Logarithmen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 So 07.10.2012 | | Autor: | slowbob |
| Aufgabe | Exponentialgleichungen
Lösen Sie die Gleichung.
2^(x-2) + [mm] 7^x [/mm] = 9604 soll 2 hoch x - 2 sein, Klammer einfach wegdenken. |
ich schon wieder :P
also es gab folgendes als Beispiel:
[mm] 3^x [/mm] = 17
[mm] log(3^x) [/mm] = 17
x * log3 = log 17
x = log17/log2 = 2,5789
x = 2,5789
an diesem habe ich mich auch orientiert!
2^(x-2) + [mm] 7^x [/mm] = 9604
(x-2) log2 * x log7 = log9604
(x-2) * x = log9604/log2/log7 = 15,65 habe hier einfach die Klammer "entfernt" wie sonst?
x - 2 * x = 15,65 |+2
[mm] x^2 [/mm] = 17,65 |wurzel ziehen
x = 4,2
Doch das Ergebnis, wie immer, ist falsch!
x muss 4 lauten!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo slowbob und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Exponentialgleichungen
>
> Lösen Sie die Gleichung.
>
> 2^(x-2) + [mm]7^x[/mm] = 9604 soll 2 hoch x - 2 sein, Klammer
> einfach wegdenken.
Das macht es nur unklarer
Als Gleichung hast du geschrieben [mm]2^{x-2}[/mm] <-- klick
Und im Schreibtext [mm]2^x-2[/mm]
Was soll es nun sein?
> ich schon wieder :P
>
> also es gab folgendes als Beispiel:
>
> [mm]3^x[/mm] = 17
> [mm]log(3^x)[/mm] = 17
> x * log3 = log 17
> x = log17/log2 = 2,5789
> x = 2,5789
>
> an diesem habe ich mich auch orientiert!
>
> 2^(x-2) + [mm]7^x[/mm] = 9604
Also die erste Version mit [mm]x-2[/mm] im Exponenten ...
> (x-2) log2 * x log7 = log9604
Welches Logarithmusgesetz hast du hier angewendet?
Es gilt i.A. nicht [mm]\log(a+b)=\log(a)\cdot{}\log(b)[/mm]
Das hast du mit [mm] $\log(a\cdot{}b)=\log(a)+\log(b)$ [/mm] durcheinander gehauen ...
> (x-2) * x = log9604/log2/log7 = 15,65 habe hier einfach
> die Klammer "entfernt" wie sonst?
> x - 2 * x = 15,65
> |+2
> [mm]x^2[/mm] = 17,65
> |wurzel ziehen
> x = 4,2
>
> Doch das Ergebnis, wie immer, ist falsch!
> x muss 4 lauten!
[mm]2^{4-2}+7^4=2405\neq 9604[/mm]
Passt hinten und vorne nicht.
Die obige Gleichung lässt dich algebraisch nicht nach x auflösen.
Allenfalls kannst du näherungsweise oder zeichnerische Lösungen finden.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:53 So 07.10.2012 | | Autor: | slowbob |
könntest du mir es vorrechnen und schrittweise erklären, ansonsten könnte ich mit deiner Antwort nichts anfangen, tut mir leid :S
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Hallo nochmal,
was soll ich denn vorrechnen?
Das kann man nicht "schön" (algebraisch) nach $x=Term$ auflösen.
Das gibt was ganz krummes, das man nur mit einem Näherungsverfahren bestimmen kann.
Kennst du das Newtonverfahren oder Bisektionsverfahren?
Falls nicht, solltest du mal überprüfen, ob du die Aufgabe korrekt abgeschrieben hast ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 So 07.10.2012 | | Autor: | slowbob |
kenne weder das eine noch das andere.
2^(x-2) * [mm] 7^x [/mm] = 9604
Der EXPONENT von 2 ist x-2, ich habe die Klammer gemacht, weil es ohne so aussehen würde:
[mm] 2^x-2 [/mm] < die -2 steht nicht im Exponenten!
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Hallo nochmal,
> kenne weder das eine noch das andere.
>
> 2^(x-2) * [mm]7^x[/mm] = 9604
Aha, nun steht da ein *.
Zu Anfang war es noch ein + ...
So ist das was ganz anderes.
Beachte, dass [mm] $2^{x-2}=2^x\cdot{}2^{-2}=\frac{1}{4}\cdot{}2^x$
[/mm]
Dann hast du [mm] $\frac{1}{4}\cdot{}2^x\cdot{}7^x=9604$
[/mm]
Rechne nun alles mal 4 und nutze [mm] $a^x\cdot{}b^x=(a\cdot{}b)^x$
[/mm]
Danach kannst du logarithmieren ...
>
>
> Der EXPONENT von 2 ist x-2, ich habe die Klammer gemacht,
> weil es ohne so aussehen würde:
>
> [mm]2^x-2[/mm] < die -2 steht nicht im Exponenten!
Jo, das Problem war eher das "+"
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 So 07.10.2012 | | Autor: | slowbob |
eine sehr dumme Frage: Logarithmieren heißt..?
also ich hab es so gemacht, mal 4 multipliziert, wie du es geschrieben hast
[mm] 8^x [/mm] * [mm] 28^x [/mm] = 38416
(8 * [mm] 28)^x [/mm] = 38416
224 = 38416
jetzt log224(38416) oder?
Daraus folgt 1,95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 So 07.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
"Zitata von Schachuzipus: Dann hast du $ [mm] \frac{1}{4}\cdot{}2^x\cdot{}7^x=9604 [/mm] $
Rechne nun alles mal 4 und nutze $ [mm] a^x\cdot{}b^x=(a\cdot{}b)^x [/mm] $
Danach kannst du logarithmieren ... "
> eine sehr dumme Frage: Logarithmieren heißt..?
Den Logarithmus verwenden 
> also ich hab es so gemacht, mal 4 multipliziert, wie du es
> geschrieben hast
>
>
> [mm]8^x[/mm] * [mm]28^x[/mm] = 38416
> (8 * [mm]28)^x[/mm] = 38416
> 224 = 38416
>
> jetzt log224(38416) oder?
> Daraus folgt 1,95
Wenn du die Gleichung [mm] \frac{1}{4}\cdot{}2^x\cdot{}7^x=9604 [/mm] mit vier multiplizierst, hast du [mm] 4*\frac{1}{4}\cdot{}2^x\cdot{}7^x=38416, [/mm] also
[mm] (4*\frac{1}{4})*2^x*7^x=38614
[/mm]
[mm] \gdw2^x*7^x=38416. [/mm] Und selbst wenn da noch ein "$*4$" stünde, könntest du nicht einfach die vier mit in die (beiden) Potenzen mit reinziehen. Nutze dann den Tipp von Schachuzipus sowie: [mm] a^x=b\gdw\log_a(b)=x, [/mm] wie in deiner Rechnung auch. Dass da ein Fehler drin war, hättest du übrigens auch selbst durch Einsetzen in die Anfangsgleichung herausfinden können.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 So 07.10.2012 | | Autor: | slowbob |
Mein Fehler bestand also darin, dass ich den ganzen Term mal 4 genommen habe oder:
4 * ($ [mm] \frac{1}{4}\cdot{}2^x\cdot{}7^x=9604) [/mm] $ >>> $ [mm] 8^x [/mm] $ * $ [mm] 28^x [/mm] $ = 38416
2. bitte um Überprüfung:
2^(x-2) * $ [mm] 7^x [/mm] $ = 9604 >>> 2^(x-2) = [mm] 2^x [/mm] * 2^-2 = [mm] 2^x [/mm] * 1/4
1/4 * [mm] 2^x [/mm] * [mm] 7^x [/mm] = 9604 |*4
[mm] 2^x*7^x [/mm] = 38416
(2 * [mm] 7)^x [/mm] = 38416
[mm] 14^x [/mm] = 38416 <<<Schreibweise richtig?
log14(38416) = 4
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 So 07.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
> Mein Fehler bestand also darin, dass ich den ganzen Term
> mal 4 genommen habe oder:
>
> 4 * ([mm] \frac{1}{4}\cdot{}2^x\cdot{}7^x=9604)[/mm]
Bis hier stimmt es noch! Wie du die Klammern setzt ist egal. (Assoziativgesetz der Multiplikation) Klammern darfst du bei Multiplikationen grundsätzlich setzen wie du willst. Ich habe sie nur zur Verdeutlichung gesetzt. Der Fehler liegt zum einen darin, dass du aller drei Faktoren mit 4 multipliziert hast, du hast also praktisch mit 64 multipliziert. Dein Zweiter Fehler war, dass du nach deinem ersten Fehler noch [mm] 4*7^x=(4*7)^x [/mm] gesetzt hast.
>>> [mm]8^x[/mm] *
> [mm]28^x[/mm] = 38416
>
> 2. bitte um Überprüfung:
>
> 2^(x-2) * [mm]7^x[/mm] = 9604 >>> 2^(x-2) = [mm]2^x[/mm] * 2^-2 = [mm]2^x[/mm] *
> 1/4
> 1/4 * [mm]2^x[/mm] * [mm]7^x[/mm] = 9604 |*4
> [mm]2^x*7^x[/mm] = 38416
> (2 * [mm]7)^x[/mm] = 38416
> [mm]14^x[/mm] = 38416
> <<<Schreibweise richtig?
> log14(38416) = 4
>
Der Rest ist dann korrekt. Die 14 schreibt man normalerweise als Index klein nach unten, also [mm] \log_14(38416)=4. [/mm] Ansonsten ist die Schreibweise richtig.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 So 07.10.2012 | | Autor: | slowbob |
| Aufgabe | Exponentialgleichung
Lösen Sie die Gleichung.
5^(x+2) + [mm] 5^x [/mm] = 58,14 |
5^(x+2) + [mm] 5^x [/mm] = 5814 >>> 5^(x+2) = [mm] 5^x [/mm] + [mm] 5^2 [/mm] = [mm] 5^x [/mm] + 25
25 + [mm] 5^x [/mm] + [mm] 5^x [/mm] = 58,14 | :25
[mm] 5^x [/mm] + [mm] 5^x [/mm] = 2907/1250
(5 * [mm] 5)^x [/mm] = 2907/1250
[mm] 25^x [/mm] = 2907/1250
log25(2907/1250)
x = log25(2907/1250)
Doch um Gottes Willen, das Ergebnis ist log5(2907/1300)
Wieso 1300? Ich habe jeden Schritt überprüft!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 So 07.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
Ich gehe davon aus, dass du wieder [mm] 5^{x+2}*5^x=58,14 [/mm] meinst und nicht +.
> Exponentialgleichung
> Lösen Sie die Gleichung.
>
> 5^(x+2) + [mm]5^x[/mm] = 58,14
> 5^(x+2) + [mm]5^x[/mm] = 5814 >>> 5^(x+2) = [mm]5^x[/mm] + [mm]5^2[/mm] = [mm]5^x[/mm] + 25
> 25 + [mm]5^x[/mm] + [mm]5^x[/mm] = 58,14 | :25
> [mm]5^x[/mm] + [mm]5^x[/mm] = 2907/1250
Bis hier meinst du wohl immer [mm] \cdot [/mm] und nicht +. Sonst macht hier gar nicht irgendeinen Sinn.
> (5 * [mm]5)^x[/mm] = 2907/1250
> [mm]25^x[/mm] = 2907/1250
> log25(2907/1250)
> x = log25(2907/1250)
>
>
> Doch um Gottes Willen, das Ergebnis ist log5(2907/1300)
> Wieso 1300? Ich habe jeden Schritt überprüft!
Dein Ergebnis ist richtig. Die Lösung mit 1300 ist offensichtlich falsch. Das erkennst du auch, wenn du die jeweiligen Ergebnisse in deine Gleichzng vom Anfang einsetzt.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 So 07.10.2012 | | Autor: | slowbob |
ja genau das $ [mm] 5^{x+2}\cdot{}5^x=58,14 [/mm] $
Die Musterlösung lautet wie folgt:
$ [mm] 5^{x+2}\cdot{}5^x=58,14 [/mm] $
[mm] 5^x [/mm] * [mm] 5^2 [/mm] + [mm] 5^x [/mm] = 58,14
25 * [mm] 5^x [/mm] + [mm] 5^x [/mm] (*1) = 58,14 woher kommt die 1?
(25+1) * [mm] 5^x [/mm] = 5814
26 * [mm] 5^x [/mm] = 58,14 | /26
[mm] 5^x= [/mm] 2907/1300
log5(2907/1300)
x = log5(2907/1300)
Im Prinzip wurde meine ganze Rechnung, durch diese imaginäre 1 zerstört.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 So 07.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo nochmal,
> ja genau das [mm]5^{x+2}\cdot{}5^x=58,14[/mm]
>
>
> Die Musterlösung lautet wie folgt:
>
> [mm]5^{x+2}\cdot{}5^x=58,14[/mm]
> [mm]5^x[/mm] * [mm]5^2[/mm] + [mm]5^x[/mm] = 58,14
> 25 * [mm]5^x[/mm] + [mm]5^x[/mm] (*1) = 58,14 woher kommt
> die 1?
> (25+1) * [mm]5^x[/mm] = 5814
> 26 * [mm]5^x[/mm] = 58,14 | /26
> [mm]5^x=[/mm] 2907/1300
> log5(2907/1300)
> x = log5(2907/1300)
>
> Im Prinzip wurde meine ganze Rechnung, durch diese
> imaginäre 1 zerstört.
Tja da hab ich nicht aufgepasst. Dann war ja die Aufgabe formuliert mit dem "+" doch richtig. Du bist dann auf ein anderes Ergebnis gekommen, weil du irgendwann mitten in deiner Rechnung aus dem + ein • gemacht hast. Ich hab dann gedacht, von Anfang an solle da • stehen. Die Lösung ist also doch richtig. Die 1 kommt daher, da man ja mit 1 multiplizieren kann, ohne dass sich etwas ändert. Danach wird [mm] 5^x [/mm] ausgeklammert. Das heißt, es wird das Distributivgesetz verwendet: ab+ac=a(b+c). Dabei ist [mm] a=5^x [/mm] , b=25, c=1.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 So 07.10.2012 | | Autor: | slowbob |
wieso sollte ausgerechnet jetzt die "1" kommen?
Bei meiner vorherigen Aufgabe war da auch nie eine 1.
1. 5^(x+2) + $ [mm] 5^x [/mm] $ = 5814 >>> 5^(x+2) = $ [mm] 5^x [/mm] $ + $ [mm] 5^2 [/mm] $ = $ [mm] 5^x [/mm] $ * 25
2. 25 * $ [mm] 5^x [/mm] $ + $ [mm] 5^x [/mm] $ = 58,14 | :25
3. $ [mm] 5^x [/mm] $ + $ [mm] 5^x [/mm] $ = 2907/1250
4. (5 * $ [mm] 5)^x [/mm] $ = 2907/1250
5. $ [mm] 25^x [/mm] $ = 2907/1250
6. log25(2907/1250)
7. x = log25(2907/1250)
Bei welchem Schritt muss ich mir die 1 dazu denken, und wieso?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 So 07.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> wieso sollte ausgerechnet jetzt die "1" kommen?
> Bei meiner vorherigen Aufgabe war da auch nie eine 1.
>
> 1. 5^(x+2) + [mm]5^x[/mm] = 5814 >>> 5^(x+2) = [mm]5^x[/mm] + [mm]5^2[/mm] = [mm]5^x[/mm] *
> 25
> 2. 25 * [mm]5^x[/mm] + [mm]5^x[/mm] = 58,14 | :25
Der Fehler ist hier. Wenn du auf der linken Seite durch 25 teilst, müsst du beide Summanden teilen. Das hilft aber nicht weiter, der Term wird dadurch nicht einfacher. Stattdessen denkt man sich hier die 1 dazu und nutzt, wie ich eben schon erklärt habe, das Distributivgesetz.
> 3. [mm]5^x[/mm] + [mm]5^x[/mm] = 2907/1250
> 4. (5 * [mm]5)^x[/mm] = 2907/1250
> 5. [mm]25^x[/mm] = 2907/1250
> 6. log25(2907/1250)
> 7. x = log25(2907/1250)
>
> Bei welchem Schritt muss ich mir die 1 dazu denken, und
> wieso?
Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 So 07.10.2012 | | Autor: | slowbob |
1. 5^(x+2) + $ [mm] 5^x [/mm] $ = 5814 >>> 5^(x+2) = $ [mm] 5^x [/mm] $ + $ [mm] 5^2 [/mm] $ = $ [mm] 5^x [/mm] $ * 25
2. 25 * $ [mm] 5^x [/mm] $ + $ [mm] 5^x [/mm] $ = 58,14 | :25
wieso sollte ich noch die beiden Summanden [mm] (5^x, 5^x?) [/mm] durch 25 teilen? Ich will doch nur die 25 wegkriegen und nicht die beiden Summanden?
Was meinst du mit einfacher?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 So 07.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> 1. 5^(x+2) + [mm]5^x[/mm] = 5814 >>> 5^(x+2) = [mm]5^x[/mm] + [mm]5^2[/mm] = [mm]5^x[/mm] *
> 25
> 2. 25 * [mm]5^x[/mm] + [mm]5^x[/mm] = 58,14 | :25
Ok, wenn wir also durch 25 teilen, erhalten wir:
[mm] \frach{1}{25}(25*5^x+5^x)=\frac{58,14}{25}, [/mm] also
[mm] 5^x+\frac{5^x}{25}=\frac{2907}{1250}. [/mm] Damit ist aber nichts gewonnen.
> wieso sollte ich noch die beiden Summanden [mm](5^x, 5^x?)[/mm]
> durch 25 teilen? Ich will doch nur die 25 wegkriegen und
> nicht die beiden Summanden?
> Was meinst du mit einfacher?
Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 07.10.2012 | | Autor: | slowbob |
hab grad nen Hänger
25 * $ [mm] 5^x [/mm] $ + $ [mm] 5^x [/mm] $ = 58,14 | :25
ist doch
[mm] 5^x [/mm] + [mm] 5^x [/mm] = 58,14/25
ich weiß nicht wie du auf das hier kommst
$ [mm] 5^x+\frac{5^x}{25}=\frac{2907}{1250}. [/mm] $
die [mm] 5^x/25 [/mm] sind mir fremd.
Hast du bei den vorherigen Antworten nicht gesagt, dass sich die Zahl nie auf den ganzen Term bezieht?
Ich meine, ich habe durch 25 geteilt um nur die 25 wegzukriegen mehr nicht, wieso sollte ich jetzt 5/25 rechnen, da ich doch schon die 25 wegbekommen habe.
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Hallo slowbob,
> hab grad nen Hänger
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> 25 * [mm]5^x[/mm] + [mm]5^x[/mm] = 58,14 | :25
>
> ist doch
>
> [mm]5^x[/mm] + [mm]5^x[/mm] = 58,14/25
>
Nein, das ist nicht korrekt.
Den zweiten Summanden in der Ausgangsgleichung
musst Du auch noch durch 25 teilen.
Damit ergibt sich;
[mm]5^x+\frac{5^x}{\red{25}}=\frac{58,14}{25}.[/mm]
> ich weiß nicht wie du auf das hier kommst
>
> [mm]5^x+\frac{5^x}{25}=\frac{2907}{1250}.[/mm]
>
> die [mm]5^x/25[/mm] sind mir fremd.
> Hast du bei den vorherigen Antworten nicht gesagt, dass
> sich die Zahl nie auf den ganzen Term bezieht?
> Ich meine, ich habe durch 25 geteilt um nur die 25
> wegzukriegen mehr nicht, wieso sollte ich jetzt 5/25
> rechnen, da ich doch schon die 25 wegbekommen habe.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 07.10.2012 | | Autor: | slowbob |
eine frühere Aufgabe:
2^(x-2) * $ [mm] 7^x [/mm] $ = 9604 >>> 2^(x-2) = $ [mm] 2^x [/mm] $ * 2^-2 = $ [mm] 2^x [/mm] $ * 1/4
1/4 * $ [mm] 2^x [/mm] $ * $ [mm] 7^x [/mm] $ = 9604 |*4
$ [mm] 2^x\cdot{}7^x [/mm] $ = 38416
(2 * $ [mm] 7)^x [/mm] $ = 38416 laut Euren Aussagen müsste hier dann auch (2 * [mm] 28)^x [/mm] stehen oder etwa nicht?
$ [mm] 14^x [/mm] $ = 38416
log14(38416) = 4
Dann ist die Aufgabe, vollkommen falsch, obwohl es die Lösung ist :S
Ich habe mich stets an diese Vorgehensweise orientiert. Ich weiß nicht, wo mein Denkfehler ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 So 07.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> eine frühere Aufgabe:
>
> 2^(x-2) * [mm]7^x[/mm] = 9604 >>> 2^(x-2) = [mm]2^x[/mm] * 2^-2 = [mm]2^x[/mm] *
> 1/4
> 1/4 * [mm]2^x[/mm] * [mm]7^x[/mm] = 9604 |*4
> [mm]2^x\cdot{}7^x[/mm] = 38416
> (2 * [mm]7)^x[/mm] = 38416 laut Euren Aussagen müsste hier dann
> auch (2 * [mm]28)^x[/mm] stehen oder etwa nicht?
> [mm]14^x[/mm] = 38416
> log14(38416) = 4
>
>
> Dann ist die Aufgabe, vollkommen falsch, obwohl es die
> Lösung ist :S
>
> Ich habe mich stets an diese Vorgehensweise orientiert. Ich
> weiß nicht, wo mein Denkfehler ist.
Hallo,
Es gibt einen wichtigen Unterschied: hier hast du: 1/4 MAL [mm] 2^x [/mm] MAL [mm] 7^x. [/mm] Die aktuelle Aufgabe lautet 25 MAL [mm] 5^x [/mm] PLUS [mm] 5^x. [/mm] Deswegen musst du hier scheinbar anders vorgehen. Denke dir mal, [mm] 5^x [/mm] wäre 1Apfel. Dann stünde da 25Äpfel+1Apfel. Das sind offenbar 26Äpfel. Deswegen gilt: [mm] 25*5^x+1*5^x=(25+1)*5^x=26*5^x. [/mm] Und dann kannst du die Gleichung durch 26 teilen.
Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 So 07.10.2012 | | Autor: | slowbob |
26 * [mm] 5^x [/mm] + [mm] 5^x [/mm] = 58,16 | /26
Zitat: "Der Fehler ist hier. Wenn du auf der linken Seite durch 25 teilst, müsst du beide Summanden teilen. " <26 in diesem Fall
Zitat von MathePower: " Den zweiten Summanden in der Ausgangsgleichung
musst Du auch noch durch 25 teilen." <26 in diesem Fall
Nach dieser Aussage lautet die Rechnung:
[mm] 5^x [/mm] + [mm] 5^x/26 [/mm] = 58,16
Im Prinzip sind es nur noch Verständnisprobleme :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 So 07.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> 26 * [mm]5^x[/mm] + [mm]5^x[/mm] = 58,16 | /26
>
> Zitat: "Der Fehler ist hier. Wenn du auf der linken Seite
> durch 25 teilst, müsst du beide Summanden teilen. " <26 in
> diesem Fall
>
> Zitat von MathePower: " Den zweiten Summanden in der
> Ausgangsgleichung
> musst Du auch noch durch 25 teilen." <26 in diesem Fall
>
> Nach dieser Aussage lautet die Rechnung:
>
> [mm]5^x[/mm] + [mm]5^x/26[/mm] = 58,16
>
> Im Prinzip sind es nur noch Verständnisprobleme :(
Also das macht jetzt keinen Sinn. Links verschwindet die 25 einfach, stattdessen teilst du einen Summanden durch 26, während sich die rechte Seite der Gleichung nicht ändert. Ich schreibe dir nochmal eine Musterlösung auf:
[mm] 25*5^x+5^x=58,14
[/mm]
[mm] \gdw25*5^x+1*5^x=58,14
[/mm]
[mm] \gdw(25+1)*5^x=58,14 [/mm] (Distributivgesetz)
[mm] \gdw26*5^x=58,14
[/mm]
[mm] \gdw5^x=\frac{58,14}{26}
[/mm]
[mm] \gdw{}x=\log_{5}(\frac{58,14}{26})
[/mm]
Ist dir hieran nun alles klar geworden, oder verstehst du einen bestimmten Schritt nicht?
Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 So 07.10.2012 | | Autor: | slowbob |
verstanden habe ich es jetzt.
doch spontan würde ich nie drauf kommen das eine 1 dazu addiert wird
Meine Frage: gibt es eine Möglich wie man vornherein erkennt, dass da eine 1 versteckt ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 So 07.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> verstanden habe ich es jetzt.
>
> doch spontan würde ich nie drauf kommen das eine 1 dazu
> addiert wird
> Meine Frage: gibt es eine Möglich wie man vornherein
> erkennt, dass da eine 1 versteckt ist?
da war keine 1 versteckt - eigentlich ist da gar nichts versteckt.
Berechne mal bitte
$$5 [mm] \cdot a+a\,,$$
[/mm]
wie machst Du das? Natürlich, indem Du [mm] $a=1*a\,$ [/mm] ausnutzt und dann
das Distributivgesetz verwendest. Und bei Dir sah' das [mm] $a\,$ [/mm] halt
"komischer" aus! (Okay, anstatt der [mm] $5\,$ [/mm] stand bei Dir auch eine andere
Zahl...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:29 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
ich verstehe es immer noch nicht, um ehrlich zu sein...
>
> Berechne mal bitte
> [mm]5 \cdot a+a\,,[/mm]
ich würde es so machen: 5a + a
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:36 Mo 08.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> ich verstehe es immer noch nicht, um ehrlich zu sein...
>
>
>
> >
> > Berechne mal bitte
> > [mm]5 \cdot a+a\,,[/mm]
>
> ich würde es so machen: 5a + a
Marcel wollte Dich auf
5a+a=6a
stoßen.
FRED
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich verstehe es immer noch nicht, um ehrlich zu sein...
>
>
>
> >
> > Berechne mal bitte
> > [mm]5 \cdot a+a\,,[/mm]
>
> ich würde es so machen: 5a + a
und was machst Du nun, außer den Punkt wegzulassen?
Ich meinte
[mm] $$5*a+a=5*a+1*a=(5+1)*a=6*a\,,$$
[/mm]
was Du natürlich auch so schreiben kannst
[mm] $$5a+a=5a+1a=(5+1)a=6a\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
kann man das so allgemeine sagen?
a) [mm] 2^{x+2}\cdot{}7^x [/mm] = 9604
b) [mm] 5^{x+2}\ +5^x [/mm] = 58,14
letztendlich unterscheiden sich die beiden Aufgaben, ja nur von ihrem Zeichen
[mm] (*7^x [/mm] und [mm] +5^x)
[/mm]
Könnte ich jetzt allgemein sagen, dass bei solchen Aufgaben wie [mm] 5^{x+2}\ +5^x [/mm] = 58,14, bei denen wo ein "PLUS" oder "Minus" steht, mir immer eine 1 dazudenken soll?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> kann man das so allgemeine sagen?
>
>
>
> a) [mm]2^{x+2}\cdot{}7^x[/mm] = 9604
>
>
> b) [mm]5^{x+2}\ +5^x[/mm] = 58,14
>
> letztendlich unterscheiden sich die beiden Aufgaben, ja nur
> von ihrem Zeichen
> [mm](*7^x[/mm] und [mm]+5^x)[/mm]
> Könnte ich jetzt allgemein sagen, dass bei solchen
> Aufgaben wie [mm]5^{x+2}\ +5^x[/mm] = 58,14, bei denen wo ein
> "PLUS" oder "Minus" steht, mir immer eine 1 dazudenken
> soll?
Könntest du wohl. Das ist aber nicht auf eine 1 beschränkt. Analoges gilt zum Beispiel für:
[mm] 25*5^x+2*5^x=(25+2)*5^x
[/mm]
Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
wie würde denn eine Aufgabe lauten in der sich eine "2" verstecken.
Unter Verstecken meine ich wie bei meiner Aufgabe:
$ [mm] 5^{x+2}\ +5^x [/mm] $ = 58,14
man denkt sich die "1" dazu.
Wie würde die für die "2" lauten?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mo 08.10.2012 | | Autor: | fred97 |
[mm] 2^{x+1}=2*2^x
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
Bitte überprüfen
$ [mm] 5^{x+2}\ +5^x [/mm] $ = 58,14 >>>5^(x+2) = 5 ^x + [mm] 5^2 [/mm] = [mm] 5^x [/mm] + 25
25 + [mm] 5^x [/mm] + 1 + [mm] 5^x [/mm] = 58,14
26 + [mm] 5^x [/mm] + [mm] 5^x [/mm] = 58,14 |/26
[mm] 5^x [/mm] + [mm] 5^x [/mm] = 2907/1300
(5 * [mm] 5)^x [/mm] = 2907/1300
[mm] 25^x [/mm] = 2907/1300
log25 = 2907/1300
x = log25(2907/1300)
Habe nebenbei bemerkt, dass auch das Falsch ist!
ERGEBNIS LAUTET:
log5(2907/1300)
wieso log 5??? mir wurde die ganze Zeit gesagt, dass ich die "1" dazu addieren, welches ich auch tat. Doch durch 5 teilen, war nie die Rede.
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Hallo slowbob,
> Bitte überprüfen
>
>
> [mm]5^{x+2}\ +5^x[/mm] = 58,14 >>>5^(x+2) = 5 ^x + [mm]5^2[/mm] = [mm]5^x[/mm] +
> 25
> 25 + [mm]5^x[/mm] + 1 + [mm]5^x[/mm] = 58,14
> 26 + [mm]5^x[/mm] + [mm]5^x[/mm] = 58,14 |/26
Hier muss es doch lauten:
[mm]\blue{26*5^{x}}=58,14[/mm]
> [mm]5^x[/mm] + [mm]5^x[/mm] = 2907/1300
> (5 * [mm]5)^x[/mm] = 2907/1300
> [mm]25^x[/mm] = 2907/1300
> log25 = 2907/1300
> x = log25(2907/1300)
>
>
> Habe nebenbei bemerkt, dass auch das Falsch ist!
> ERGEBNIS LAUTET:
>
> log5(2907/1300)
> wieso log 5??? mir wurde die ganze Zeit gesagt, dass ich
> die "1" dazu addieren, welches ich auch tat. Doch durch 5
> teilen, war nie die Rede.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
was ist denn mit der anderen [mm] 5^x [/mm] geschehen? die kann sich doch schlecht auflösen.
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Hallo slowbob,
> was ist denn mit der anderen [mm]5^x[/mm] geschehen? die kann sich
> doch schlecht auflösen.
Es ist doch
[mm]5^{x+2}+5^{x}=5^{2}*5^{x}+1*5^{x}=\left(5^{2}+1\right)*5^{x}=26*5^{x}[/mm]
Nach dem zweiten Gleichheitszeichen wurde das
Distributivgesetz angewendet.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
wow endlich habe ich es verstanden.
eindeutiger ging es als ich für x eine Zahl gesetzt habe!!!!
Vielen dank
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
kleine Frage:
was ist die Voraussetzung für das Distributivgesetz?
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> kleine Frage:
>
> was ist die Voraussetzung für das Distributivgesetz?
Hallo,
wir rechnen hier in den reellen Zahlen, und da gilt halt das Distributivgesetz.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
| Aufgabe | Exponentialgleichungen
Lösen Sie die Gleichung.
2^(2x) - 3 * 2^(x+1) = -8 |
Bin über jeden Denkanstoß dankbar
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Hallo slowbob,
> Exponentialgleichungen
> Lösen Sie die Gleichung.
>
> 2^(2x) - 3 * 2^(x+1) = -8
> Bin über jeden Denkanstoß dankbar
Soso. Wie steht es denn mit eigenen Lösungsansätzen, wie wir sie in den Forenregeln verlangen?
Hier wirst Du erst einmal ein bisschen Potenzrechnung betreiben müssen. Die Exponentialrechnung kommt erst später. Versuch doch mal, auf der linken Seite etwas auszuklammern.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
2^(2x) - 3 * 2^(x+1) = -8
2^(x+1) = [mm] 2^x [/mm] * [mm] 2^1
[/mm]
2^(2x) = [mm] (2^x)^2
[/mm]
[mm] (2^x)^2 [/mm] - 3 * [mm] 2^x [/mm] * [mm] 2^1 [/mm] = -8
Und jetzt durch 2teilen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> 2^(2x) - 3 * 2^(x+1) = -8
>
> 2^(x+1) = [mm]2^x[/mm] * [mm]2^1[/mm]
> 2^(2x) = [mm](2^x)^2[/mm]
>
> [mm](2^x)^2[/mm] - 3 * [mm]2^x[/mm] * [mm]2^1[/mm] = -8
>
> Und jetzt durch 2teilen?
Bis hierhin ist es schon ganz gut. Durch 2 zu teilen würde aber nicht weiterhelfen. Du kannst noch die 3 und die 2 zusammenfassen, dann hast du:
[mm] (2^x)^2-6*2^x=-8 [/mm] . Das ist eine quadratische Gleichung. Löse diese zunächst nach [mm] 2^x [/mm] auf. Danach kannst du logarithmieren.
Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
$ [mm] (2^x)^2-6\cdot{}2^x=-8 [/mm] $ |+6
[mm] (2^x)^2 [/mm] * [mm] 2^x [/mm] = -2
wie kriegt ich die [mm] (2^x)^2 [/mm] auf die andere Seite? einfach [mm] /(2^x)^2?
[/mm]
[mm] 2^x [/mm] = [mm] -2/(2^x)^2 [/mm] |log
das geht nicht auf :S
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Hallo slowbob,
> [mm](2^x)^2-6\cdot{}2^x=-8[/mm] |+6
> [mm](2^x)^2[/mm] * [mm]2^x[/mm] = -2
Nein, das stimmt so nicht.
Nimm' die Gleichung [mm](2^x)^2-6\cdot{}2^x=-8[/mm] und substituiere [mm] u=2^x.
[/mm]
Grüße
franzzink
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
daraus folgt:
$ [mm] (2^x)^2-6\cdot{}2^x=-8 [/mm] $ |+8
[mm] 2^x [/mm] = u
[mm] u^2 [/mm] - 6u + 8 = 0 kommt hier -6u + 8 oder -2u? bitte auch erklären
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> daraus folgt:
>
> [mm](2^x)^2-6\cdot{}2^x=-8[/mm] |+8
>
> [mm]2^x[/mm] = u
>
> [mm]u^2[/mm] - 6u + 8 = 0
Hallo,
so wie Du's hast, ist es goldrichtig.
> kommt hier -6u + 8 oder -2u?
Einfach jedes [mm] 2^x [/mm] durch u ersetzen.
Jetzt abc-Formel oder was sonst Du zum Lösen quadratischer Gleichungen auf Lager hast.
LG Angela
> bitte auch erklären
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
wie kommt man hier auf die Substitution? Ohne Eure Tipps, wäre ich nie draufgekommen, welche Bedingungen müssen gegeben sein?
$ [mm] u^2 [/mm] $ - 6u + 8 = 0
[mm] (6+-\wurzel{36-32})/2
[/mm]
(6+-/2)
3+- 1
u1 = 2 > 2 = 2^(x+1) > x1 = 1
u2 = 4 > 4 = 2^(x2) > x2 = 2
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> wie kommt man hier auf die Substitution? Ohne Eure Tipps,
> wäre ich nie draufgekommen, welche Bedingungen müssen
> gegeben sein?
Was für Bedingungen meinst du? Substitution ist üblicherweise immer möglich. Darauf kommen tut man, würde ich sagen, hauptsächlich durch Erfahrung. Sie ist aber nicht einmal notwendig. Man könnte auch einfach schreiben:
[mm] (2^x)^2-6*2^x+9-1=0
[/mm]
[mm] (2^x-3)^2=1
[/mm]
[mm] 2^{x_1}=4
[/mm]
[mm] 2^{x_2}=2.
[/mm]
> [mm]u^2[/mm] - 6u + 8 = 0
>
> [mm](6+-\wurzel{36-32})/2[/mm]
>
> (6+-/2)
>
> 3+- 1
>
> u1 = 2 > 2 = 2^(x+1) > x1 = 1
> u2 = 4 > 4 = 2^(x2) > x2 = 2
> richtig?
Ich weiß die pq-Formel nicht auswendig, aber dein Endergebnis stimmt.
Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
ich tendiere eher zu deinem Rechenweg.
Was mir aber noch unschlüssig ist:
$ [mm] (2^x)^2-6\cdot{}2^x=-8 [/mm] $
und dann
$ [mm] (2^x)^2-6\cdot{}2^x+9-1=0 [/mm] $ ???
wo ist die 8 hin. woher kommt die 9?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
hier ist das Ziel, eine quadratische Ergänzung durchzuführen, ob das intuitiver ist als die Anwendung der p-q-Formel, das lasse ich hier mal offen.
Auf jeden Fall kann man dann schreiben:
[mm] (u-3)^2 -1 = 0 [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> ich tendiere eher zu deinem Rechenweg.
> Was mir aber noch unschlüssig ist:
>
> [mm](2^x)^2-6\cdot{}2^x=-8[/mm]
>
>
> und dann
>
> [mm](2^x)^2-6\cdot{}2^x+9-1=0[/mm] ???
>
> wo ist die 8 hin. woher kommt die 9?
Zunächst habe ich zu der Gleichung 8 dazuaddiert. Ich denke, das war dir noch klar.
[mm] (2^x)^2-6*2^x=-8
[/mm]
[mm] \gdw(2^x)^2-6*2^x+8=0
[/mm]
Dann habe ich verwendet, dass 8=9-1, deswegen
[mm]((2^x)^2-6\cdot{}2^x+9(-1=0[/mm].
Als nächstes nutze ich die binomische Formel: [mm] (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. [/mm] In diesem Fall ist [mm] a=2^x [/mm] und b=-3. Überzeuge dich rechnerisch davon. Dann folgt:
[mm] ((2^x+(-3))^2)-1=0 [/mm] und anschließend addiere ich wieder 1 dazu. So komme ich auf
[mm] (2^x-3)^2=1.
[/mm]
Diesen Lösungsweg nennt man (wie schon von infinit bemerkt) quadratische Ergänzung.
Viele Grüße
P.S.: Die pq-Formel, wie du sie angewendet hast funktioniert ebenso, ich habe das hier nur benutzt, weil ich pq-Formel nicht kann.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
okay, das habe ich verstanden.
Aber wie kamst du auf $ [mm] 2^{x_1}=4 [/mm] $
$ [mm] 2^{x_2}=2. [/mm] $
Wir haben:
$ [mm] (2^x-3)^2=1 [/mm] $
Irgendwo muss +- stehen, damit man auf zwei Ergebnisse kommt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> okay, das habe ich verstanden.
> Aber wie kamst du auf [mm]2^{x_1}=4[/mm]
> [mm]2^{x_2}=2.[/mm]
>
> Wir haben:
>
> [mm](2^x-3)^2=1[/mm]
>
> Irgendwo muss +- stehen, damit man auf zwei Ergebnisse
> kommt.
Ja, der nächste Schritt wäre, wie man so schön sagt "auf beiden Seiten die Wurzel zu ziehen". Dabei fällt links das Quadrat weg und rechts erhälst du zwei verschiedene Ergebnisse, denn es gilt ja sowohl [mm] 1^2=1 [/mm] als auch [mm] (-1)^2=1. [/mm] Deswegen kommst du auf
[mm] 2^{x_1}-3=1
[/mm]
[mm] 2^{x_2}-3=-1.
[/mm]
Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
dann kommt man auf $ [mm] 2^{x_1}=4 [/mm] $
$ [mm] 2^{x_2}=2. [/mm] $
soweit so gut, aber für x1 und x2 lauten die ergebnisse
x1 = 1
x2 = 2
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> dann kommt man auf [mm]2^{x_1}=4[/mm]
> [mm]2^{x_2}=2.[/mm]
> soweit so gut, aber für x1 und x2 lauten die ergebnisse
>
> x1 = 1
> x2 = 2
Ja, darauf bist du doch auch gekommen. Wenn du die Ergebnisse in die Anfangsgleichung einsetzt und ausrechnest, wirst du auch bemerken, dass sie korrekt sind.
Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
ja, aber nur weil ich substituiert habe.
Hier, in diesem Fall, aber nicht!
2^(2x) - 3 * 2^(x+1) = -8
x = 2 > -8 also richtig
x = 4 > 160 falsch
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Hallo nochmal,
> ja, aber nur weil ich substituiert habe.
> Hier, in diesem Fall, aber nicht!
>
> 2^(2x) - 3 * 2^(x+1) = -8
>
> x = 2 > -8 also richtig
> x = 4 > 160 falsch
Das verstehe ich gerade nicht. Die beiden Lösungen, die du ermittelt hast, sind doch [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=2. [/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Natürlich stimmt es dann für x=4 nicht!
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
$ [mm] (2^x)^2-6\cdot{}2^x+9-1=0 [/mm] $
$ [mm] (2^x-3)^2=1 [/mm] $
$ [mm] 2^{x_1}-3=1 [/mm] $
$ [mm] 2^{x_2}-3=-1. [/mm] $
$ [mm] 2^{x_1}=4 [/mm] $
$ [mm] 2^{x_2}=2. [/mm] $
So war die Rechnung.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> [mm](2^x)^2-6\cdot{}2^x+9-1=0[/mm]
> [mm](2^x-3)^2=1[/mm]
> [mm]2^{x_1}-3=1[/mm]
> [mm]2^{x_2}-3=-1.[/mm]
> [mm]2^{x_1}=4[/mm]
> [mm]2^{x_2}=2.[/mm]
>
>
> So war die Rechnung.
Das ist aber noch nicht das fertige Endergebnis. Da steht doch noch 2 hoch x. Du musst noch den Logarithmus anwenden!
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
ich depp
die Matheklausur kann kommen =))))
ich muss sagen, dass ist eine wirklich nette Community :)
bedanke mich bei allen, die mir geholfen haben!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Mo 08.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> wie kommt man hier auf die Substitution? Ohne Eure Tipps,
> wäre ich nie draufgekommen,
Na, der wesentliche Schritt war hier aber ein ganz anderer, und auf den bist Du sehr wohl selbst gekommen.
Zuallererst musste man nämlich erkennen, dass hier [mm] 2^x [/mm] eine praktische Rechengröße ist, weil [mm] 2^{2x}=(2^x)^2 [/mm] ist und [mm] 2^{x+1}=2*2^x.
[/mm]
> welche Bedingungen müssen
> gegeben sein?
Das kann man tatsächlich nicht so genau sagen. Fast immer, wenn es aber so einen Term gibt wie hier [mm] 2^x, [/mm] durch den sich die Gleichung "schöner" und einfacher darstellt, ist eine Substitution hilfreich.
Ich nehme mal ein anderes Beispiel:
[mm] \left(\bruch{x^2+2}{3}\right)^3-\bruch{1}{9}(x^4+4x^2+4)=0
[/mm]
Diese Gleichung sieht auf den ersten Blick nicht lösbar aus. Wenn man die Klammer in der 3.Potenz mal ausrechnet, dann kommt man bis zu [mm] x^6. [/mm] Das kann man ja eigentlich auch nicht lösen.
Wenn man genauer hinsieht, ist aber [mm] \bruch{1}{9}(x^4+4x^2+4)=\left(\bruch{x^2+2}{3}\right)^2
[/mm]
Selbst das "sieht" auch nicht jeder, aber wenn man schonmal [mm] u:=x^2 [/mm] setzt, ist es leichter zu erkennen. Dann wäre die Aufgabe oben ja so:
[mm] \left(\bruch{u+2}{3}\right)^3-\bruch{1}{9}(u^2+4u+4)=0
[/mm]
...und dann kann man ja immer noch [mm] u^2+4u+4 [/mm] mittels pq-Formel zerlegen, wenn man selbst nicht auf die Rückwärtsanwendung einer binomischen Formel kommt. Hat man aber [mm] u^2+4u+4=(u+2)^2, [/mm] dann liest sich die Aufgabe so:
[mm] \left(\bruch{u+2}{3}\right)^3-\left(\bruch{u+2}{3}\right)^2=0
[/mm]
Hier drängt sich einem die Substitution [mm] t=\bruch{u+2}{3} [/mm] geradezu auf.
[mm] t^3-t^2=0\quad\Rightarrow\ t^2(t-1)=0\quad\Rightarrow t_1=t_2=0, t_3=1
[/mm]
Das ist leicht zu lösen. Es folgt (ich überspringe mal u und gehe direkt zurück zu x):
[mm] \bruch{x^2+2}{3}=t [/mm] hat für t=0 keine Lösung,
für t=1 ergibt sich [mm] x^2=1. [/mm] Und das hat nun wiederum zwei Lösungen.
Die hätte man ohne Substitution aber niemals gefunden.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
| Aufgabe | | 3 * 9^-x + [mm] 9^x [/mm] = 4 |
habe noch ein kleines problemchen =)
3 * 9^-x + [mm] 9^x [/mm] = 4
3 * [mm] 1/9^x [/mm] + [mm] 9^x [/mm] = 4 |-4
3 * [mm] 1/9^x [/mm] + [mm] 9^x [/mm] - 3 - 1 = 0
ich kann das in keine binomische Formeln umwandeln
b müsste doch [mm] \wurzel{3} [/mm] sein oder?
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Hallo slowbob,
Hast Du nicht langsam genug für heute gearbeitet? 
> 3 * 9^-x + [mm]9^x[/mm] = 4
> habe noch ein kleines problemchen =)
>
> 3 * 9^-x + [mm]9^x[/mm] = 4
> 3 * [mm]1/9^x[/mm] + [mm]9^x[/mm] = 4 |-4
> 3 * [mm]1/9^x[/mm] + [mm]9^x[/mm] - 3 - 1 = 0
>
> ich kann das in keine binomische Formeln umwandeln
> b müsste doch [mm]\wurzel{3}[/mm] sein oder?
Was soll denn b sein?
Das hier ist wieder ein Fall für Substitution (auch wenn sie nicht unbedingt nötig ist). Definieren wir mal [mm] s:=9^x.
[/mm]
Dann wird die Gleichung so aussehen:
[mm] 3*\bruch{1}{s}+s=4
[/mm]
Da sieht man so auf Anhieb auch noch keine binomische Formel. Aber wir dürfen mit s multiplizieren, weil s hier ja nicht Null sein kann/darf.
[mm] 3+s^2=4s
[/mm]
Ab hier solltest Du eigentlich gut allein klarkommen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mo 08.10.2012 | | Autor: | slowbob |
würde ich gern, wenn morgen nicht die Klausur anstehen würde =)
$ [mm] 3+s^2=4s [/mm] $
[mm] s^2 [/mm] - [mm] 4^s [/mm] + 3 = 0
abc- Formel
4(+-)2/2
2(+-)1
s1 = 1 >Resub x1 = 0
s2 = 3 >Resub x2 = 1/2.
Wie wäre die Variante mit Binomi, da ich nicht alleine auf die Substitution kommen würde! wie hier im Beispiel
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Hallo nochmal,
> würde ich gern, wenn morgen nicht die Klausur anstehen
> würde =)
Oha. Dann schonmal viel Glück!
> [mm]3+s^2=4s[/mm]
> [mm]s^2[/mm] - [mm]4^s[/mm] + 3 = 0
Hier ist Dir ein Caret-Zeichen reingerutscht. Du meinst natürlich
[mm] s^2-4s+3=0
[/mm]
> abc- Formel
>
> 4(+-)2/2
> 2(+-)1
Ich weiß, was Du meinst. Der Aufschrieb würde Dir aber in jeder Klausur angekreidet werden.
> s1 = 1 >Resub x1 = 0
> s2 = 3 >Resub x2 = 1/2.
Ja, vollkommen korrekt.
> Wie wäre die Variante mit Binomi, da ich nicht alleine auf
> die Substitution kommen würde!
> wie hier im Beispiel
Darauf musst du kommen. Sonst ist diese Aufgabe nur sehr schlecht zu überblicken.
Wir hatten
[mm] 3*9^{-x}+9^x=4
[/mm]
Auch hier: multiplizieren mit [mm] 9^x. [/mm] Das ergibt
[mm] 3+(9^x)^2=4*(9^x)
[/mm]
Neu ordnen...
[mm] (9^x)^2-4*(9^x)+3=0
[/mm]
Quadratische Ergänzung:
[mm] (9^x)^2-4*(9^x)+4-1=(9^x-2)^2-1=0
[/mm]
Daher [mm] (9^x-2)^2=1
[/mm]
Lösung 1: [mm] 9^x=3, [/mm] weiter mit Logarithmus: [mm] x_1=\tfrac{1}{2}
[/mm]
Lösung 2: [mm] 9^x=1, [/mm] weiter mit Logarithmus: [mm] x_2=0
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:52 Di 09.10.2012 | | Autor: | slowbob |
hoffe ihr könnt es schnell beantworten, bevor ich zur Schule gehen =)
$ [mm] 3\cdot{}\bruch{1}{s}+s=4 [/mm] $ |*s
wie kommt dann $ [mm] 3+s^2=4s [/mm] $
weil 1/s * s = 1 demzufolge > 3 * 1 + s = 4s
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Di 09.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> hoffe ihr könnt es schnell beantworten, bevor ich zur
> Schule gehen =)
>
> [mm]3\cdot{}\bruch{1}{s}+s=4[/mm] |*s
Hi, du musst natürlich beide Summanden multiplizieren. Das gilt immer, wenn du eine Summe ausmultiplizierst:
[mm] s*(3*\frac{1}{s}+s)=s*3*\frac{1}{s}+s*s=3+s^2=4s
[/mm]
> wie kommt dann [mm]3+s^2=4s[/mm]
>
> weil 1/s * s = 1 demzufolge > 3 * 1 + s = 4s
Viel Glück und viele Grüße
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