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| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe der Logarithmen-Gesetze:
[mm] log_{b}(x) [/mm] = [mm] \bruch{lg(x)}{lg(b)}
[/mm]
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Obige Formel steht in den meisten Formelsammlungen drin.
Und da Taschenrechner nur die Logartihmen zur Basis e und 10 berechnen, ist die Formel schon wichtig, damit man sich auch dann zu helfen weiß, wenn mal eine andere Basis als e oder 10 vorliegt.
Nun sollte ein Schüler diese Formel, die bereits in seinem Buch steht, auch noch mit Hilfe der Logarithmen-Gesetze "beweisen". Aus dem Stegreif wusste ich auch nicht, wie das gehen sollte, zumal ich es ohnehin nicht so mit "Beweisen" habe.
Später habe ich es dann noch mal versucht. Folgendes kam dabei raus:
[mm] log_{b}(x) [/mm] = [mm] \bruch{lg(x)}{lg(b)}
[/mm]
[mm] b^{\bruch{lg(x)}{lg(b)}} [/mm] = x
[mm] lg\left(b^{\bruch{lg(x)}{lg(b)}}\right) [/mm] = lg(x)
[mm] \bruch{lg(x)}{lg(b)}*lg(b) [/mm] = lg(x)
lg(x) = lg(x) [mm] \Leftarrow [/mm] Ist das [mm] log_{isch} [/mm] ??
War das damit gemeint? Ist das ein "Beweis"?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:18 Fr 06.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Beweisen Sie mit Hilfe der Logarithmen-Gesetze:
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> [mm]log_{b}(x)[/mm] = [mm]\bruch{lg(x)}{lg(b)}[/mm]
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> Obige Formel steht in den meisten Formelsammlungen drin.
> Und da Taschenrechner nur die Logartihmen zur Basis e und
> 10 berechnen, ist die Formel schon wichtig, damit man sich
> auch dann zu helfen weiß, wenn mal eine andere Basis als e
> oder 10 vorliegt.
>
> Nun sollte ein Schüler diese Formel, die bereits in seinem
> Buch steht, auch noch mit Hilfe der Logarithmen-Gesetze
> "beweisen". Aus dem Stegreif wusste ich auch nicht, wie das
> gehen sollte, zumal ich es ohnehin nicht so mit "Beweisen"
> habe.
>
>
> Später habe ich es dann noch mal versucht. Folgendes kam
> dabei raus:
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> [mm]log_{b}(x)[/mm] = [mm]\bruch{lg(x)}{lg(b)}[/mm]
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> [mm]b^{\bruch{lg(x)}{lg(b)}}[/mm] = x
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> [mm]lg\left(b^{\bruch{lg(x)}{lg(b)}}\right)[/mm] = lg(x)
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> [mm]\bruch{lg(x)}{lg(b)}*lg(b)[/mm] = lg(x)
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> lg(x) = lg(x) [mm]\Leftarrow[/mm] Ist das [mm]log_{isch}[/mm] ??
Das sieht gut aus ( Und [mm] log_{isch} [/mm] ist in diesem Zusammenhang ein echt gutes Wortspiel).
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> War das damit gemeint? Ist das ein "Beweis"?
Klar, das ist genau das, was zu zeigen war. Und du hast gültige Umformungen gemacht. Ein Kleinigkeit hätte ich aber noch. Schreibe vor die Gleichungen noch die "logischen Zeichen", also [mm] \Rightarrow [/mm] oder [mm] \gdw [/mm] , dann passt das auch formal
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Fr 06.11.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Danke.
Dann kann ich das beim nächsten Mal dem Schüler sagen. Bis dahin wird er aber wohl ohnehin die Aufgabe in der Klasse durchgesprochen haben.
(Ich hatte den Oberstufen-Schülern gesagt, dass sie mir ihre Themen/Aufgaben möglichst schon vor dem Nachhilfe-Unterricht telefonisch durchgeben. Leider tun die wenigsten das)
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Hallo,
etwas "direkter" kann man noch so vorgehen:
Gesucht [mm]y = log_b{(x)} \Leftrightarrow b^y=x \Leftrightarrow lg (b^y)=lg(x) \Leftrightarrow y*lg(b)=lg(x) \Leftrightarrow y=\frac{lg(x)}{lg( b)}[/mm]
Also zusammengefaßt: [mm]log_b{(x)}= \frac{lg(x)}{lg(b)}[/mm]
Gruß, MatheOldie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:56 Sa 07.11.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Danke, MatheOldie,
die Logarithmus-Gesetzen sind mir nicht so geläufig. Das liegt daran, dass ich sie nicht so oft anwende wie z.B. Binomische Formeln etc.
Daher brauche ich schon einige Zeit, um jeden einzelnen Schritt nachzuvollziehen - insbesondere, dass du [mm] \bruch{lg(x)}{lg(b)} [/mm] durch ein y ersetzt hast und dann die ganzen [mm] \gdw [/mm] dazwischen.
Aber wie gesagt: Das liegt nur an mangelnder Gewöhnung.
Denn letztlich erscheint es mir durchaus "mathematisch-logisch", wie du das gemacht hast. Nur fällt es mir schwer, aus dem Stegreif (d.h. ohne Vorbereitung) darauf zu kommen.
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