Sa 03.06.2006 | | Autor: | der.mister |
Danke Dir!!!!
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