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| Aufgabe | Ausdrücke vereinfachen und Definitionsbereich angeben:
a) [mm] \wurzel{e^{3ln4}} [/mm] ; [mm] \bruch{\wurzel[x]{e^{(x+2)^2} - 4}}{e^x}
[/mm]
b) [mm] log_2 (\wurzel{e}) [/mm] ; [mm] \bruch{1}{2}log_2(4e^2) [/mm] - [mm] (ln2)^{-1}
[/mm]
c) [mm] ln(x^{\bruch{2}{3}}) [/mm] - [mm] ln(\wurzel[3]{x^{-4}} [/mm] ; ln(2x)+ ln(3x) - [mm] ln(x^2)-ln(6)
[/mm]
d) [mm] log_{10}(10x^{10}) [/mm] ; [mm] log_3(x^2-4) [/mm] - [mm] log_3(3(x-2)) [/mm] |
a)
[mm] \wurzel{e^{3ln4}} [/mm] = [mm] e^{{3ln4}}^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] e^{\bruch{3ln4}{2}} [/mm] = 3*ln4e
[mm] \bruch{\wurzel[x]{e^{(x+2)^2} - 4}}{e^x} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel[x]{e^{(x^2 +2x)} }}{e^x} [/mm]
wie kann ich hier den zähler weiter vereinfachen?
[mm] \wurzel[x]{e^{(x^2 +2x)} } [/mm] = ?
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Hallo,
> Ausdrücke vereinfachen und Definitionsbereich angeben:
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> a) [mm]\wurzel{e^{3ln4}}[/mm] ; [mm]\bruch{\wurzel[x]{e^{(x+2)^2} - 4}}{e^x}[/mm]
>
> b) [mm]log_2 (\wurzel{e})[/mm] ; [mm]\bruch{1}{2}log_2(4e^2)[/mm] -
> [mm](ln2)^{-1}[/mm]
>
> c) [mm]ln(x^{\bruch{2}{3}})[/mm] - [mm]ln(\wurzel[3]{x^{-4}}[/mm] ; ln(2x)+
> ln(3x) - [mm]ln(x^2)-ln(6)[/mm]
>
> d) [mm]log_{10}(10x^{10})[/mm] ; [mm]log_3(x^2-4)[/mm] - [mm]log_3(3(x-2))[/mm]
>
> a)
>
> [mm]\wurzel{e^{3ln4}}[/mm] = [mm]e^{{3ln4}}^{\bruch{1}{2}}[/mm] =
> [mm]e^{\bruch{3ln4}{2}}[/mm] = 3*ln4e
>
>
> [mm]\bruch{\wurzel[x]{e^{(x+2)^2} - 4}}{e^x}[/mm] =
> [mm]\bruch{\wurzel[x]{e^{(x^2 +2x)} }}{e^x}[/mm]
>
>
> wie kann ich hier den zähler weiter vereinfachen?
> [mm]\wurzel[x]{e^{(x^2 +2x)} }[/mm] = ?
Es ist
[mm] a^{1/x}=\wurzel[x]{a} [/mm] für a>0 und [mm] x\in\IN [/mm] auf jeden Fall definiert (ob man heutzutage das Wurzelzeichen auch für mit reellen Wurzelexponenten verwendet, wüsste ich jetzt nicht).
Auf jeden Fall muss ja für x laut Aufgabe das Wurzelzeichen definiert sein und somit darf man auch das betreffende Potenzgesetz anwenden.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Sa 18.01.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ausdrücke vereinfachen und Definitionsbereich angeben:
>
> a) [mm]\wurzel{e^{3ln4}}[/mm] ; [mm]\bruch{\wurzel[x]{e^{(x+2)^2} - 4}}{e^x}[/mm]
>
> b) [mm]log_2 (\wurzel{e})[/mm] ; [mm]\bruch{1}{2}log_2(4e^2)[/mm] -
> [mm](ln2)^{-1}[/mm]
Hier brauchst du die  Logarithmusgesetze
[mm] log_{2}(\sqrt{e})=\log_{2}^\left(e^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\cdot\log_{2}(e)
[/mm]
[mm] \frac{1}{2}\cdot\log_{2}(4e^{2})=\frac{1}{2}\cdot\log_{2}((2e)^{2})=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\log_{2}(2e)=\log_{2}(2)+\log_{2}(e)=1+\log_{2}(e)
[/mm]
>
> c) [mm]ln(x^{\bruch{2}{3}})[/mm] - [mm]ln(\wurzel[3]{x^{-4}}[/mm] ; ln(2x)+
> ln(3x) - [mm]ln(x^2)-ln(6)[/mm]
Auch hier helfen die oben genannten Gesetze
>
> d) [mm]log_{10}(10x^{10})[/mm] ; [mm]log_3(x^2-4)[/mm] - [mm]log_3(3(x-2))[/mm]
[mm] \log_{3}(x^{2}-4)-\log_{3}(3(x-2))
[/mm]
[mm] =\log_{3}\left(\frac{x^{2}-4}{3(x-2)}\right)
[/mm]
[mm] =\log_{3}\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)}\right)
[/mm]
[mm] =\log_{3}\left(3^{-1}\cdot(x+2)\right)
[/mm]
[mm] =\log_{3}(3^{-1})+\log_{3}(x+2)
[/mm]
[mm] =(-1)\cdot\log_{3}(3)+\log_{3}(x+2)
[/mm]
[mm] =-1+\log_{3}(x+2)
[/mm]
Die anderen Aufgaben versuche damit mal selber.
Marius
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als ich habe bei a)
[mm] \wurzel{e^{3ln4}} [/mm] = [mm] e^{\bruch{3*ln4}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{3*ln4}{2} [/mm] * e
das ist aber falsch. wo ist der fehler ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Sa 18.01.2014 | | Autor: | M.Rex |
> als ich habe bei a)
>
> [mm]\wurzel{e^{3ln4}}[/mm] = [mm]e^{\bruch{3*ln4}{2}}[/mm] = [mm]\bruch{3*ln4}{2}[/mm]
> * e
>
> das ist aber falsch. wo ist der fehler ?
Überdenke doch bitte mal das letzte Gleichheitszeichen, das sitmmt vorne und hinten nicht.
[mm] \sqrt{e^{(3\cdot\ln(4))}}
[/mm]
[mm] =e^{\frac{3\cdot\ln(4)}{2}}
[/mm]
[mm] =e^{\ln(4)\cdot\frac{3}{2}}
[/mm]
[mm] =\left(e^{ln(4)}\right)^{\frac{3}{2}}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Sa 18.01.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
habe meinen fehler erkannt
[mm]e^{\bruch{3*ln4}{2}}[/mm]
das ist bereits die lösung. man kann es nicht weiter vereinfachen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Sa 18.01.2014 | | Autor: | M.Rex |
> habe meinen fehler erkannt
>
>
> [mm]e^{\bruch{3*ln4}{2}}[/mm]
>
> das ist bereits die lösung. man kann es nicht weiter
> vereinfachen
Oh doch, schau mal meine Antwort dazu an. Das Ergebnis ist hier eine natürliche Zahl.
Marius
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ok ich habe jetzt versucht den zweiten teil von a zu lösen
[mm] \bruch{\wurzel[x]{e^{(x+2)^2} - 4}}{e^x} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel[x]{e^{x^2+2x} }}{e^x} [/mm] = [mm] \bruch{e^{\bruch{x^2+2x}{x}}}{e^x} [/mm] = [mm] \bruch{e^{x+2}}{e^x} [/mm] = [mm] e^2
[/mm]
wäre das so richrtig?
ist echt ne qual hier mit dem editor zu arbeiten
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Sa 18.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> ok ich habe jetzt versucht den zweiten teil von a zu
> lösen
>
>
> [mm]\bruch{\wurzel[x]{e^{(x+2)^2} - 4}}{e^x}[/mm] =
> [mm]\bruch{\wurzel[x]{e^{x^2+2x} }}{e^x}[/mm] =
> [mm]\bruch{e^{\bruch{x^2+2x}{x}}}{e^x}[/mm] = [mm]\bruch{e^{x+2}}{e^x}[/mm] =
> [mm]e^2[/mm]
>
> wäre das so richrtig?
Ja, aber nur wenn im Zähler unter der Wurzel [mm] e^{(x+2)^2 - 4} [/mm] steht.
Steht da aber [mm] $e^{(x+2)^2} [/mm] - 4$, so stimmts nicht.
FRED
>
> ist echt ne qual hier mit dem editor zu arbeiten
>
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ok danke leute
ich habe jetztz versucht b zu lösen:
[mm] log_2 (\wurzel{e^x}) [/mm] = [mm] log_2(e^{\bruch{x}{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{x}{2}* log_2(e)
[/mm]
der zweite teil:
[mm] \bruch{1}{2}log_2(4e^2) [/mm] - [mm] (ln2)^{-1} [/mm]
[mm] log_2(4e^2) [/mm] = [mm] \bruch{ln(4e^2}{ln(2)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\bruch{ln(4e^2)}{ln(2)} [/mm] - [mm] (ln2)^{-1} [/mm] =
[mm] \bruch{ln(4e)}{ln(2)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{ln(2)} [/mm] = [mm] \bruch{ln(4e) -1}{ln(2)}
[/mm]
ist das richtig?
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Hallo,
> ok danke leute
>
> ich habe jetztz versucht b zu lösen:
>
> [mm]log_2 (\wurzel{e^x})[/mm] = [mm]log_2(e^{\bruch{x}{2}})[/mm] =
> [mm]\bruch{x}{2}* log_2(e)[/mm]
>
>
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> der zweite teil:
>
> [mm]\bruch{1}{2}log_2(4e^2)[/mm] - [mm](ln2)^{-1}[/mm]
>
> [mm]log_2(4e^2)[/mm] = [mm]\bruch{ln(4e^2}{ln(2)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}\bruch{ln(4e^2)}{ln(2)}[/mm] - [mm](ln2)^{-1}[/mm] =
>
> [mm]\bruch{ln(4e)}{ln(2)}[/mm] - [mm]\bruch{1}{ln(2)}[/mm] = [mm]\bruch{ln(4e) -1}{ln(2)}[/mm]
>
Der letzte Schritt ist falsch. Es ist
[mm] ln(4e^2)=ln(4)+ln(e^2)=2*ln(2)+2
[/mm]
Das hast du übersehen (bzw. fälschlicherweise das Quadrat auch auf die 4 angewendet).
Gruß, Diophant
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aufg c)
[mm] ln(x^{\bruch{2}{3}}) [/mm] - [mm] ln(\wurzel[3]{x^{-4}}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{3}ln(x) [/mm] + [mm] \bruch{4}{3}ln(x)
[/mm]
= [mm] \bruch{6}{3}ln(x^2) [/mm]
= 4ln(x)
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Sa 18.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> aufg c)
>
> [mm]ln(x^{\bruch{2}{3}})[/mm] - [mm]ln(\wurzel[3]{x^{-4}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2}{3}ln(x)[/mm] + [mm]\bruch{4}{3}ln(x)[/mm]
>
> = [mm]\bruch{6}{3}ln(x^2)[/mm]
>
> = 4ln(x)
>
> richtig?
Ja
FRED
>
>
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ne das muss falsch sein. ich habe eben nachgerechnet
[mm] ln(x^{\bruch{2}{3}}) [/mm] - [mm] ln(\wurzel[3]{x^{-4}}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{3}ln(x) [/mm] + [mm] \bruch{4}{3}ln(x)
[/mm]
bis hierhin passt das. wie fasst man das hier weiter?
ln(x)+ln(x)= [mm] ln(x^2)
[/mm]
aber wenn vor ln ein faktor steht, wie fasst man das dann zusammen?
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Hallo agentur für arbeit,
> ne das muss falsch sein. ich habe eben nachgerechnet
Kann nie schaden.
> [mm]ln(x^{\bruch{2}{3}})[/mm] - [mm]ln(\wurzel[3]{x^{-4}}[/mm]
Das ist zwar die Aufgabe (siehe erster Post), aber nicht das gleiche wie vorher. Fred hatte da also Recht, und Du jetzt auch. Es ist immer gut, wenn alle an der gleichen Aufgabe arbeiten...
> = [mm]\bruch{2}{3}ln(x)[/mm] + [mm]\bruch{4}{3}ln(x)[/mm]
>
> bis hierhin passt das. wie fasst man das hier weiter?
Jo, passt. Jetzt Distributivgesetz ac+bc=(a+b)c.
Dann muss man noch rauskriegen, was wohl [mm] \tfrac{2}{3}+\tfrac{4}{3} [/mm] ist. Du schaffst das.
Grüße
reverend
> ln(x)+ln(x)= [mm]ln(x^2)[/mm]
>
> aber wenn vor ln ein faktor steht, wie fasst man das dann
> zusammen?
So konzentriert wie möglich. 
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ahh sorry ich habe mich wohl verrechnet
den zweiten teil der aufgabe habe so gelöst:
ln(2x) + ln(3x) - [mm] ln(x^2) [/mm] - ln(6) = [mm] ln(6x^2) [/mm] - [mm] 2*ln(\bruch{x}{6} [/mm] = 2*ln(6x) - [mm] 2ln(\bruch{x}{6} [/mm] = 0
= 0 weil der faktor vor ln 0 ist
kann man das so lassen oder muss man das anders vereinfachen?
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> ahh sorry ich habe mich wohl verrechnet
>
> den zweiten teil der aufgabe habe so gelöst:
Hallo,
wenn Du noch verraten würdest, um welche Aufgabe es geht...
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> ln(2x) + ln(3x) - [mm]ln(x^2)[/mm] - ln(6) = [mm]ln(6x^2)[/mm] -
> [mm]2*ln(\bruch{x}{6}[/mm]
Die hier behauptete Gleichheit jedenfalls stimmt nicht.
Bedenke:
ln(2x) + ln(3x) - [mm]ln(x^2)[/mm] - ln(6)
=ln(2x) + ln(3x) - ([mm]ln(x^2)[/mm] +ln(6))
Ebensowenig stimmt, daß
> [mm]ln(6x^2)[/mm] - [mm]2*ln(\bruch{x}{6}[/mm] = 2*ln(6x) - [mm]2ln(\bruch{x}{6}[/mm] ,
denn es ist
[mm] ln(6x^2) [/mm] nicht dasselbe wie [mm] ln((6x)^2)=2ln(6x),
[/mm]
und einen Faktor, der =0 ist, sehe ich schon gar nicht.
LG Angela
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es geht um aufg c)
ln(2x)+ ln(3x) - [mm] ln(x^2)-ln(6)
[/mm]
= ln(2x)+ ln(3x) - [mm] (ln(x^2)+ln(6)) [/mm] = [mm] ln6x^2-ln(6x^2) [/mm] = ln(1)
kann ich die aussage auch so zusammenfassen:
ln(2x)+ ln(3x) - [mm] ln(x^2)-ln(6) [/mm] = [mm] ln(6x^2)-2ln(x)-ln(6)
[/mm]
kann man hier 2*ln(x)-ln(6) vereinfachen?
2*ln(x)-ln(6) = [mm] 2ln(\bruch{x}{6})?
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Sa 18.01.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
die frage hat sich erledigt
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> > = [mm]\bruch{2}{3}ln(x)[/mm] + [mm]\bruch{4}{3}ln(x)[/mm]
> >
> > bis hierhin passt das. wie fasst man das hier weiter?
>
> Jo, passt. Jetzt Distributivgesetz ac+bc=(a+b)c.
> Dann muss man noch rauskriegen, was wohl
> [mm]\tfrac{2}{3}+\tfrac{4}{3}[/mm] ist. Du schaffst das.
>
> Grüße
> reverend
>
> > ln(x)+ln(x)= [mm]ln(x^2)[/mm]
> >
> > aber wenn vor ln ein faktor steht, wie fasst man das dann
> > zusammen?
>
> So konzentriert wie möglich.
[mm]\bruch{2}{3}ln(x)[/mm] + [mm]\bruch{4}{3}ln(x)[/mm] [mm] \not= \bruch{6}{3}ln(x^2)
[/mm]
für x = 2
[mm]\bruch{2}{3}ln(x)[/mm] + [mm]\bruch{4}{3}ln(x)[/mm] = 1,38
[mm] \bruch{6}{3}ln(2^2) [/mm] = 2,77
also war die lösung doch falsch oder ich habe einen denkfehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Sa 18.01.2014 | | Autor: | glie |
> > > = [mm]\bruch{2}{3}ln(x)[/mm] + [mm]\bruch{4}{3}ln(x)[/mm]
> > >
> > > bis hierhin passt das. wie fasst man das hier weiter?
> >
> > Jo, passt. Jetzt Distributivgesetz ac+bc=(a+b)c.
> > Dann muss man noch rauskriegen, was wohl
> > [mm]\tfrac{2}{3}+\tfrac{4}{3}[/mm] ist. Du schaffst das.
> >
> > Grüße
> > reverend
> >
> > > ln(x)+ln(x)= [mm]ln(x^2)[/mm]
> > >
> > > aber wenn vor ln ein faktor steht, wie fasst man das dann
> > > zusammen?
> >
> > So konzentriert wie möglich.
>
>
> [mm]\bruch{2}{3}ln(x)[/mm] + [mm]\bruch{4}{3}ln(x)[/mm] [mm]\not= \bruch{6}{3}ln(x^2)[/mm]
>
> für x = 2
>
> [mm]\bruch{2}{3}ln(x)[/mm] + [mm]\bruch{4}{3}ln(x)[/mm] = 1,38
>
> [mm]\bruch{6}{3}ln(2^2)[/mm] = 2,77
>
> also war die lösung doch falsch oder ich habe einen
> denkfehler?
Hallo,
schau dir doch nochmal genau den Hinweis von reverend mit dem Distributivgesetz an.
Du würdest doch niemals auf die Idee kommen, dass
3Euro+5Euro gleich 8 Quadrateuro ist, oder???
Wenn du jetzt [mm]\bruch{2}{3}ln(x)[/mm] + [mm]\bruch{4}{3}ln(x)[/mm] rechnest, dann ergibt das eben [mm] $\bruch{6}{3}ln(x)=2ln(x)$
[/mm]
Gruß Glie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Sa 18.01.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
ahh ok danke
jetzt schnalle ich es
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